单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,2024/8/28,#,1.2,空间向量基本定理,复习引入,1.,空间向量共线定理,2.,空间向量共面定理,对任意两个平面向量,a,，,b,(,b,0),，,a,b,的充要条件是存在实数,，,使,a,b.,向量,p,与不共线向量,a,，,b,共面的充要条件是存在唯一的有序实数对,(,x,，,y,),，,使,p,x,a,y,b,.,思考,空间中任意三个向量,p,，,a,，,b,的关系？,共面：空间向量共面定理,不共面：？,三个？,新知探究,我们先从空间中三个不共面的向量,两两垂直,这一特殊情况开始讨论,O,P,Q,O,P,Q,新知探究,反证法,假设还存在有序实数组,(,x,1,，,y,1,，,z,1,),，,使得,p,x,1,i,y,1,j,z,1,k,，,则,x,1,i,y,1,j,z,1,k,x,i,y,j,z,k,.,不妨设,x,1,x,，,则,(,x,1,x,),i,(,y,y,1,),j,(,z,z,1,),k,.,因为,i,，,j,，,k,共面,，,这与已知矛盾,.,所以有序实数组,(,x,，,y,，,z,),是唯一的,.,下证唯一性：,思考,在空间中，如果用任意三个不共面的向量 代替两两,垂直的向量,你能得出类似的结论吗,?,类比平面向量基本定理，我们就得出了,空间向量基本定理：,概念生成,唯一,如果三个向量,a,，,b,，,c,不共面，那么对任意一个空间向量,p,，存在,的有序实数组,(,x,，,y,，,z,),，使得,p,.,x,a,y,b,z,c,新知探究,证明：,p,P,P,A,B,C,O,A,C,B,如图，设,不共面,.,过点,O,作,存在三个实数,x,y,z,满足,1.,空间向量基本定理,：如果三个向量,a,，,b,，,c,不共面，那么对任意一个空间向量,p,，存在,唯一,的有序实数组,(,x,，,y,，,z,),，使得,p,x,a,y,b,z,c.,2.,基底：我们把,a,，,b,，,c,叫做空间的一个,基底,，,a,，,b,，,c,都叫做基向量,.,概念生成,3.,单位正交基底,：如果空间的一个基底中的三个基向量,两两垂直,，且长度都为,1,，那么这个基底叫做单位正交基底,.,4.,正交分解,：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量,a,，均可以分解为三个向量,x,i,，,y,j,，,z,k,，使,a,x,i,y,j,z,k,.,像这样，把一个空间向量分解为三个,两两垂直,的向量，叫做把空间向量进行正交分解,.,概念生成,B,A,O,概念生成,注：,(1),任意,不共面的三个向量,都可做为空间的一个基底，基底确定后，向量由基底唯一表示,;,(3),一个基底,是指一个,向量组,，,一个基向量,是指基底中的,某一个向量,.,(2),由于 与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是,;,空间向量基本定理,：空间向量间的运算,基向量间的运算,典例解析,用基底表示向量的步骤,：,定基底,找目标,下结论,例,1,如图，,M,，,N,分别是四面体,OABC,的边,OA,，,BC,的中点，,P,，,Q,是,MN,的三等分点,.,从同一顶点出发的三条棱对应的向量,为基底，并,尽量选已知夹角和长度的向量,解：,例,2,在棱长为,2,的正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,E,，,F,分别是,DD,1,，,BD,的中点，点,G,在棱,CD,上，且,CG,CD,.,(1),证明：,EF,B,1,C,；,(2),求,EF,与,C,1,G,所成角的余弦值,.,课堂小结,本节课你学会了哪些主要内容？,空间向量基本定理：,空间立体几何代数化,