回忆定积分回忆定积分. .设一元函数 y = f (x) 在a, b可积. 则有如图0xyabxixi+1 iy = f (x)f ( i)其中xi = xi+1 xi , 表示小区间xi, xi+1的长, f ( i) xi表示小矩形的面积.有一空间几何体. 其底面是 xoy 面上的区域D, 其侧面为母线平行于 z 轴的柱面, 其顶是曲面 z= f (x, y), 我们称为曲顶柱体.我们知道，顶是平面的平顶柱体的体积V = 底面积高，那么曲顶柱体的体积V怎么计算呢？0yzxz = f (x,y)D 一、引例一、引例(1)用曲线将D分成 n 个小区域 D1, D2, Dn , 每个小区域Di 都对应着一个小曲顶柱体.如图z = f (x,y)0yzxz = f (x,y)DDiDi计算步骤(2)由于Di很小, 小曲顶柱体可近似看作小平顶柱体. ( i , i) Di .小平顶柱体的高 = f ( i , i).若记 i = Di的面积. 则小平顶柱体的体积 = f ( i , i) i 小曲顶柱体体积 f ( i , i) ( i , i)Diz = f (x,y)(3)因此, 大曲顶柱体的体积分割得越细, 则右端的近似值越接近于精确值V, 若分割得无限细, 则右端近似值会无限接近于精确值V.也就是1.1.定义定义 设z=f (x,y)是定义在有界闭区域DR2上的有界函数. 将D任意分割成n个无公共内点的小区域Di(I=1, 2, , n), 其面积记为 i.(i, i) Di, 作积f (i, i) i, 二、二重积分的概念与性质二、二重积分的概念与性质 若对任意的分法和任意的取法, 当 0时, 和式的极限存在且极限值都为I, 则称f (x,y)在D上可积, 记为f (x,y) R(D), 并称此极限值 I 为f (x,y)在D上的二重积分. 记作即其中“ ”称为二重积分符号, D称为积分区域, f (x,y)称为被积函数, d称为面积元素, x, y称为积分变量. 和式注注1. 定积分二重积分区别在将小区间的长度 xi 换成小区域的面积 i,将一元函数 f (x)在数轴上点 i 处的函数值 f (i)换成二元函数 f (x, y)在平面上点(i, i)处的函数值 f (i, i).可见, 二重积分是定积分的推广. 注注2. 若将D用两族平行于x轴和y轴的直线分割.(如图)则除边界上区域外则除边界上区域外, Di都是都是矩形，它矩形，它的面积的面积为：为：故也将二重积分写成故也将二重积分写成此时面积元素记为此时面积元素记为 ： d = dxdy i = xi yi2. 2. 二重积分的几何意义：设二重积分的几何意义：设二重积分的几何意义：设二重积分的几何意义：设 x, y x, y 在在在在 D D上可积上可积上可积上可积, , 则则则则(1) 当z=f (x, y)0时,(2) 当z= f (x, y)0时,(3)= (D1上曲顶柱体体积) (D2上曲顶柱体体积)3. 3. 二重积分的性质二重积分的性质二重积分的性质二重积分的性质. .设D为有界闭区域, 以下涉及的积分均存在.性质1. 性质2. 性质3. 性质4. 直角坐标系下二重积分的计算直角坐标系下二重积分的计算直角坐标系下二重积分的计算直角坐标系下二重积分的计算. .由二重积分的几何意义知, 当f (x, y)0时, 如图若点x处截面面积为A(x), 则体积三、二重积分的计算三、二重积分的计算xy0axA(x)b如果积分区域如果积分区域D表示为：表示为：利用直角坐标系计算二重积分利用直角坐标系计算二重积分我们称为我们称为X型型（特殊情况）（特殊情况）积分区域积分区域D为：为：X型型一般地，一般地，- 先对先对 y 积分，后对积分，后对 x 积分的积分的二次积分二次积分如果积分区域如果积分区域D为：为：Y型型- 先对先对 x 积分，后对积分，后对 y 积分的积分的二次积分二次积分若区域如图，比不是若区域如图，比不是X X型也不是型也不是Y Y型，型， 在分割后的三个区域上分别使在分割后的三个区域上分别使用积分公式得：用积分公式得：则必须分割则必须分割. .例例1 将将化为二次积分。化为二次积分。其中其中 D 由直线由直线围成。围成。解解 1： 先画出积分区域先画出积分区域 D ，可知可知D 是是 Y型。型。将将 D 向向 y 轴投影。轴投影。于是，于是，解解 2： D 也是也是 X型。型。将将 D 向向 x 轴投影。轴投影。于是，于是，例例2 计算计算其中其中 D 由直线由直线围成。围成。解解 先画出积分区域先画出积分区域 D ，D 是是 X型。型。将将 D 向向 x 轴投影。轴投影。于是，于是，于是，于是，二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择（在积分中要正确选择积分次序积分次序）二、小结Y型型X型型