概率统计 在上节所介绍内容中已经知道：样本是进行统在上节所介绍内容中已经知道：样本是进行统计推断的依据。但在实际应用时，往往不是直接使计推断的依据。但在实际应用时，往往不是直接使用样本本身，而是针对不同的问题构造样本的适当用样本本身，而是针对不同的问题构造样本的适当函数，利用这些样本的函数进行统计推断。函数，利用这些样本的函数进行统计推断。 第二节第二节 抽样分布抽样分布 问题的提出问题的提出 亦亦即即样样本本去去推推断断总总体体情情况况，需需要要对对样样本本进进行行一一定定的的“加加工工”，这这就就要要构构造造一一些些样样本本的的适适当当函函数数，它把样本中所含的（某一方面）的信息集中起来。它把样本中所含的（某一方面）的信息集中起来。 这种这种不含任何未知参数的样本的函数不含任何未知参数的样本的函数称为称为统计统计量量。它是完全由样本决定的量。它是完全由样本决定的量。概率统计1. 定义定义设设 是来自总体是来自总体 X 的一个样的一个样本本，是是 的函数。的函数。若若 g 是连续函数且是连续函数且 g 中不含任何未知参数中不含任何未知参数,则称则称 是一个统计量。是一个统计量。一一. 统计量的定义统计量的定义 注注: 统计量是样本的函数，它是一个统计量是样本的函数，它是一个随机变量随机变量。其中其中: 是是 的的样本值样本值 称称 为为 的的观察值观察值概率统计 2. 几个常用的统计量几个常用的统计量样本均值：样本均值：样本方差：样本方差：它反映了总体它反映了总体均值的信息均值的信息它反映它反映了总体了总体方差的方差的信息信息(1).(2).(3). 样本标准差：样本标准差：(4).样本样本 k 阶原点矩：阶原点矩：(5).样本样本 k 阶中心矩：阶中心矩： k=1, 2,它反映了它反映了总体总体k 阶阶矩的信息矩的信息它反映了它反映了总体总体k 阶阶中心矩的中心矩的信息信息概率统计注注:(1) (5)均是随机变量，均是随机变量，实际上它们是样本函数的实际上它们是样本函数的(2)数字特征；数字特征；它们的观察值是具体的实数值，仍它们的观察值是具体的实数值，仍(3)称为样本均值、样本方差、样本称为样本均值、样本方差、样本 k 阶原点距阶原点距(4)与样本与样本 k 阶中心距。阶中心距。 若总体若总体 X 的的 k 阶原点距阶原点距 存在，存在，则当则当 时有：时有： 这个这个结论表明结论表明：样本的：样本的 k 阶距依概率收敛到阶距依概率收敛到总体的总体的 k 阶距。这也是参数估计中的矩估计阶距。这也是参数估计中的矩估计法的理论根据。法的理论根据。(证明见教材证明见教材 P161)概率统计3. 抽样分布抽样分布统计量作为随机变量，因而就有一定的分布，这统计量作为随机变量，因而就有一定的分布，这个分布就称为统计量的个分布就称为统计量的 “抽样分布抽样分布” 。故有：。故有：统计量的分布称为统计量的分布称为抽样分布抽样分布 二二. 几个重要的分布几个重要的分布设设 是是来来自自正正态态分分布布 N( 0, 1 )的的样本，则称统计量：样本，则称统计量： 为为服服从从自自由由度度为为 n 的的 分布分布.定义定义.分布分布1.记为：记为：概率统计注注:自由度自由度 n 是指是指 中所包含中所包含独立变量独立变量的个数的个数分布的分布的密度函数密度函数为：为：来定义。来定义。其中：伽玛函数其中：伽玛函数 通过积分：通过积分：其图形如下：其图形如下：概率统计若若 ，则，则n=2n=1n=4n=6n=11xf (x)0（参见教材（参见教材 P163 图图 61）概率统计相互独立，则相互独立，则分布的分布的上上 分位点分位点：称称满足：满足：对于给定的对于给定的为为分布的上分布的上 分位点。分位点。分布的分布的可加性：可加性：若若且且其图形如下：其图形如下：的点的点概率统计面积面积 =xf (x)0对于不同的对于不同的 与与 ， 有表可查（见教材有表可查（见教材P443 的附表的附表4）一般一般:当当时可直接查表时可直接查表当当时可用近似公式：时可用近似公式：概率统计例如：例如：费歇证明费歇证明是正态分布的上是正态分布的上分位点分位点或：或：概率统计记为记为T t ( n )为为服从自由度为服从自由度为 n 的的 t 分布分布.设设 XN ( 0, 1 ) , Y , 且且 X 与与 Y 相相互独立互独立 ，则称随机变量：，则称随机变量：t 分布分布2. 定义定义. 注注:t 分布是英国统计学家哥塞特（分布是英国统计学家哥塞特（G0sset）首先）首先发现的，并以学生发现的，并以学生(student)的笔名在英国的的笔名在英国的Bi0metrike杂志上发表的一篇文章中提出杂志上发表的一篇文章中提出了他的研究结果，故了他的研究结果，故 t 分布也称为分布也称为学生分布学生分布。概率统计 t 分布的概率密度函数为：分布的概率密度函数为：它非常象正态它非常象正态分布图形分布图形, 关关于于 y 轴对称轴对称xt (x)0n=2n=25n =（参见教材（参见教材 P165 图图 63）其图形如下：其图形如下：概率统计T 分布的上分布的上 分位点分位点: 对于给定的对于给定的 ,称满足条件称满足条件:当当 充分大时，充分大时，即即当当 充分大时，充分大时，t 分布可以近似看作是标准正分布可以近似看作是标准正态分布；但态分布；但当当 较小时，较小时， t 分布与正态分布的差分布与正态分布的差异是不能忽略的。异是不能忽略的。若若 T t ( n )，则有：，则有：当当 时时当当时时的点的点 为为 t 分布的上分布的上 分位点分位点。 概率统计0面积面积 =对于不同的对于不同的 与与 ， 有表可查（见教材有表可查（见教材P441 的附表的附表3）一般一般:当当时可直接查表时可直接查表当当时可用近似公式：时可用近似公式：(用正态分布近似用正态分布近似)概率统计例如例如：由上由上 分位点定义及分位点定义及 h( t ) 对称性得对称性得: 概率统计 F分布分布 设设 X 与与Y 相互独立，相互独立， 则称统计量：则称统计量：为为服从自由度服从自由度 n1 及及 n2 的的 F 分布分布，记作：，记作： F F ( n1, n2 ) 若若 F F ( n1, n2 )，则，则 F 的概率密度为：的概率密度为：注注:3.定义定义.概率统计x0其图形如下：其图形如下：（参见教材（参见教材 P167 图图 65）若若 则则概率统计若若 则：则：当当 时，时，当当 时，时，称满足条件称满足条件:F 分布的上分布的上 分位点分位点: 对于给定的对于给定的 ,的点的点 为为 F 分布的上分布的上 分位点分位点。 ),(21nnFa a概率统计x0面积面积 =对于不同的对于不同的 与与 ， 有表可查（见教有表可查（见教材材P447 的附表的附表5）例如例如:概率统计 正态分布正态分布分布的上分布的上 分位的分位的性质性质：4.（请复习其图形及性质等）（请复习其图形及性质等）概率统计三三. 正态分布的样本均值与样本方差的分布正态分布的样本均值与样本方差的分布 定理定理 1 (样本均值和样本方差的分布样本均值和样本方差的分布)设设 X1, X2, Xn 是取自正态总是取自正态总体体 的样本，的样本，是其样本均值和样本方差是其样本均值和样本方差则则和和相互独立相互独立只证（只证（1），），（2）与（）与（3）的证明见教材的证明见教材P173P174概率统计证明证明: (1) 因为若因为若则有：则有：由已知由已知又又则：则：即即概率统计的样本，的样本，的样本，的样本，设设设设是总体是总体是总体是总体分别为样本均值和样本方差，则有分别为样本均值和样本方差，则有分别为样本均值和样本方差，则有分别为样本均值和样本方差，则有相互独立相互独立相互独立相互独立概率统计n 取不同值时样本均值取不同值时样本均值 的分布的分布概率统计n 取不同值时取不同值时 的分布的分布概率统计推论推论.注注:推论的推论的实质实质是把服从一般正态分布的随机变是把服从一般正态分布的随机变量量 化为标准正态分布的一个方法。它类似化为标准正态分布的一个方法。它类似于把一个随机变量于把一个随机变量 经经线性变换线性变换化为服从标准正态分布。化为服从标准正态分布。设设 是总体是总体 的一个样本，的一个样本， 则则概率统计对于对于一般一般的有：的有：由推论由推论概率统计定理定理 2. 设设 X1, X2 , Xn 是取自正态总体是取自正态总体的样本的样本,分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差,则有：则有：证明证明:由定理由定理1 的结的结论与论与 推论推论并且两者相互独立并且两者相互独立由由 分布的定义得：分布的定义得：概率统计定理定理 3. 且且 X 与与是取自是取自 Y 的样本。的样本。Y 相互独立，相互独立，是取自是取自 X 的的样本，样本，分别是这两个样本的样本均值，分别是这两个样本的样本均值，和和分别是这两个样本的样本方差。分别是这两个样本的样本方差。和和概率统计则有：则有：证明证明:而而相当于相当于y = ax+b中中 a = -1, b = 0其中：其中：概率统计从而从而由定理由定理1推论推论由由 分布的分布的可加性可加性概率统计则由则由 t 分布定义得：分布定义得：概率统计例例1. 在总体在总体 中随机抽取一容量为中随机抽取一容量为 36 的样本的样本, 求：样本均值求：样本均值 落在落在 50. 8 到到 53. 8 之间的概率之间的概率解解:样本的容量为样本的容量为 36样本均值样本均值 从而：从而：概率统计例例2.证明证明:由由 F 分布定义得分布定义得:已知已知求证：求证：所以由所以由 分布的定义，即：分布的定义，即：