第一节 n维向量扬州大学数学科学学院定义定义1 1分量全为复数的向量称为分量全为复数的向量称为复向量复向量. .分量全为实数的向量称为分量全为实数的向量称为实向量实向量，一、 维向量的概念例如例如n维实向量维实向量n维复向量维复向量第第1个个分量分量第第n个分量个分量第第2个分量个分量二、 维向量的表示方法 维向量写成一行，称为维向量写成一行，称为行向量行向量，也就是行，也就是行矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如： 维向量写成一列，称为维向量写成一列，称为列向量列向量，也就是列，也就是列矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如：注意注意行向量和列向量总被看作是行向量和列向量总被看作是两个不同的两个不同的向量向量；行向量和列向量都按照行向量和列向量都按照矩阵的运算法则矩阵的运算法则进行运算；进行运算；当没有明确说明是行向量还是列向量时，当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作都当作列向量列向量.向量向量解析几何解析几何线性代数线性代数既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量有有次序的实数组成的数组次序的实数组成的数组几何形象：可随意几何形象：可随意平行移动的有向线段平行移动的有向线段代数形象：向量的代数形象：向量的坐标表示式坐标表示式坐坐坐坐标标标标系系系系三、向量空间空间空间解析几何解析几何线性代数线性代数点空间点空间：点的集合：点的集合向量空间向量空间：向量的集合：向量的集合坐坐坐坐标标标标系系系系代数形象：向量空代数形象：向量空间中的平面间中的平面几何形象：空间几何形象：空间直线、曲线、空间直线、曲线、空间平面或曲面平面或曲面一一对应一一对应叫做叫做 维向量空间维向量空间 时，时， 维向量没有直观的几何形象维向量没有直观的几何形象叫做叫做 维向量空间维向量空间 中的中的 维超平面维超平面确定飞机的状态，需确定飞机的状态，需要以下要以下6个参数：个参数：飞机重心在空间的位置参数飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)机身的水平转角机身的水平转角机身的仰角机身的仰角机翼的转角机翼的转角所以，确定飞机的状态，需用所以，确定飞机的状态，需用6维向量维向量 维向量的实际意义维向量的实际意义课堂讨论课堂讨论在日常工作、学习和生活中，有许多问题都在日常工作、学习和生活中，有许多问题都需要用向量来进行描述，请同学们举例说明需要用向量来进行描述，请同学们举例说明向量的表示方法：行向量与列向量；向量的表示方法：行向量与列向量； 向量空间：向量空间：解析几何与线性代数中向量的联系与区别、解析几何与线性代数中向量的联系与区别、向量空间的概念；向量空间的概念； 向量在生产实践与科学研究中的广泛应用向量在生产实践与科学研究中的广泛应用四、小结 维向量的概念，实向量、复向量；维向量的概念，实向量、复向量；若一个本科学生大学阶段共修若一个本科学生大学阶段共修3636门课程门课程, ,成绩成绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一个描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一个向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多举向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多举几例几例, ,说明向量的实际应用说明向量的实际应用思考题如果我们还需要考察其它指标，如果我们还需要考察其它指标，比如平均成绩、总学分等，维数还将增加比如平均成绩、总学分等，维数还将增加思考题解答答答36维的维的第二节 向量组的线性相关性扬州大学数学科学学院 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组所组成的集合叫做向量组例如例如一、向量、向量组与矩阵向量组向量组 , , ， 称为矩阵称为矩阵A的行向量组的行向量组 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵成一个矩阵.线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵的列向量组之间方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应一一对应定义定义线性组合线性组合 向量向量 能能由向量组由向量组 线性表示线性表示定理定理1 1定义定义向量组向量组 能由向量组能由向量组 线性表示线性表示向量组等价向量组等价从而从而注意注意定义定义二、线性相关性的概念则称则称向量组向量组 是线性相关的，否则称它线性无关是线性相关的，否则称它线性无关定理向量组定理向量组 （当（当 时）线性相关时）线性相关的充分必要条件是的充分必要条件是 中至少有一个向中至少有一个向量可由其余量可由其余 个向量线性表示个向量线性表示证明证明 充分性充分性 设设 中有一个向量（比如中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.即有即有三、线性相关性的判定故故因因 这这 个数不全为个数不全为0，故故 线性相关线性相关.必要性必要性设设 线性相关，线性相关，则有不全为则有不全为0的数使的数使 因因 中至少有一个不为中至少有一个不为0，不妨设则有不妨设则有即即 能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.证证毕毕.线性相关性在线性方程组中的应用线性相关性在线性方程组中的应用结论结论定理定理2 2下面举例说明定理的应用下面举例说明定理的应用.证明证明（略）（略）解解例例解解例例分析分析证证定理定理3 3证明证明说明说明说明说明. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；在线性方程组中的应用；（重点重点）. 线性相关与线性无关的判定方法：定义，线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个定理两个定理（难点难点）四、小结思考题证明证明（）、（）略（）、（）略（）充分性充分性必要性必要性思考题解答第二节 向量组的秩扬州大学数学科学学院定义定义最大线性无关向量组最大线性无关向量组最大最大无关组无关组一、最大线性无关向量组定理定理二、矩阵与向量组秩的关系结论结论说明说明事实上事实上定理定理三、向量组秩的重要结论推论推论1 1推论推论2 2思考思考证一证一证二证二注意注意最大线性无关向量组的概念：最大线性无关向量组的概念：最大性最大性、线性无关性线性无关性 矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩矩阵列向量组的秩矩阵的秩矩阵列向量组的秩矩阵行向量组的秩矩阵行向量组的秩 关于向量组秩的一些结论：关于向量组秩的一些结论：一个定理一个定理、三个推论三个推论 求向量组的秩以及最大无关组的方法：求向量组的秩以及最大无关组的方法：将向量组中的向量作为列向量构成一个矩将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换阵，然后进行初等行变换四、小结 比较教材例比较教材例7 7的证的证法一、二、三，并总法一、二、三，并总结这类题的证法结这类题的证法思考题证证法一根据法一根据向量组等价的定义向量组等价的定义，寻找两向量，寻找两向量组相互线性表示的系数矩阵；组相互线性表示的系数矩阵；思考题解答证法二利用证法二利用“经初等列变换，矩阵的列向量经初等列变换，矩阵的列向量组等价，经初等行变换，矩阵的行向量组等价组等价，经初等行变换，矩阵的行向量组等价”这一特性，验证是否有相同的行最简形矩阵；这一特性，验证是否有相同的行最简形矩阵；证法三直接计算向量组的秩，利用了证法三直接计算向量组的秩，利用了向量组向量组的最大线性无关组等价的最大线性无关组等价这一结论这一结论第四节 向量空间扬州大学数学科学学院说明说明2 维向量的集合是一个向量空间维向量的集合是一个向量空间,记作记作 .一、向量空间的概念定义定义1 1设设 为为 维向量的集合，如果集合维向量的集合，如果集合 非空，非空，且集合且集合 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合集合 为向量空间为向量空间1集合集合 对于加法及乘数两种运算封闭指对于加法及乘数两种运算封闭指例例2 2 判别下列集合是否为向量空间判别下列集合是否为向量空间.解解例例3 3 判别下列集合是否为向量空间判别下列集合是否为向量空间.解解试判断集合是否为向量空间试判断集合是否为向量空间.一般地，一般地，为为定义定义2 2 设有向量空间设有向量空间 及及 ，若向量空间，若向量空间，就说就说 是是 的子空间的子空间实例实例二、子空间设设 是由是由 维向量所组成的向量空间，维向量所组成的向量空间，那末，向量组那末，向量组 就称为向量的一个就称为向量的一个基基， 称为向量空间称为向量空间 的维数的维数，并称并称 为为 维向量维向量空间空间三、向量空间的基与维数定义定义3 3 设设 是向量空间，如果是向量空间，如果 个向量个向量 ，且满足，且满足 （1）只含有零向量的向量空间称为）只含有零向量的向量空间称为0维向量空维向量空间，因此它没有基间，因此它没有基说明说明 （3）若向量组）若向量组 是向量空间是向量空间 的一的一个基，则个基，则 可表示为可表示为 （2）若把向量空间）若把向量空间 看作向量组，那末看作向量组，那末 的基的基就是向量组的最大无关组就是向量组的最大无关组, 的维数就是向量组的的维数就是向量组的秩秩.向量空间的概念：向量空间的概念：向量的集合向量的集合对加法及数乘两种运算封闭对加法及数乘两种运算封闭；由向量组生成的向量空间由向量组生成的向量空间子空间的概念子空间的概念向量空间的基和维数：向量空间的基和维数：求向量空间基和维数的方法求向量空间基和维数的方法四、小结思考题思考题解答第五节 线性方程组解的结构扬州大学数学科学学院解向量的概念解向量的概念设有齐次线性方程组设有齐次线性方程组若记若记（1）一、齐次线性方程组解的性质则上述方程组（则上述方程组（1）可写成向量方程）可写成向量方程若若为方程为方程 的的解，则解，则称为方程组称为方程组(1) 的的解向量解向量，它也就是向量方程，它也就是向量方程(2)的解的解齐次线性方程组解的性质齐次线性方程组解的性质（1 1）若）若 为为 的解，则的解，则 也是也是 的解的解. .证明证明（2 2）若）若 为为 的解，的解， 为实数，则为实数，则 也是也是 的解的解证明证明由以上两个性质可知，方程组的全体解向量由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组性方程组 的的解空间解空间证毕证毕.基础解系的定义基础解系的定义二、基础解系及其求法线性方程组基础解系的求法线性方程组基础解系的求法设齐次线性方程组的系数矩阵为设齐次线性方程组的系数矩阵为 ，并不妨并不妨设设 的前的前 个列向量线性无关个列向量线性无关 于是于是 可化为可化为现对现对 取下列取下列 组数：组数：依次得依次得从而求得原方程组的从而求得原方程组的 个解：个解：下面证明下面证明 是齐次线性方程组解空是齐次线性方程组解空间的一个基间的一个基由于由于 个个 维向量维向量线性无关，线性无关，所以所以 个个 维向量维向量 亦线性无关亦线性无关.由于由于 是是 的解的解 故故 也是也是 的的解解. 所以所以 是齐次线性方程组解空间的一个基是齐次线性方程组解空间的一个基.说明说明解空间的基不是唯一的解空间的基不是唯一的解空间的基又称为方程组的解空间的基又称为方程组的基础解系基础解系若若 是是 的基础解系，则的基础解系，则其其通解通解为为 定理定理1 1例例1 1 求齐次线性方程组求齐次线性方程组的的基础解系与通解基础解系与通解.解解对系数矩阵对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩作初等行变换，变为行最简矩阵，有阵，有例例2 2 解线性方程组解线性方程组解解对系数矩阵施对系数矩阵施行初等行变换行初等行变换即方程组有无穷多解，即方程组有无穷多解， 其基础解系中有三个线性无关的解向量其基础解系中有三个线性无关的解向量.所以原方程组的一个基础解系为所以原方程组的一个基础解系为故原方程组的通解为故原方程组的通解为例例3 3证证证明证明非齐次线性方程组解的性质非齐次线性方程组解的性质三、非齐次线性方程组解的性质证明证明证毕证毕其中其中 为对应齐次线性方程为对应齐次线性方程组的通解，组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特为非齐次线性方程组的任意一个特解解.非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的通解非非齐次线性方程组齐次线性方程组Ax=b的通解为的通解为与方程组与方程组 有解等价的命题有解等价的命题线性方程组线性方程组 有解有解线性方程组的解法线性方程组的解法（1 1）应用克莱姆法则）应用克莱姆法则（2 2）利用初等变换）利用初等变换特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题用来证明很多命题特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法的计算方法例例4 4 求解方程组求解方程组解解解解例例5 5 求下述方程组的解求下述方程组的解所以方程组有无穷多解所以方程组有无穷多解. 且原方程组等价于方程组且原方程组等价于方程组求基础解系求基础解系 令令依次得依次得求特解求特解所以方程组的通解为所以方程组的通解为故得基础解系故得基础解系另一种解法另一种解法则原方程组等价于方程组则原方程组等价于方程组所以方程组的通解为所以方程组的通解为齐次线性方程组基础解系的求法齐次线性方程组基础解系的求法四、小结（1）对系数矩阵）对系数矩阵 进行初等变换，将其化为进行初等变换，将其化为最简形最简形由于由于令令（2）得出）得出 ，同时也可知方程组的一，同时也可知方程组的一个基础解系含有个基础解系含有 个线性无关的解向量个线性无关的解向量故故为齐次线性方程组的一个基础解系为齐次线性方程组的一个基础解系.( ( ) )( ( ) )nBRAR= = =( ( ) )( ( ) )nBRAR = = 线性方程组解的情况线性方程组解的情况思考题思考题解答第四章 习题课扬州大学数学科学学院分分量量全全为为实实数数的的向向量量称称为为实实向向量量分分量量全全为为复复数数的的向向量量称称为为复复向向量量向量的定义定定义义向向量量的的相相等等零零向向量量分分量量全全为为0 0的的向向量量称称为为零零向向量量负负向向量量向向量量加加法法向量的线性运算数数乘乘向向量量向向量量加加法法和和数数乘乘向向量量运运算算称称为为向向量量的的线线性性运运算算 ， 满满 足足 下下 列列 八八 条条 运运 算算 规规 则则 ：除除了了上上述述八八条条运运算算规规则则，显显然然还还有有以以下下性性质质：若若干干个个同同维维数数的的列列（行行）向向量量所所组组成成的的集集合合叫叫做做向向量量组组定定义义线性组合定定义义线性表示定定理理定定义义定定义义线性相关定定理理定定理理定定义义向量组的秩等等价价的的向向量量组组的的秩秩相相等等定定理理 矩矩阵阵的的秩秩等等于于它它的的列列向向量量组组的的秩秩，也也等等于于它它的的行行向向量量组组的的秩秩定定理理设设向向量量组组B B能能由由向向量量组组A A线线性性表表示示，则则向向量量组组 B B 的的 秩秩 不不 大大 于于 向向 量量 组组A A 的的秩秩推推论论推推论论推推论论（最最大大无无关关组组的的等等价价定定义义）设设向向量量组组是是向向量量组组的的部部分分组组，若若向向量量组组线线性性无无关关，且且向向量量组组能能由由向向量量组组线线性性表表示示，则则向向量量组组是是向向量量组组的的一一个个最最大大无无关关组组向量空间定定义义设设 为为 维维向向量量的的集集合合，如如果果集集合合 非非空空，且且集集合合 对对于于加加法法及及数数乘乘两两种种运运算算封封闭闭，那那么么就就称称集集合合 为为向向量量空空间间定定义义子空间定定义义基与维数向向量量方方程程齐次线性方程组解解向向量量解解向向量量的的性性质质性性质质性性质质定定义义定定理理定定义义向向量量方方程程非齐次线性方程组解解向向量量的的性性质质性性质质性性质质解解向向量量向向量量方方程程 的的解解就就是是方方程程组组 的的解解向向量量（）求求齐齐次次线线性性方方程程组组的的基基础础解解系系线性方程组的解法第第一一步步：对对系系数数矩矩阵阵进进行行初初等等行行变变换换，使使其其变变成成行行最最简简形形矩矩阵阵第第三三步步：将将其其余余 个个分分量量依依次次组组成成 阶阶单单位位矩矩阵阵，于于是是得得齐齐次次线线性性方方程程组组的的一一个个基基础础解解系系（）求求非非齐齐次次线线性性方方程程组组的的特特解解将将上上述述矩矩阵阵中中最最后后一一列列的的前前 个个分分量量依依次次作作为为特特解解的的第第 个个分分量量，其其余余 个个分分量量全全部部取取零零，于于是是得得即即为为所所求求非非齐齐次次线线性性方方程程组组的的一一个个特特解解一、向量组线性关系的判定一、向量组线性关系的判定二、求向量组的秩二、求向量组的秩三、向量空间的判定三、向量空间的判定四、基础解系的证法四、基础解系的证法五、解向量的证法五、解向量的证法典型例题一、向量组线性关系的判定研研究究这这类类问问题题一一般般有有两两个个方方法法方方法法1 1从从定定义义出出发发整整理理得得线线性性方方程程组组方方法法利利用用矩矩阵阵的的秩秩与与向向量量组组的的秩秩之之间间关关系系判判定定例例研研究究下下列列向向量量组组的的线线性性相相关关性性解解一一整整理理得得到到解解二二分分析析证证明明证证明明向向量量组组的的一一个个部部分分组组构构成成最最大大线线性性无无关关组组的的基基本本方方法法就就是是：分析分析根据最大线性无关组的定义来证，它往往还根据最大线性无关组的定义来证，它往往还与向量组的秩相联系与向量组的秩相联系证证明明求求一一个个向向量量组组的的秩秩，可可以以把把它它转转化化为为矩矩阵阵的的秩秩来来求求，这这个个矩矩阵阵是是由由这这组组向向量量为为行行（列列）向向量量所所排排成成的的如如果果向向量量组组的的向向量量以以列列（行行）向向量量的的形形式式给给出出，把把向向量量作作为为矩矩阵阵的的列列（行行），对对矩矩阵阵作作初初等等行行（列列）变变换换，这这样样，不不仅仅可可以以求求出出向向量量组组的的秩秩，而而 且且 可可 以以 求求 出出 最最 大大 线线 性性 无无 关关 组组 二、求向量组的秩若若矩矩阵阵 经经过过初初等等行行（列列）变变换换化化为为矩矩阵阵 ，则则 和和 中中任任何何对对应应的的列列（行行）向向量量组组都都有有相相同同的的线线性性相相关关性性解解判判断断向向量量的的集集合合是是否否构构成成向向量量空空间间，需需看看集集合合是是否否对对于于加加法法和和数数乘乘两两种种运运算算封封闭闭若若封封闭闭，则则构构成成 向向 量量 空空 间间 ； 否否 则则 ， 不不 构构 成成 向向 量量 空空 间间 解解三、向量空间的判定例例证证明明与与基基础础解解系系等等价价的的线线性性无无关关的的向向量量组组也也是是基基础础解解系系四、基础解系的证法分析分析(3)方程组的任一解均可由该向量组线性表示方程组的任一解均可由该向量组线性表示(1)该组向量都是方程组的解；该组向量都是方程组的解；(2)该组向量线性无关；该组向量线性无关；要要证证明明某某一一向向量量组组是是方方程程组组的的基基础础解解系系，需需要要证证明明三三个个结结论论:证证明明注注 当当线线性性方方程程组组有有非非零零解解时时，基基础础解解系系的的取取法法不不唯唯一一，且且不不同同的的基基础础解解系系之之间间是是等等价价的的五、解向量的证法证证明明注注意意(1)本本例例是是对对非非齐齐次次线线性性方方程程组组的的解解的的结结构构作作进进一一步步的的分分析析和和讨讨论论，即即非非齐齐次次线线性性方方程程组组一一定定存存在在着着个个线线性性无无关关的的解解，题题中中( 2 )的的 证证 明明 表表 明明 了了 它它 的的 存存 在在 性性 (3)对对非非齐齐次次线线性性方方程程组组，有有时时也也把把如如题题中中所所给给的的个个解解称称为为的的基基础础解解系系，所所不不同同的的是是它它的的线线性性组组合合只只有有当当线线性性组组合合系系 数数 之之 和和 为为1时时 ， 才才 是是 方方 程程 组组 的的 解解 (2)对对齐齐次次线线性性方方程程组组，当当时时，有有无无穷穷多多组组解解，其其中中任任一一解解可可由由其其基基础础解解系系线线性性表表示示第四章测试题一、填空题一、填空题( (每小题每小题5 5分，共分，共4040分分) )二、计算题二、计算题( (每小题每小题8 8分，共分，共2424分分) )三、证明题三、证明题 ( (每小题每小题8 8分，共分，共2424分分) )四、向量组四、向量组 线性无关线性无关, ,问常数问常数 满足满足什么条件时什么条件时, ,向量组向量组线性无关线性无关(12(12分分) )测试题答案