茶陵职业中专学校茶陵职业中专学校 罗永尧罗永尧 双曲线的性质双曲线的性质 曲线曲线性质性质 方程方程范围范围对称性对称性 图形图形顶点顶点离心率离心率椭圆椭圆对称轴：x轴,y轴 中心：原点0e1,e越大，椭圆越扁e越小，椭圆越圆 如果我们也按照椭圆的几何性质的研究方法如果我们也按照椭圆的几何性质的研究方法来研究双曲线，那么双曲线将会具有什么样的来研究双曲线，那么双曲线将会具有什么样的几何性质呢？几何性质呢？1、范围：、范围：2、对称性：、对称性：3、顶点：、顶点：4、离心率、离心率:参照椭圆，完成下表参照椭圆，完成下表 曲线曲线性质性质方程方程范围范围对称性对称性图形图形顶点顶点离心率离心率椭圆椭圆对称轴：x轴,y轴 中心：原点0e1,A1A2 4. 什么叫双曲线的离心率？它的范围是什么？1.双曲线的范围是怎么推出来的？2.为什么双曲线关于x轴、y轴、原点都对称？简单说出理由。3.椭圆有4个顶点，为什么双曲线只有2个？动动脑脑思思考考 探探索索新新知知1范围范围 xa或x a 说明双曲线位于直线xa的左侧与直线xa的右侧（如图） 因为 ，所以由双曲线的标准方程知道，双曲线上的点的横坐标满足，即 于是有 动动脑脑思思考考 探探索索新新知知2对称对称性性 在双曲线的标准方程中，将y换成y，方程依然成立这说明双曲线关于x轴对称（如图） 同理可知，双曲线关于y轴对称，也关于坐标原点对称x轴与y轴都叫做双曲线的对称轴双曲线的对称轴，坐标原点叫做双曲线的对称对称中心中心（简称中心中心） 动动脑脑思思考考 探探索索新新知知3.顶点顶点 令x = 0，得 ，这个方程没有实数解，说明双曲线和画出来和 y轴没有交点但我们也将点 线段 分别叫做双曲线的实轴实轴和虚轴虚轴，它们的长分别为2a和2b a和b分别表示双曲线的半实轴长半实轴长和半虚轴长半虚轴长 说明说明 实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线 在双曲线的标准方程中，令y=0，得到 因此，双曲线与x轴有两个交点 （如图） 双曲线和它的对称轴的交点叫做双曲线的顶点因 此 是双曲线的顶点动动脑脑思思考考 探探索索新新知知4离心率离心率 双曲线焦距与实轴长的比 ，叫做双曲线的离心率，记作e即因为c a0，所以双曲线的离心率 e 1由 可以看到，e越大， 的值越绝对值越大，这时双曲线的“张率e越小，双曲线的“张口”就越小。大，即直线 的斜率的口”就越大（如图）反之，离心想一想想一想 等轴双曲线的离心率是多少？ 动动脑脑思思考考 探探索索新新知知5渐近线渐近线 经过 分别作y轴的平行线x = a ，x = a，经过 分别作x轴的平行线y = b ，y = b这四条直线围成一个矩形（如图）矩形的两条对角线所在的方程为 双曲线的标准方程可以写成 可以看到，当|x|无限增大时，y的值无限接近于 的值这说明双曲线的两支曲线与两条直线无限接近（但不能相交）因此，两条直线 叫做双曲线的渐近线渐近线 标准方程标准方程图形图形范围范围对称性对称性顶点顶点焦点焦点离心率离心率渐近线渐近线xyo对称轴：对称轴：x轴轴,y轴轴 中心：原点中心：原点e1,对称轴：对称轴：x轴轴,y轴轴 中心：原点中心：原点e1,e越大，张口越大，张口越大越大e越小，张口越小，张口越小越小e越大，张口越大，张口越大越大e越小，张口越小，张口越小越小(c,0) (-c,0)(0,c) (0,-c)巩巩固固知知识识 典典型型例例题题解 将所给的方程化为标准方程，得 渐近线方程为 例例3求双曲线 点坐标、顶点坐标、离心率与渐近线方程.的实轴长、虚轴长、焦 因此双曲线的焦点在x轴上且 故 a = 4，b = 3， c = 5 所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为6，焦点为（-5，0），（5，0），顶点为（-4，0），（4，0).离心率为课堂练习：教材第40页练习2.2.2，第1题小结：1、本节课所研究的双曲线的、本节课所研究的双曲线的几何性质几何性质有哪些？有哪些？2、需要注意的问题：、需要注意的问题：焦点在不同的坐标轴时的焦点在不同的坐标轴时的顶点和顶点和渐近线的方程不同渐近线的方程不同作业：教材第40页第1题（1）、（2）谢谢指导！谢谢指导！