第二章2.4抛物线2.4.2抛物线的简单几何性质学习目标1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一抛物线的范围思考观察右侧图形，思考以下问题：(1)观察焦点在x轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心.答案思考(2)根据图形及抛物线方程y22px(p0)如何确定横坐标x的范围？由抛物线y22px(p0)有 所以x0.所以抛物线x的范围为x0.抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，y也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.答案梳理梳理抛物线y22px(p0)中，x ，y .抛物线y22px(p0)中，x ，y .抛物线x22py(p0)中，x ，y .抛物线x22py(p0)中，x ，y .(，00，)(，)(，0(，)(，)0，)(，)知识点二四种形式的抛物线的几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR对称轴x轴x轴y轴y轴焦点准线方程顶点坐标O(0，0)离心率e1通径长2p知识点三直线与抛物线的位置关系当k0时，若0，则直线与抛物线有 个不同的公共点；若0时，直线与抛物线有 个公共点；若0).抛物线的标准方程为y212x或y212x，其准线方程分别为x3或x3.例例1抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x24y236短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程.解答引申探究引申探究将本例改为“若抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若OAB的面积等于4”，求此抛物线的标准方程.解答用待定系数法求抛物线方程的步骤反思与感悟跟跟踪踪训训练练1已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2y24相交于A，B两点，|AB| ，求抛物线方程.解答类型二抛物线的焦半径和焦点弦问题由抛物线y28x的焦点为(2，0)，得直线的方程为yx2，代入y28x得(x2)28x即x212x40.所以x1x212，弦长为x1x2p12416.例例2(1)过抛物线y28x的焦点，倾斜角为45的直线被抛物线截得的弦长为_.16答案解析(2) 直线l过抛物线y24x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|8，则直线l的方程为_.xy10或xy10答案解析(3)过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为_.答案解析(1)抛物线上任一点P(x0，y0)与焦点F的连线得到的线段叫做抛物线的焦半径，对于四种形式的抛物线来说其焦半径的长分别为：反思与感悟(2)已知AB是过抛物线y22px(p0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.(3)当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p.跟跟踪踪训训练练2已知直线l经过抛物线y26x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点.(1)若直线l的倾斜角为60，求|AB|的值；解答(2)若|AB|9，求线段AB的中点M到准线的距离.解答命题角度命题角度1与抛物线有关的最值问题与抛物线有关的最值问题类型三抛物线综合问题解答(1)若曲线和直线相离，在曲线上求一点到直线的距离最小问题，可找到与已知直线平行的直线，使其与曲线相切，则切点为所要求的点.(2)以上问题一般转化为“两点之间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”来解决.反思与感悟跟跟踪踪训训练练3已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是由题意知，直线l2：x1为抛物线y24x的准线.由抛物线的定义知，点P到直线l2的距离等于点P到抛物线的焦点F(1，0)的距离.故所求最值可转化为在抛物线y24x上找一个点P，使得点P到点F(1，0)和到直线l1的距离之和最 小 ， 最 小 值 为 F(1， 0)到 直 线 l1： 4x 3y 6 0的 距 离 ， 即 d 2.答案解析命题角度命题角度2定值或定点问题定值或定点问题例例4抛物线y22px(p0)上有两动点A，B及一个定点M，F为抛物线的焦点，若|AF|，|MF|，|BF|成等差数列.(1)求证：线段AB的垂直平分线过定点Q.证明(2)若|MF|4，|OQ|6(O为坐标原点)，求抛物线的方程.解答反思与感悟在抛物线的综合性问题中，存在着许多定值问题，我们不需要记忆关于这些定值的结论，但必须牢牢掌握研究这些定值问题的基本方法，如设直线的点斜式方程、根与系数关系的利用、焦半径的转化等.设l：xtyb，代入抛物线y24x，消去x得y24ty4b0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24b.t2y1y2bt(y1y2)b2y1y24bt24bt2b24bb24b，解得b2，故直线过定点(2，0).证明当堂训练答案解析1.已知点A(2，3)在抛物线C：y22px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为22334455112.已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为答案解析22334455112233445511易知抛物线的准线方程为x1，则线段AB的中点到准线的距离为3(1)4.由抛物线的定义易得|AB|8.3.过抛物线y24x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则|AB|_.8答案解析4.已知过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p_.22334455112答案解析5.已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且|AK| |AF|，则AFK的面积为_.易知F(2，0)，K(2，0)，过点A作AM垂直准线于点M，则|AM|AF|，8答案解析2233445511规律与方法1.抛物线的中点弦问题用点差法较简便.2.轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系.3.在直线和抛物线的综合问题中，经常遇到求定值、过定点问题.解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等.解决这些问题的关键是代换和转化.