一一. 频率及其性质频率及其性质定义定义次数为次数为频率频率.易见易见, 频率具有下述频率具有下述基本性质基本性质:1.2.3. 设设是两两互不相容的事件是两两互不相容的事件,则则若在相同条件下进行次若在相同条件下进行次 实验，实验， 其中其中 发生的发生的则称则称为事件为事件 发生的发生的 1.21.2 随机事件的概率随机事件的概率试验试验序号序号n =5=5n =50=50n =500=500nHfn( (H) )nHfn( (H) )nHfn( (H) )1234567891023151242330.40.60.21.00.20.40.80.40.60.6222521252421182427310.440.500.420.500.480.420.360.480.540.622512492562532512462442582622470.5020.4980.5120.5060.5020.4920.4880.5160.5240.494表表 1 1 例：抛硬币出现的正面的频率例：抛硬币出现的正面的频率历史上著名的投掷硬币试验记录历史上著名的投掷硬币试验记录0.51810.50690.50160.500610612048601912012204840401200024000De MorganBuffonPearonPearon正面频率正面频率( /n )正面次数正面次数( )投掷次数投掷次数(n) 试验者试验者试验表明：试验表明：虽然每次投掷硬币事先无法准确预虽然每次投掷硬币事先无法准确预知出现正面还是反面，知出现正面还是反面，但大量重复试验时，但大量重复试验时， 发现出现发现出现正面和反面的次数大致相等，正面和反面的次数大致相等，即各占总试验次数的比即各占总试验次数的比例大致为例大致为0.5，并且随着试验次数的增加，并且随着试验次数的增加，这一比例这一比例更加稳定的趋于更加稳定的趋于0.5.概率的概率的统计定义统计定义定义定义在相同条件下进行在相同条件下进行n次重复实验次重复实验, 若事件若事件A发生的频率发生的频率 随着实验次数随着实验次数n的增大而的增大而稳定地在某个常数稳定地在某个常数P附近摇动附近摇动, 则称则称P为事件为事件A的的概概率率, 记为记为P(A).例例 3 从某鱼池中取从某鱼池中取 100 条鱼条鱼, , 做上记号后再放入做上记号后再放入该鱼池中该鱼池中. . 先从该池中任意捉来先从该池中任意捉来 40 条鱼条鱼, , 发现其发现其中两条有记号中两条有记号, , 问池内大约有多少条鱼问池内大约有多少条鱼? ?解解 设池内有设池内有条条鱼鱼, , 则从池中捉到一条有记号鱼则从池中捉到一条有记号鱼的概率为的概率为它近似于捉到有记号鱼的频率它近似于捉到有记号鱼的频率即即故故池内大约有池内大约有2000条鱼条鱼. .二二 概率的公理化定义概率的公理化定义概率的频率解释为概率提供了经验基础概率的频率解释为概率提供了经验基础, 但是不但是不能作为一个严格的数学定义能作为一个严格的数学定义, 从概率论有关问题的研从概率论有关问题的研究算起究算起, 经过近三个世纪的漫长探索历程经过近三个世纪的漫长探索历程,人们才真正人们才真正完整地解决了概率的严格数学定义完整地解决了概率的严格数学定义, 1933年年, 苏联苏联著名著名数学家数学家柯尔莫哥洛夫柯尔莫哥洛夫, 在他的在他的概率论的基本概念概率论的基本概念一书给出了现在已被广泛接受的概率的一书给出了现在已被广泛接受的概率的公理化体系公理化体系,第一次将概率论建立在严密的逻辑基础上第一次将概率论建立在严密的逻辑基础上.概率的公理化定义概率的公理化定义定义定义:设设E是随机试验是随机试验, S是它的样本空间是它的样本空间,对于对于E的每一件事件的每一件事件A赋予一个实数赋予一个实数,记为记为P(A), 若若P(A)满满足下列足下列三个条件三个条件:1. 非负性非负性:对每一个事件对每一个事件A, 有有2. 完备性完备性:3. 可列可加性可列可加性: 对任意可数个两两互不相容的对任意可数个两两互不相容的事件事件有有则称则称 P(A)为事件为事件A的概率的概率.三三. 概率的性质概率的性质性质性质1性质性质2(有限可加性有限可加性)设设是两两不相是两两不相容的事件，容的事件， 则有则有性质性质3性质性质4特别地，特别地， 若若则则(1)(2)概率的性质概率的性质性质性质5对任一事件对任一事件A，性质性质6注：注： 性质性质6可推广到任意有限个事件的并的情形可推广到任意有限个事件的并的情形.例如例如,性质性质1证明证明令令则则由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得由概率的非负性知由概率的非负性知,故由上式可得故由上式可得注：注：不可能事件的概率为不可能事件的概率为0, 但反之不然但反之不然. 证毕证毕性质性质2(有限可加性有限可加性)设设是两两互不相是两两互不相容的事件容的事件, 则有则有证明证明令令既有既有由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得证毕证毕.性质性质3证明证明因因且且由性质由性质2, 得得证毕证毕.性质性质4特别地特别地, 若若则则(1)(2)证明证明因因且且再由概率的有限可加性再由概率的有限可加性,即得即得所以所以则有则有若若故有（故有（1）又由概率的非负性知又由概率的非负性知,故故(2)证毕证毕.性质性质5对任一事件对任一事件A,证明证明:因因由性质由性质4, 得得证毕证毕.性质性质6对任意两个事件对任意两个事件A,B,有有证明证明因因且且故得故得证毕证毕一般地一般地,对任意对任意n个事件个事件有有证毕证毕.例例 4 已知已知求求(1)(2)(3)(4)解解(1) 因为因为且且与与是不是不相容的相容的, , 故有故有于是于是(2)(3)(4)