第一节集合第一节集合1 1集合的含义和表示集合的含义和表示(1)(1)了解集合的含义，元素与集合的了解集合的含义，元素与集合的”属于属于”关系；关系；(2)(2)能用自然语言、图形语言、集合语言能用自然语言、图形语言、集合语言( (列举法或描述列举法或描述法法) )描述不同的具体问题描述不同的具体问题2 2集合间的基本运算集合间的基本运算(1)(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；子集；(2)(2)在具体情境下，了解全集和空集的含义在具体情境下，了解全集和空集的含义3 3集合的基本运算集合的基本运算(1)(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；集合的并集与交集；(2)(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；定子集的补集；(3)(3)能使用韦恩图表达集合的关系和运算能使用韦恩图表达集合的关系和运算一、元素与集合一、元素与集合1集合中元素的三个特性：集合中元素的三个特性： 、 、 2集合中元素与集合的关系集合中元素与集合的关系元素与集合之间的关系有元素与集合之间的关系有 和和 两种，表示两种，表示符号为符号为 和和 . 3常见集合的符号表示常见集合的符号表示集合集合自然数集自然数集正整数集正整数集整数集整数集有理有理数集数集实数集数集表示表示 . . . . . . . . . .4.集合的表示法：集合的表示法： 、 、 互异性互异性确定性确定性无序性无序性属于属于不属于不属于列举法列举法描述法描述法 N NN*N*或或N Z ZQ QR RVennVenn图图1集合集合Ax|y 、By|y ，A、B相等相等吗？吗？提示提示 不相等不相等A中的代表元素是中的代表元素是x，故，故A是是y 的定的定义域，义域，Ax|x1，B中的代表元素是中的代表元素是y，故故B是是y 的值域，的值域， By|y0，所以，所以AB 二、集合间的基本关系二、集合间的基本关系ABA B或或B AAB或或BA表示关系表示关系定定义记法法集合集合间的的基本基本关系关系相等相等集合集合A与集合与集合B中的中的所有元素都相同所有元素都相同 . .子集子集A中任意一元素均中任意一元素均为B中的元素中的元素 . .真子集真子集A中任意一元素均中任意一元素均为B中的元素，且中的元素，且B中至少有一个元素中至少有一个元素A中没有中没有 . .A非空集合非空集合 B(B )空集空集空集是任何集合的子空集是任何集合的子集集 . .空集是任何空集是任何 . 的真子集的真子集 .2集合集合 是空集吗？它与集合是空集吗？它与集合0有什么区别？有什么区别？提示提示 集合集合 不是空集空集是不含任何元素的集合，而不是空集空集是不含任何元素的集合，而集合集合 中有一个元素中有一个元素 ，集合，集合 与集合与集合0的区别是它们的区别是它们的元素不同，其中的元素不同，其中 的元素为的元素为 ，0的元素为的元素为0.3子集与真子集有何区别和联系？子集与真子集有何区别和联系？提示提示 集合集合A的真子集一定是其子集，而集合的真子集一定是其子集，而集合A的子集不一的子集不一定是其真子集，还可以是集合定是其真子集，还可以是集合A本身；若集合本身；若集合A有有n个元素，个元素，则其子集的个数为则其子集的个数为2n个，真子集的个数为个，真子集的个数为2n1个个 AB _UA ABxA，或或xB xA，且且xB xU，且且x A AB ( _UA) UB) U A) UB)； AB AAA 4如何理解并集概念中的如何理解并集概念中的”或或”？提示提示 并集的概念中并集的概念中”x A或或x B”包括三层意思：包括三层意思：x A，但，但x B；x A，但，但x B；x A且且x B.1已知集合已知集合A1,3,5,7,9，B0,3,6,9,12，则则A( NB )为为()A1,5,7 B3,5,7C1,3,9 D1,2,3【解析】【解析】 显然显然A( NB ) A(AB)，且且AB3,9，所以结果为，所以结果为1,5,7【答案】【答案】 A【解析】【解析】 由题意由题意M(1，)，N(0,2)，则则MN(1,2)，故选，故选A.【答案】【答案】 A2 2(2011(2011东北四校模拟东北四校模拟) )已知集合已知集合M M y y| |y y2 2x x ，x x00，N N x x| |y ylg(2lg(2x xx x2 2 )，则，则M MN N为为( () )A A(1,2) B(1,2) B(1(1，)C C22，) D) D11，)3 3设集合设集合A A55，loglog2 2( (a a3)3) ，集合，集合B B a a，b b 若若A AB B22，则，则A AB B_._.【解析】【解析】 A AB B22， loglog2 2( (a a3)3) 2.2.a a1.1.b b2.2.A A5,25,2，B B1,21,2A AB B1,2,51,2,5【答案】【答案】 1,2,5 1,2,54 4已知集合已知集合P P1,21,2，那么满足，那么满足Q QP P的集合的集合Q Q的个数是的个数是( () )A A4 B4 B3 3C C2 D2 D1 1【解析】【解析】 Q QP P，P P1,21,2，Q Q ，11，22，1,21,2【答案】【答案】 A A5 5(2011(2011江苏模拟江苏模拟) )已知全集已知全集U UR R，集合，集合A A x x|log|log2 2(3(3x x) ) 22，集合，集合B B . .(1)(1)求集合求集合A A、B B；(2)(2)求求( ( U UA A )B B. .【解析】【解析】 (1) (1)由已知得由已知得log2(3log2(3x x)log24)log24， 解得解得11x x3 3，A A x x| |11x x33由由 1 1，得，得( (x x2)(2)(x x3)03)0，且且x x2020，解得，解得2 2x x3.3.B B x x| |2 2x x33(2)(2)由由(1)(1)可得可得 U UA A x x| |x x1 1或或x x33故故( ( U UA A)B B x x| |2 2x x1 1或或x x331掌握集合的概念，关键是把握集合中元素的特性，掌握集合的概念，关键是把握集合中元素的特性，要特别注意集合中元素的互异性，一方面利用集合元素的要特别注意集合中元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，在解答完毕互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，在解答完毕之时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正之时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确确2用描用描述法表示集合时，首先应清楚集合的类型和元述法表示集合时，首先应清楚集合的类型和元素的性质如集合素的性质如集合 y y| |y y2 2x x ， x x| |y y 2 2x x ，(x x，y y)|)|y y 2 2x x 表示不同的集合表示不同的集合 (2011 (2011高考改编题高考改编题) )已知已知a a，b bRR， a a， ，11 a a2 2，a ab,b,00，则，则a a20122012b b20122012_._.【思路点拨】【思路点拨】 利用集合相等的概念求出利用集合相等的概念求出a a，b b，然后计算，然后计算【解析】【解析】 由已知得由已知得 0 0且且a a00，所以，所以b b0 0，于是于是a a2 21 1，即，即a a1 1或或a a1.1.当当a a1 1时，两集合中的元素分别为时，两集合中的元素分别为1,0,11,0,1与与1,1,01,1,0不满足不满足集合中元素的互异性，故集合中元素的互异性，故a a11，a a1 1，此时集合为，此时集合为 1,0,11,0,1，符合题意，符合题意，a a20122012b b20122012( (1)1)201220120 0201220121.1.【答案】【答案】 1 1【发散思维】【发散思维】 在利用集合相等或其他相关概念求字母的在利用集合相等或其他相关概念求字母的值时，特别需注意利用集合中元素的互异性来检验所得值时，特别需注意利用集合中元素的互异性来检验所得结果是否正确结果是否正确1 1集合集合A A0,20,2，a a ，B B11，a a2 2 ，若若A AB B0,1,2,4,160,1,2,4,16则则a a的值为的值为( () )A A0 B0 B1 1C C2 D2 D4 4【解析】【解析】 a a4 4时，时， a a2 2 1616，A A0,2,40,2,4，B B1,161,16； a a2 2 4 4，a a22，不满足题意，故选，不满足题意，故选D.D.【答案】【答案】 D D 在解决两个集合的关系问题时，避免出错的一个在解决两个集合的关系问题时，避免出错的一个有效手段即是合理运用数轴或韦恩图来帮助分析和求解，有效手段即是合理运用数轴或韦恩图来帮助分析和求解，另外，在解含有参数的不等式另外，在解含有参数的不等式( (或方程或方程) )时，要对参数进行时，要对参数进行讨论，分类时要遵循讨论，分类时要遵循”不重不漏不重不漏”的分类原则，然后对于的分类原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答每一类情况都要给出问题的解答 (2010 (2010浙江高考浙江高考) )设设P P x x| |x x44， Q Q x x| |x x2 244，则，则( () ) A AP PQ QB BQ QP P C CP P R RQ Q D DQ Q R RP P【思路点拨】【思路点拨】 可先化简可先化简Q Q，再判断，再判断P P与与Q Q的关系的关系【解析】【解析】 Q Q x x| |2 2x x22，如图所示，则，如图所示，则Q QP P. .【答案】【答案】 B B【发散思维】【发散思维】 判断两集合间的关系，实际上是判断两集判断两集合间的关系，实际上是判断两集合元素的关系，故首先需先求出两个集合，使其明晰化，合元素的关系，故首先需先求出两个集合，使其明晰化，然后利用韦恩图法、数轴法或图象法来判断然后利用韦恩图法、数轴法或图象法来判断 2 2(2011(2011海淀模拟海淀模拟) )已知集合已知集合S S ，P P x x| |a a1 1x x2 2a a1515(1)(1)求集合求集合S S；(2)(2)若若S SP P，求实数，求实数a a的取值范围的取值范围【解析】【解析】 (1) (1)由由 0 0得得2 2x x5 5，S S x x| |2 2x x55(2)(2)由由S SP P得得 解之得解之得55a a3. 3. 解决集合的运算问题，一般先化简集合以确定集合的解决集合的运算问题，一般先化简集合以确定集合的元素，然后借助韦恩图和数轴等使抽象问题直观化一般元素，然后借助韦恩图和数轴等使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用韦恩图表示，集合元素连续时用数地，集合元素离散时用韦恩图表示，集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时需注意端点值的取舍轴表示，用数轴表示时需注意端点值的取舍 (2010 (2010天津高考天津高考) )设集合设集合A A x x|x xa a| |1 1，x xRR，B B x x|1|1x x5 5，x xRR若若A AB B ，则实数，则实数a a的取的取值范围是值范围是( () )A A a a|0|0a a6 B6 B a a| |a a22或或a a44C C a a| |a a00或或a a6 D6 D a a|2|2a a44【思路点拨】【思路点拨】 借助数轴画图分析借助数轴画图分析【解析】【解析】 A A x x|x xa a| |1 1，x xRR x x| |a a1 1x x1 1a a ，A AB B ，如图所示，如图所示或或a a1111或或a a1515即即a a00或或a a6.6.【答案】【答案】 C C【发散思维】【发散思维】 在进行集合的运算时，先看清集合的元在进行集合的运算时，先看清集合的元素和所满足的条件，再把所给集合化为最简形式，并合理素和所满足的条件，再把所给集合化为最简形式，并合理转化求解，必要时充分利用数轴、韦恩图、图象等工具，转化求解，必要时充分利用数轴、韦恩图、图象等工具，并会运用分类讨论、数形结合等思想方法，使运算更加直并会运用分类讨论、数形结合等思想方法，使运算更加直观，简洁观，简洁 3 3(2011(2011宣武模拟宣武模拟) )设设S S为全集，为全集，B BA AS S，则下列结论中正确的是则下列结论中正确的是( () )A. A. S SA A S SB B B BA AB BB BC CA A( ( S SB B) ) D DA AB BS S【解析】【解析】 利用韦恩图可知，利用韦恩图可知，B B正确正确【答案】【答案】 B B 新概念的引入不仅要求能深入理解新概念的信息，新概念的引入不仅要求能深入理解新概念的信息，而且要能够调出已学习过的而且要能够调出已学习过的”旧旧”概念，进行相互对照，此概念，进行相互对照，此类考题的关键在于一个类考题的关键在于一个”新新”字，即背景新、概念新、题型字，即背景新、概念新、题型新，解题时不要被新，解题时不要被”新新”所迷惑，在理解与领会概念后，掩所迷惑，在理解与领会概念后，掩藏在藏在”新新”的外衣下的往往是极为简单的知识点的外衣下的往往是极为简单的知识点 非空集合非空集合G G关于运算关于运算满足：满足：(1)(1)对任意的对任意的a a，b bG G，都有，都有a ab bG G；(2)(2)存在存在e eG G，使得对一切，使得对一切a aG G都有都有a ae ee ea aa a，则称，则称G G关于运算关于运算为为”融洽集融洽集”现给出现给出下列集合和运算：下列集合和运算：G G 非负整数非负整数 ，为整数的加法；为整数的加法；G G 偶数偶数 ，为整数的乘法；为整数的乘法；G G 平面向量平面向量 ，为平面向量的加法；为平面向量的加法；G G 二次三项式二次三项式 ，为多项式的加法；为多项式的加法；G G 虚数虚数 ，为复数的乘法为复数的乘法其中其中G G关于运算关于运算为为”融洽集融洽集”的有哪些？的有哪些？并说明理由并说明理由 【思路点拨】【思路点拨】 充分理解充分理解”融洽集融洽集”的概念要求，而后的概念要求，而后将将逐一验证是否符合条件即可逐一验证是否符合条件即可【解析】【解析】 G G 非负整数非负整数 ，为整数的加法为整数的加法任意两个非负整数的和仍为非负整数，且存在任意两个非负整数的和仍为非负整数，且存在e e0 0，使得对一切使得对一切a aG G，都有，都有a a0000a aa a，符合符合G G关于运算关于运算为为”融洽集融洽集”；2 2分分G G 偶数偶数 ，为整数的乘法为整数的乘法任意两个偶数的乘积仍是偶数，但不存在偶数任意两个偶数的乘积仍是偶数，但不存在偶数e eG G使使得对一切得对一切a aG G都有都有a ae ee ea aa a成立，成立，不符合不符合G G关于运算关于运算为为”融洽集融洽集”；4 4分分 G G 平面向量平面向量 ，为平面向量的加法为平面向量的加法任意两个向量之和仍为向量，且存在任意两个向量之和仍为向量，且存在e e0 0，使得对一，使得对一切切a aG G都有都有a0a00a0aa a，符合符合G G关于运算关于运算为为”融洽集融洽集”；7 7分分 G G 二次三项式二次三项式 ，为多项式的加法为多项式的加法任意两个二次三项式的和不一定是二次三项式，任意两个二次三项式的和不一定是二次三项式，不符合不符合G G关于运算关于运算为为”融洽集融洽集”；9 9分分G G 虚数虚数 ，为复数的乘法为复数的乘法任意两个虚数的乘积不一定是虚数，任意两个虚数的乘积不一定是虚数，不符合不符合G G关于运算关于运算为为”融洽集融洽集”.11”.11分分综上所述，其中综上所述，其中G G关于运算关于运算为为”融洽集融洽集”的有的有.1212分分【发散思维】【发散思维】 新型集合的概念及运算问题是近几年新课新型集合的概念及运算问题是近几年新课标高考的热点问题在给出新的运算法则的前提下，充分标高考的热点问题在给出新的运算法则的前提下，充分利用已知求解是关键集合命题中与运算法则相关的问题，利用已知求解是关键集合命题中与运算法则相关的问题，是对映射构建下的集合与集合、元素与元素间的运算相关是对映射构建下的集合与集合、元素与元素间的运算相关性及封闭性的研究性及封闭性的研究 4 4对任意两个正整数对任意两个正整数m m，n n定义某种运算定义某种运算：m mn n 则集合则集合P P(a a，b b)|)|a ab b8 8，a a，b bNN 中元素的中元素的个数为个数为( () ) A A5 B5 B7 7 C C9 D9 D1111【解析】【解析】 由运算由运算的定义知共有的定义知共有(2,6)(2,6)，(1,7)(1,7)，(3,5)(3,5)，(4,4)(4,4)，(1,8)(1,8)，(6,2)(6,2)， (7,1)(7,1)，(5,3)(5,3)，(8,1)(8,1)【答案】【答案】 C C