山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂1.离散型离散型2.连续型连续型3.Y= g(X)4.Z=g(X, Y)数学期望的定义复习数学期望的定义复习山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂性质性质2 E（CX）= C E（X）性质性质3 E（X+Y）= E（X）+E（Y） 性质性质4 设设X，Y是两个相互独立的随机变量，则有是两个相互独立的随机变量，则有 E（XY）= E（X） E（Y）性质推广：性质推广：（1）E(X1+X2+Xn)= E（X1）+E（X2）+E（Xn）(3)若若X1，X2，Xn相互独立，则相互独立，则 (4) E ( X1 X2 Xn）= E(X1) E(X2) E(Xn)（2）E(C1X1+C2X2+CnXn)= E(C1X1)+E(C2X2)+E(CnXn) = C1E (X1)+C2E(X2)+ + CnE(Xn)特别地特别地 E（E(X)）= E(X)性质性质1 E（C）= C ，其中，其中C为常数为常数数学期望的性质复习数学期望的性质复习山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂方差概念的引出方差概念的引出 引例引例 从甲，乙两车床加工的零件中各取件，测得尺寸如下从甲，乙两车床加工的零件中各取件，测得尺寸如下 (单位：单位：cm) : 甲：甲：8, 9, 10, 11, 12； 乙：乙：9.6, 9.8, 10, 10.2, 10.4已知标准尺寸为已知标准尺寸为10(cm), 公差公差d=0.5cm, 问那一台车床好？问那一台车床好？ 以以甲甲 ，乙乙分别表示甲、乙两车床加工零件的长度。易得：分别表示甲、乙两车床加工零件的长度。易得： E(甲甲) =E(乙乙)10. 但甲和乙零件的质量有显著差异，甲加工的零件只有件合格，但甲和乙零件的质量有显著差异，甲加工的零件只有件合格，乙加工零件全合格。可见不仅需要考虑平均长度，而且需要考虑乙加工零件全合格。可见不仅需要考虑平均长度，而且需要考虑这些长度值是否较整齐。这些长度值是否较整齐。1081191210故考虑故考虑 E(|X-E(X)|) EX-E(X)24.2 4.2 随机变量的方差随机变量的方差山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂1.方差的概念方差的概念D(X)=Var(X)=EX-E(X)2并称并称 为为X的标准差或均方差记为的标准差或均方差记为 。2. 方差的几何意义方差的几何意义 随随机机变变量量X的的方方差差反反映映出出X的的取取值值与与其其数数学学期期望望的的偏偏离离程程度度若若 较较小小，则则X取取值值比比较较集集中中，否否则则，X取取值值比比较较分分散散因此，方差因此，方差 是刻画是刻画X取值分散程度的一个量取值分散程度的一个量 定义定义 设设X是随机变量，如果是随机变量，如果EX - E(X)2存在，则称存在，则称EX-E(X)2为为X的方差，记为的方差，记为D(X)或或Var(X)，即，即山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂其中其中 PX = xk = pk k=1, 2, 3, .连续型随机变量连续型随机变量 离散型随机变量离散型随机变量3.方差的计算方差的计算4. 方差计算公式方差计算公式山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂= E(X2)- E(X)2 4. 方差计算公式方差计算公式公式公式证明证明D(X)= EX E(X)2= EX 2 - 2XE(X)+ E(X)2= E(X 2)- 2E(X)E(X)+ E(X)2 例例1 设随机变量设随机变量 X0 - 1分布，其概率分布为分布，其概率分布为 PX=1= p，PX=0=q，0p1，p+q=1，求求D(X) 解解 因因 E(X)= p， 而而 E(X 2)= 12p + 02q = p，于是于是 D(X)= E(X 2)- E(X)2= p - p2 = p q。山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂解解求求D(X)。所以所以或或16)()()()(22=-=dxxfxdxxfXExXD例例2 设随机变量设随机变量X具有概率密度具有概率密度山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂性质性质2 D(CX) = C 2 D(X)性质性质3 D(X+C) = D(X)， D(aX+b)= a2 D(X)性质性质4 若若X，Y是两个相互独立的随机变量，则有是两个相互独立的随机变量，则有 D（X+Y）= D（X）+D（Y） 性质性质5 D（X）= 0 的充要条件是的充要条件是P X = E(X) =1 推广推广 若若X1, X2, , Xn相互独立，相互独立， 练习练习 若若X1, X2, X3相互独立，期望分别为相互独立，期望分别为9, 10, 12；方差分；方差分别为别为 2, 1, 4, 求求Y = 2 X1+3X2+X3 的期望和方差。的期望和方差。6021为常数，则有为常数，则有性质性质1 D(C)= 0 5. 方差的性质方差的性质山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 证明证明 (2) D(CX) = E CX - E(CX)2 = C2 EX - E(X)2 = C2 D(X)(3) D(X+C)= E(X+C)- E(X+C)2= EX E(X)2= D(X)而而 EX-E(X) Y-E(Y) = E(XY)-E(X)E(Y)-E(X)E(Y)+E(X)E(Y) = E(XY)- E(X)E(Y)由于由于X, Y相互独立，故有相互独立，故有E(XY)= E(X)E(Y) 从而有从而有 EX-E(X)Y-E(Y)= 0 ，(4) D(X+Y) = E(X+Y)-E(X+Y)2于是于是 D(X+Y)= D(X)+D(Y)练习练习 若若X，Y 相互独立，证明相互独立，证明 D(X-Y)= D(X)+D(Y)。= EX-E(X)2+ EY-E(Y)2+ 2EX-E(X)Y-E(Y)= D(X)+D(Y) + 2EX-E(X)Y-E(Y)= EX-E(X)+Y-E(Y)2= EXY - E(X)Y - E(Y)X + E(X)E(Y)山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂6. 常见分布的数学期望和方差常见分布的数学期望和方差1) 0 - 1分布分布 概率分布为概率分布为E(X) = p 2) 二项分布二项分布 设随机变量设随机变量X XB B（n n，p p），），其概率分布为其概率分布为: :D(X)= E(X2)-E(X)2= p-p2 = p(1-p) = pq X10Pp1-p山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 2) 二项分布二项分布 设随机变量设随机变量XB(n, p), 其概率分布为其概率分布为:则则 D(X)）=E(X2)- E(X)2。事实上。事实上所所以以 D(X)=E(X2)- E(X)2 = n(n -1)p2 +np - n2p2 = npq山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂3) 泊松分布泊松分布 设随机变量设随机变量X( )，概率分布为：概率分布为：，k = 0,1,2,3,0D（X）=E（X2）- E（X）2因此因此 D（X）= E（X2）- E（X）2 =2 +-2 = 山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂4) 几何分布几何分布 设随机变量设随机变量X服从几何分布，分布律为服从几何分布，分布律为 其中其中0p1为常数，则为常数，则 山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂5) 均匀分布均匀分布 设设X Ua,b 概率密度概率密度为：山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 6) 指数分布指数分布 设设X E() 概率密度概率密度为：故故山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂，（，（x+)7) 正态分布正态分布 设设XN（,2）概率密度概率密度为：山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂，（，（x+)7) 正态分布正态分布 设设XN( , 2)概率密度概率密度为：山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂D（X）=D（X1+X2+Xn）i=1,2,n显然显然 Xi 均均服从（服从（0 - 1）分布）分布, 即即 E（Xi）= p, D(Xi) = pq ， （i =1，2，n）且且 X1，X2，Xn相互独立。相互独立。于是于是 E（X）= E（X1+X2+Xn） = E（X1）+E（X2）+E（Xn）= np=D（X1）+D（X2）+D（Xn）= npq解解 令令则则 X= X1+X2+Xn 例例3 在在 n 重贝努里试验中，用重贝努里试验中，用 X 表示表示 n 次试验中事次试验中事件件A 发生的次数，记发生的次数，记P(A)= p，求，求E(X)，D(X) 山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 例例4 设随机变量设随机变量 X 的期望的期望E(X)和方差和方差D(X)都存在，都存在，则称则称为为X 标准化随机变量标准化随机变量, 试求试求 和和 解解 注意到注意到 均为常数，再由期望及方差均为常数，再由期望及方差的性质可得：的性质可得：我们称上例的过程为对随机变量我们称上例的过程为对随机变量X的标准化的标准化 山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂练练 习习 题题 1 设设X表示独立射击目标表示独立射击目标10次所击中目标的次数，每次击中的次所击中目标的次数，每次击中的概率为概率为0.4，则，则 E(X2) = ( ) 2 随机变量随机变量X服从参数为服从参数为1的指数分布，则的指数分布，则 E(X+e-2X)= ( ). 3 随机变量随机变量X与与Y独立，且独立，且XN(1, 2)，YN(0, 1), 则则Z=2X-Y+3 的期望与方差分别为的期望与方差分别为( )二、单选题二、单选题一、填空题一、填空题 设设和和是两个随机变量，则下式正确的是（是两个随机变量，则下式正确的是（ ）三、计算题三、计算题 设有设有n个同样的盒子和个同样的盒子和n个同样的小球分别编号为个同样的小球分别编号为1,2,3,，n将将n个球随机地放入个球随机地放入n个盒子中去，每个盒子放一个球，求与盒子个盒子中去，每个盒子放一个球，求与盒子编号相同的小球数的数学期望编号相同的小球数的数学期望( ) 18.45, 9 (A)山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 21/ 2(b-a)2/12 npqpqD(X) 1/ (a+b)/2 nppE(X)N( , 2)E( )Ua, bP()B(n, p)0 -1分布分布 1. D(X)=Var(X)=EXE(X)2 3. 常见分布的期望与方差常见分布的期望与方差 2. D(X)的性质的性质(略略)小小 结结山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂本节结束