第六节 简单的三角恒等变换1.1.半角公式半角公式【即时应用即时应用】(1)(1)思考：你能用思考：你能用sinsin、coscos表示表示tan tan 吗？吗？提示：提示：(2)(2)判断下列公式及其变形是否正确判断下列公式及其变形是否正确.(.(请在括号中填写请在括号中填写“”或或“”) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )【解析解析】根据公式可知根号下分子上应该是根据公式可知根号下分子上应该是“+ +”，故错，故错; ;等号右边分子上应该是等号右边分子上应该是“- -”，故错；，故错；等号右边分子上等号右边分子上应该是应该是“- -”，可以化简验证，故错，可以化简验证，故错. .答案：答案： (3)(3)填空：填空：coscos2 21515-sin-sin2 21515=_.=_.2sin2sin2 21515-1=_.-1=_.【解析解析】coscos2 21515-sin-sin2 21515=cos30=cos30= =2sin2sin2 21515-1=-cos30-1=-cos30=-=-答案：答案： - - 2.2.形如形如asinx+bcosxasinx+bcosx的式子的化简的式子的化简asinx+bcosx=_sin(x+asinx+bcosx=_sin(x+) )( (其中其中 ) )【即时应用即时应用】(1)(1)把下列三角函数式化成把下列三角函数式化成 sin(x+sin(x+) )的形式的形式sin+ cos=_;sin+ cos=_;sin+cos=_;sin+cos=_;5sin+12cos=_.5sin+12cos=_.(2)(2)计算：计算：【解析解析】(1)(1)sin+cos= ;sin+cos= ;5sin+12cos= sin(+5sin+12cos= sin(+)=13sin(+)=13sin(+)()(其中其中tantan= ).= ).(2)(2)原式原式答案：答案：(1)2sin(+ )(1)2sin(+ )13sin(+13sin(+)()(其中其中tantan= )= )(2) (2) 热点考向热点考向 1 1 三角函数式的求值三角函数式的求值【方法点睛方法点睛】三角函数式求值的类型和思路三角函数式求值的类型和思路(1)(1)三角函数式求值的类型三角函数式求值的类型三角函数式求值分为直接求值和条件求值三角函数式求值分为直接求值和条件求值, ,直接求值就是直接直接求值就是直接根据所给的三角函数式选择恰当的公式化简变形求得三角函数根据所给的三角函数式选择恰当的公式化简变形求得三角函数式的值式的值. .条件求值是要根据条件选择合适的公式进行三角恒等条件求值是要根据条件选择合适的公式进行三角恒等变换求得所需要的值，同时注意所给角的范围变换求得所需要的值，同时注意所给角的范围. .(2)(2)条件求值的一般思路条件求值的一般思路先化简所求式子或所给条件先化简所求式子或所给条件; ;观察已知条件与所求式子之间的联系观察已知条件与所求式子之间的联系( (从三角函数名及角入手从三角函数名及角入手););将已知条件代入所求式子将已知条件代入所求式子, ,化简求值化简求值. . 【例例1 1】求下列三角函数式的值求下列三角函数式的值. .(1)sin50(1)sin50(1+ tan10(1+ tan10)=_.)=_.(2)(2)若若cos(+)= ,cos(-)= ,cos(+)= ,cos(-)= ,则则tantan=_.tantan=_.(3)(3)已知已知tan( +)=2,tan( +)=2,则则 =_.=_.【解题指南解题指南】(1)(1)把切函数换成弦函数再用公式化简求值，重在把切函数换成弦函数再用公式化简求值，重在公式的逆用；公式的逆用；(2)(2)利用两角和、差的余弦公式展开求利用两角和、差的余弦公式展开求coscos,coscos,sinsinsinsin，相除得结果；，相除得结果；(3)(3)根据已知条件求出根据已知条件求出tantan，把所给，把所给的三角函数式变形，代入的三角函数式变形，代入tantan即可即可. .【规范解答规范解答】(1)(1)原式原式=sin50=sin50( )( )=sin50=sin50=2sin50=2sin50= =(2)cos(+)=coscos-sinsin= (2)cos(+)=coscos-sinsin= cos(-)=coscos+sinsin= cos(-)=coscos+sinsin= 由由解得解得coscos= ,sinsin= ,coscos= ,sinsin= ,则则(3)(3)由由于是于是= =答案：答案：(1)1 (2) (3)(1)1 (2) (3)【互动探究互动探究】把本例把本例(2)(2)中的中的“cos(+)= ,cos(-cos(+)= ,cos(-)= )= ”改为改为“sin(+)= ,sin(-)= sin(+)= ,sin(-)= ”, ,如何求如何求 ？【解析解析】因为因为sin(+)=sincos+cossin= ,sin(+)=sincos+cossin= ,sin(-)=sincos-cossin= ,sin(-)=sincos-cossin= ,两式相加得两式相加得sincos= sincos= 两式相减得两式相减得cossin=- cossin=- 【反思反思感悟感悟】三角函数式求值问题的注意点三角函数式求值问题的注意点(1)(1)三角函数式求值时一定要准确地应用公式和选择恰当的思路，三角函数式求值时一定要准确地应用公式和选择恰当的思路，否则会使求值过程烦琐否则会使求值过程烦琐. .(2)(2)条件求值要求准确利用所给的条件，在此可能涉及到式子的条件求值要求准确利用所给的条件，在此可能涉及到式子的变形和角的变换，同时要注意角的范围变形和角的变换，同时要注意角的范围. .【变式备选变式备选】已知已知 求求cos(2+ )cos(2+ )的值的值. .【解析解析】= =又又故可知故可知从而从而= = = =热点考向热点考向 2 2 三角函数式的化简三角函数式的化简【方法点睛方法点睛】三角函数式化简的原则、要求及方法三角函数式化简的原则、要求及方法(1)(1)三角函数式的化简原则三角函数式的化简原则: :一是统一角，二是统一函数名一是统一角，二是统一函数名. .能求能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分. .(2)(2)(3)(3)三角函数式化简的方法主要是弦切互化，异名化同名，异角三角函数式化简的方法主要是弦切互化，异名化同名，异角化同角化同角. .【提醒提醒】同角三角函数关系式和诱导公式在化简中经常应用，特同角三角函数关系式和诱导公式在化简中经常应用，特别是别是“1 1”的代换经常用到的代换经常用到. . 【例例2 2】化简化简 (,2).(,2).【解题指南解题指南】利用三角函数的倍角公式凑根号下为完全平方式，利用三角函数的倍角公式凑根号下为完全平方式，化无理式为有理式，但要注意化无理式为有理式，但要注意的范围的范围. .【规范解答规范解答】原式原式= =(,2),(,2),cos 0,cos 0,当当 时，时，sin +cos 0sin +cos 0，原式原式=2(sin +cos )-2cos =2sin=2(sin +cos )-2cos =2sin当当 20) (0)的最小正周期为的最小正周期为.(1)(1)求求的值的值; ;(2)(2)求函数求函数f(x)f(x)在区间在区间 上的取值范围上的取值范围. .【解析解析】(1)f(x)=(1)f(x)= =因为函数因为函数f(x)f(x)的最小正周期为的最小正周期为,且且00，所以所以 解得解得=1.=1.(2)(2)由由(1)(1)得得因为因为 所以所以所以所以因为因为 所以所以f(x)f(x)在区间在区间 上的取值上的取值范围为范围为1.(20131.(2013三明模拟三明模拟) )已知函数已知函数 ( (其中其中0,xR)0,xR)的最小正周期为的最小正周期为，则函数的一条对称轴可，则函数的一条对称轴可能是能是( )( )(A) (B) (A) (B) (C) (D)(C) (D)【解析解析】选选D.D.又最小正周期为又最小正周期为,故故 得得=1.=1.故当故当 时，时， 此时此时f(x)f(x)取得最大值，取得最大值，故一条对称轴为故一条对称轴为2.(20132.(2013厦门模拟厦门模拟) )已知函数已知函数f(x)= f(x)= 若若f(x)1f(x)1，则，则x x的取值范围为的取值范围为( )( )【解析解析】选选B.B.= = 3.(20133.(2013莆田模拟莆田模拟) )已知已知tan =2,tan =2,则则=( )=( )(A)3 (B)1 (A)3 (B)1 (C) (D)(C) (D)【解析解析】选选= =4.(20124.(2012福州模拟福州模拟) )已知函数已知函数f(x)=tan(2x+ ),f(x)=tan(2x+ ),(1)(1)求求f(x)f(x)的定义域与最小正周期；的定义域与最小正周期；(2)(2)设设(0, )(0, )，若，若f( )=2cos2,f( )=2cos2,求求的大小的大小. .【解析解析】(1)(1)由由 kZkZ，所以所以 kZ.kZ.所以所以f(x)f(x)的定义域为的定义域为xR| kZ,xR| kZ,f(x)f(x)的最小正周期为的最小正周期为(2)(2)由由f( )=2cos2f( )=2cos2得得tan(+ )=2cos2,tan(+ )=2cos2,整理得整理得因为因为(0, )(0, )，所以，所以sin+cos0,sin+cos0,因此因此(cos-sin)(cos-sin)2 2= ,= ,即即sin2= sin2= ，因为，因为(0, )(0, )，所以所以= .= .