2.52.5从力做的功到向量的数量积从力做的功到向量的数量积【知知识识提提炼炼】1.1.向量的夹角与投影向量的夹角与投影(1)(1)夹角夹角定义：已知两个非零向量定义：已知两个非零向量a和和b，作，作 = =a, =, =b, ,则则_叫作向量叫作向量a与与b的夹角；的夹角；范围：范围：_；AOB=AOB=01800180大小与向量共线、垂直的关系：大小与向量共线、垂直的关系：=00a与与b_，180180a与与b_，9090a_b. .同向同向反向反向(2)(2)投影投影定义：如图所示：定义：如图所示： = =a， = =b，过点，过点B B作作BBBB1 1垂直于直线垂直于直线OAOA，垂足为，垂足为B B1 1，则，则OBOB1 1=_. _=_. _叫做向量叫做向量b在在a方向上的投影数量方向上的投影数量( (简称投影简称投影).).| |b|cos|cos | |b|cos|cos 大小与夹角的关系：大小与夹角的关系：夹角夹角 0 0 锐角锐角 9090 钝角钝角 180180 射影射影 _ _ _| |b| |正值正值0 0负值负值-|-|b| |2.2.向量的数量积向量的数量积(1)(1)定义：已知两个向量定义：已知两个向量a与与b，它们的夹角为，它们的夹角为，我们把，我们把_叫作叫作a与与b的数量积的数量积( (或内积或内积) )，记作，记作_，即，即ab= _.= _.| |a|b|cos|cos ab| |a|b|cos|cos (2)(2)几何意义：数量积几何意义：数量积ab等于等于a的长度的长度| |a| |与与b在在a方向上投影方向上投影_的乘积，或的乘积，或b的长度的长度_与与a在在b方向上投影方向上投影_的乘积的乘积. .(3)(3)物理意义：力对物体做功，就是力物理意义：力对物体做功，就是力F与其作用下物体的位移与其作用下物体的位移s的数量积的数量积_._.| |b|cos|cos | |b| | |a|cos|cos Fs(4)(4)性质：性质：若若e是单位向量，则是单位向量，则ea= =ae= _= _；ab_；( (其中其中a, ,b为为非零向量非零向量); ); | |a|=|=coscos =_(| =_(|a|b|0)|0)；对对任意两个向量任意两个向量a,ba,b, ,有有 | |ab|_|_|a|b|.|.| |a|cos|cos ab=0=0(5)(5)运算律：运算律：交换律：交换律：ab= =_. .结合律：结合律：( (a)b= _= = _= _. .分配律分配律：a(b+ +c)=)=_. .ba(ab) )a(b) )ab+ +ac【即即时时小小测测】1.1.思考下列思考下列问题问题: :(1)(1)向量的向量的夹夹角与直角与直线线的的倾倾斜角的范斜角的范围围相同相同吗吗? ?提示提示: :不相同不相同. .向量的夹角范围为向量的夹角范围为0,0,而直线的倾斜角范围为而直线的倾斜角范围为0,0,).).(2)(2)影响数量影响数量积积的大小的因素有哪些的大小的因素有哪些? ?提示提示: :影响数量积的大小的因素有向量的模及其夹角的大小影响数量积的大小的因素有向量的模及其夹角的大小. .2.2.若若e1 1, ,e2 2是两个平行的是两个平行的单单位向量位向量, ,则则下面下面结结果正确的是果正确的是( () )A.A.e1 1e2 2=1=1 B.B.e1 1e2 2=-1=-1C.|C.|e1 1e2 2|=1 D.|=1 D.e1 1e2 210,0,则则a a与与b b的的夹夹角角的取的取值值范范围围是是( () ) 【解析解析】选选A.A.因为因为a ab b0,0,所以所以coscos0,0,所以所以 . .4.4.若若e1 1, ,e2 2是是夹夹角角为为 的的单单位向量位向量, ,且且a=2=2e1 1+ +e2 2, ,b=-3=-3e1 1+2+2e2 2, ,则则ab等于等于 ( () )A.1A.1 B.-4B.-4 C.-C.- D.D.【解析解析】选选C.C.ab=(2=(2e1 1+ +e2 2) )(-3(-3e1 1+2+2e2 2) )= = =-6|=-6|e1 1| |2 2+|+|e1 1|e2 2|cos +2|cos +2|e2 2| |2 2=-61=-612 2+11 +21+11 +212 2=- .=- .5.5.已知已知| |a|=5,|=5,|b|=6,|=6,若若ab, ,则则ab=_.=_.【解析解析】由由ab, ,可知可知a与与b的夹角为的夹角为0 0或或, ,故故ab= =30.30.答案答案: :3030【知识探究知识探究】知知识识点点1 1 向量的数量向量的数量积积观观察如察如图图所示内容所示内容, ,回答下列回答下列问题问题: :问题问题1:1:向量的数量向量的数量积积可正、可可正、可负负、可、可为为零零, ,其决定因素是什么其决定因素是什么? ?问题问题2:2:向量数量向量数量积积ab中的中的“”能否省去能否省去? ?【总结总结提升提升】1.1.数量数量积积的写法及与的写法及与实实数乘数乘积积的区的区别别两向量两向量a, ,b的数量的数量积积也称作内也称作内积积, ,写成写成ab, ,其其应应与代数中的与代数中的a, ,b的乘的乘积积ab区分开来区分开来, ,其中其中“”是一种运算符号是一种运算符号, ,不同于不同于实实数的乘法符号数的乘法符号. .在向量运在向量运算中既不能省略算中既不能省略, ,也不能用也不能用“”代替代替. .2.2.数量数量积积运算的运算的结结果果(1)(1)向量向量线线性运算的性运算的结结果是一个向量果是一个向量, ,但两个向量的数量但两个向量的数量积积是一个数量是一个数量. .(2)(2)由于由于0180,0180,所以所以ab可以可以为为正数、正数、负负数和零数和零, ,且当且当09000;0;当当=90=90时时, ,ab=0;=0;当当9018090180时时, ,ab0.0.(3)(3)若若a为为零向量零向量, ,则则| |a|=|=0, ,从而从而ab=0,=0,故零向量与任一向量的数量故零向量与任一向量的数量积积为为0.0.(4)(4)aa= =a2 2=|=|a| |2 2. .(5)(5)两个两个单单位向量的数量位向量的数量积积等于它等于它们们的的夹夹角的余弦角的余弦值值. .知知识识点点2 2 数量数量积积的性的性质质及运算律及运算律观观察如察如图图所示内容所示内容, ,回答下列回答下列问题问题: :问题问题1:1:向量的数量向量的数量积积有什么重要的性有什么重要的性质质? ?问题问题2:2:数量数量积积与与实实数乘数乘积积有什么差异有什么差异? ?【总结总结提升提升】1.1.数量数量积积五条性五条性质质的的应应用用性性质质(1)(1)可以帮助理解数量可以帮助理解数量积积的几何意的几何意义义; ;性性质质(2)(2)可以解决有关垂直的可以解决有关垂直的问题问题; ;性性质质(3)(3)可以求向量的可以求向量的长长度度; ;性性质质(4)(4)可以求两向量的可以求两向量的夹夹角角; ;性性质质(5)(5)可以解决有关不等式的可以解决有关不等式的问题问题, ,当且当且仅仅当当ab时时, ,等号成立等号成立. .2.2.数量数量积积运算遵循的运算律及常用公式运算遵循的运算律及常用公式(1)(1)遵循的运算律遵循的运算律: :数量数量积积的运算只适合交的运算只适合交换换律、分配律及数乘律、分配律及数乘结结合律合律, ,不适合乘法不适合乘法结结合律合律, ,即即( (ab) )c不一定等于不一定等于a( (bc).).这这是由于是由于( (ab) )c表表示一个与示一个与c共共线线的向量的向量, ,而而a( (bc) )表示一个与表示一个与a共共线线的向量的向量, ,而而c与与a不一不一定共定共线线. .(2)(2)常用公式及注意点常用公式及注意点: :(a+ +b)()(a- -b)=|)=|a| |2 2-|-|b| |2 2; ;(a+ +b) )2 2=|=|a| |2 2+2+2ab+|+|b| |2 2; ;(a- -b) )2 2=|=|a| |2 2-2-2ab+|+|b| |2 2. .注意注意:|:|a| |2 2= =aa,|,|b| |2 2= =bb. .【题型探究题型探究】类类型一型一 平面向量数量平面向量数量积积的概念及运算的概念及运算【典典例例】1.|1.|a|=2,|=2,向向量量a与与向向量量b的的夹夹角角为为120,120,则则向向量量a在在向向量量b方方向向上的射影等于上的射影等于( () )A.2A.2 B.120B.120C.-1 D.C.-1 D.由向量由向量b的的长长度确定度确定2.2.已已知知| |a|=3,|=3,|b|=6,|=6,当当(1)(1)ab,(2),(2)ab,(3),(3)a与与b的的夹夹角角是是6060时时, ,分分别别求求ab, ,a(a+ +b).).【解解题题探究探究】1.1.向量向量a在向量在向量b方向上的射影公式是什么方向上的射影公式是什么? ?提示提示: :| |a|cos|cos. .2.2.ab时时, ,两向量的两向量的夹夹角是多少角是多少? ?提示提示: :若若a与与b同向同向, ,则它们的夹角则它们的夹角=0=0, ,若若a与与b反向反向, ,则它们的夹角则它们的夹角=180=180. .【解析解析】1.1.选选C.C.根据平面向量数量积的几何意义可知根据平面向量数量积的几何意义可知| |a|cos120|cos120=2=2 =-1.=-1.2.(1)2.(1)当当ab时时, ,若若a与与b同向同向, ,则它们的夹角则它们的夹角=0=0, ,所以所以ab=|=|a|b|cos0|cos0=3=36 61=18,1=18,a( (a+ +b)=)=a2 2+ +ab=9+18=27.=9+18=27.若若a与与b反向反向, ,则它们的夹角则它们的夹角=180=180, ,所以所以ab=|=|a|b|cos180|cos180=3=36 6(-1)=-18,(-1)=-18,a( (a+ +b)=)=a2 2+ +ab=9-18=-9.=9-18=-9.(2)(2)当当ab时时, ,它它们们的的夹夹角角=90,=90,所以所以ab=0,=0,a(a+ +b)=)=a2 2=9.=9.(3)(3)当当a与与b的的夹夹角是角是6060时时, ,有有ab=|=|a|b|cos60=36 =9.|cos60=36 =9.a(a+ +b)=)=a2 2+ +ab=18.=18.【方法技巧方法技巧】1.1.求平面向量数量求平面向量数量积积的流程的流程2.2.形如形如( (m ma+n+nb)(k)(ka+ +lb) )的运算技巧及注意点的运算技巧及注意点(1)(1)技巧技巧: :类类似于似于实实数多数多项项式的运算式的运算, ,将运算将运算转转化化为为向量向量a, ,b的数量的数量积积运运算算. .(2)(2)注意点注意点:a与与b的数量的数量积积不可不可书书写或写或认为认为是是ab, ,a2 2=|=|a| |2 2的的应应用用. .【拓展延伸拓展延伸】数量数量积积运算运算时时的两个注意点的两个注意点(1)(1)要找准两向量的要找准两向量的夹夹角角. .(2)(2)注意向量数量注意向量数量积积的运算律的的运算律的应应用用. .【变变式式训练训练】已知正三角形已知正三角形ABCABC的的边长为边长为1.1.求求: : 【解析解析】(1)(1) 的夹角为的夹角为6060, ,所以所以 (2)(2)因为因为 的夹角为的夹角为120120, ,所以所以 类类型二型二 利用数量利用数量积积求向量的模求向量的模【典例典例】已知已知| |a|=|=|b|=5,|=5,向量向量a与与b的的夹夹角角为为 . .求求|a+b|,|,|a-b|.|.【解解题题探究探究】联联想到想到| |a| |2 2= =a2 2, ,要求要求| |a+b|,|,|a-b|,|,应应先求什么先求什么? ?提示提示: :应求应求| |a+b| |2 2与与| |a-b|2, ,进而可知先求进而可知先求ab. .【解析解析】方法一方法一: :由题意可得由题意可得ab=|=|a|b|cos|cos=5=55 5 因为因为| |a+ +b| |2 2=|=|a| |2 2+|+|b| |2 2+2+2ab=25+25+2=25+25+2 =75, =75,所以所以| |a+ +b|=5 .|=5 .同理因为同理因为| |a- -b| |2 2=|=|a| |2 2+|+|b| |2 2-2-2ab=25,=25,所以所以| |a- -b|=5.|=5.方法二方法二: :由向量线性运算的几何意义求作菱形由向量线性运算的几何意义求作菱形ABCD,ABCD,使使AB=AD=5, AB=AD=5, 设设 如图如图, ,则则 【延伸探究延伸探究】1.(1.(改改变问变问法法) )本例的条件不本例的条件不变变求求|3|3a+ +b|.|.【解析解析】由题意可得由题意可得ab=|=|a|b|cos|cos=5=55 5 因为因为|3|3a+ +b| |2 2=(3=(3a+ +b)2 2=9=9a2 2+ +b2 2+6+6ab=325.=325.所以所以|3|3a+ +b|=5 .|=5 .2.(2.(变变换换条条件件) )本本例例的的已已知知条条件件若若改改为为“| |a|=|=|b|=5,|=5,且且|3|3a-2-2b|=5”,|=5”,如如何何求求|3|3a+ +b| |的的值值? ?【解析解析】因为因为|3|3a-2-2b| |2 2=9|=9|a| |2 2-12-12ab+4|+4|b| |2 2=9=925-1225-12ab+4+425=325-1225=325-12ab, ,又因为又因为|3|3a-2-2b|=5,|=5,所以所以325-12325-12ab=25,=25,即即ab=25.=25.所以所以|3|3a+ +b| |2 2=(3=(3a+ +b) )2 2=9=9a2 2+6+6ab+ +b2 2=9=925+625+625+25=400.25+25=400.所以所以|3|3a+ +b|=20.|=20.【方法技巧方法技巧】求向量的模的常用思路及方法求向量的模的常用思路及方法(1)(1)求模求模问题问题一般一般转转化化为为求模平方求模平方, ,与向量数量与向量数量积联积联系系, ,并灵活并灵活应应用用a2 2=|=|a| |2 2, ,勿忘勿忘记记开方开方. .(2)(2)aa= =a2 2=|=|a| |2 2或或| |a|= ,|= ,此性此性质质可用来求向量的模可用来求向量的模, ,可以可以实现实实现实数运算与向量运算的相互数运算与向量运算的相互转转化化. .(3)(3)一些常一些常见见的等式的等式应应熟熟记记, ,如如( (ab) )2 2= =a2 222ab+ +b2 2,(,(a+ +b)()(a- -b) )= =a2- -b2 2等等. .【补偿训练补偿训练】已知向量已知向量a与与b的的夹夹角角为为120,120,且且| |a|=4,|=4,|b|=2,|=2,求求: :(1)|(1)|a+ +b|.|.(2)|3(2)|3a-4-4b|.|.【解析解析】ab=|=|a|b|cos|cos=4=42 2cos120cos120=-4.=-4.(1)(1)因为因为| |a+ +b| |2 2= =a2 2+2+2ab+ +b2 2=|=|a| |2 2+2+2ab+|+|b| |2 2=4=42 2+2+2(-4)+2(-4)+22 2=12,=12,所以所以| |a+ +b|=2 .|=2 .(2)(2)因为因为|3|3a-4-4b| |2 2=(=(3a-4-4b) )2 2=9=9a2 2-24-24ab+16+16b2 2=9=916-2416-24(-4)+16(-4)+164=304,4=304,所以所以|3a-4b|=4 .|3a-4b|=4 .【延伸探究延伸探究】1.(1.(变换变换条件条件) )本例条件本例条件变为变为“已知向量已知向量a与与b的的夹夹角角为为120,120,且且| |a|=4,|=4,|a+ +b|=2|=2 ”,”,求求| |b|.|.【解析解析】因为因为ab=|=|a|b|cos|cos=4=4| |b| |cos120cos120=-2|=-2|b|.|.所以所以| |a+b|2=a2+2ab+b2=|=|a| |2 2+2+2ab+|+|b| |2 2=16-4|=16-4|b|+|+|b| |2 2. .因为因为| |a+ +b|=2 ,|=2 ,即即| |a+ +b| |2 2=12,=12,所以所以16-4|16-4|b|+|+|b| |2 2=12.=12.解得解得| |b|=2.|=2.2.(2.(改改变变问问法法) )若若本本例例删删去去条条件件“已已知知向向量量a与与b的的夹夹角角为为120,”120,”求求| |a+ +b| |的取的取值值范范围围. .【解析解析】设向量设向量a与与b的夹角为的夹角为, ,则则ab=|=|a|b|cos|cos=4=42 2cos=8cos.cos=8cos.| |a+ +b| |2 2= =a2 2+2+2ab+ +b2 2=4=42 2+2+28cos+28cos+22 2=20+16cos.=20+16cos.因为因为0,0,所以所以cos-1,1,cos-1,1,所以所以| |a+ +b| |2 24,36,4,36,则则| |a+ +b|2,6.|2,6.类类型三型三 向量的向量的夹夹角或垂直角或垂直【 典典 例例 】 1.1.已已 知知 | |a|=1,|=1,|b|=4,(|=4,(a- -b)()(a+2+2b)=-29,)=-29,则则 a与与 b夹夹 角角=_.=_.2.2.已已知知向向量量a, ,b, ,c满满足足a+ +b+ +c=0, ,且且| |a|=3,|=3,|b|=5,|=5,|c|=7.|=7.求求a与与b的的夹夹角角.【解解题题探究探究】1.1.典例典例1 1中中, ,若求若求a与与b的的夹夹角角,还还需要什么需要什么? ?提示提示: :需要利用需要利用( (a- -b) )( (a+2+2b)=-29)=-29求出求出ab. .2.2.要求要求a与与b的的夹夹角角,关关键键是先求哪些量是先求哪些量? ?提示提示: :关键是先求关键是先求ab. .【解析解析】1.1.因为因为( (a- -b) )( (a+2+2b)=|)=|a| |2 2+ +ab-2|-2|b| |2 2=1+=1+ab-32-32=-31+=-31+ab, ,所以所以-31+-31+ab=-29,=-29,所以所以ab=2,=2,所以所以 又因为又因为0,0,所以所以= .= .答案答案: :2.2.因为因为a+ +b+ +c=0,=0,所以所以a+ +b=-=-c, ,所以所以| |a+ +b|=|=|c|.|.所以所以( (a+ +b) )2 2= =c2 2, ,即即a2 2+2+2ab+ +b2 2= =c2 2. .所以所以ab= = 又因为又因为a ab b=|=|a|b|cosa|b|cos, ,所以所以 =3=35 5cos.cos.即即coscos= ,= ,因为因为0,0,所以所以= .= .【延延伸伸探探究究】典典例例2 2中中若若条条件件不不变变, ,是是否否存存在在实实数数使使a+ +b与与a-2-2b垂垂直直? ?存在存在, ,求出求出值值, ,不存在不存在, ,说说明理由明理由. .【解析解析】假设存在实数假设存在实数使使a+ +b与与a-2-2b垂直垂直. .可得可得(a+ +b) )( (a-2-2b)=0.)=0.即即a2 2-2-2b2 2-2-2ab+ +ab=0.=0.所以所以9-29-225-225-2 解得解得=- .=- .所以存在所以存在=- ,=- ,使得使得a+ +b与与a-2-2b垂直垂直. .【方法技巧方法技巧】1.1.求向量求向量夹夹角的解角的解题题流程及注意事流程及注意事项项(1)(1)解解题题流程流程: :(2)(2)注意事注意事项项在在个个别别含含有有| |a|,|,|b| |与与ab的的等等量量关关系系式式中中, ,常常利利用用消消元元思思想想计计算算coscos的的值值. .2.2.求求coscos的两种情形的两种情形(1)(1)求出求出ab,|,|a|,|,|b| |的的值值代入公式代入公式计计算算. .(2)(2)得到得到ab,|,|a|,|,|b| |之之间间的关系代入公式的关系代入公式计计算算. .3.3.两向量垂直的确定与两向量垂直的确定与应应用用(1)(1)确定确定: :通常利用两向量垂直的充要条件通常利用两向量垂直的充要条件, ,即即计计算算ab是否是否为为0.0.(2)(2)应应用用: :若若ab, ,则则ab=0=0可求其中参数的可求其中参数的值值. .【变变式式训练训练】(2015(2015重重庆庆高考高考) )若非零向量若非零向量a, ,b满满足足 且且 则则a与与b的的夹夹角角为为( () ) 【解解题题指指南南】解解答答本本题题可可以以根根据据相相互互垂垂直直的的向向量量的的数数量量积积为为零零进进行行计计算算, ,然后求出夹角然后求出夹角. .【解析解析】选选A.A.设设a a与与b b的夹角为的夹角为, , 因为因为 所以所以 解得解得coscos= ,= ,因为因为0, 0, , ,所以所以= .= .【补补偿偿训训练练】1.1.已已知知a, ,b都都是是非非零零向向量量, ,且且a+3+3b与与7 7a-5-5b垂垂直直, ,a-4-4b与与7a-2b7a-2b垂直垂直, ,求求a a与与b b的的夹夹角角. .【解解题题指指南南】由由( (a+3+3b) )(7(7a-5-5b)=0)=0及及( (a-4-4b) )(7(7a-2-2b)=0)=0建建立立ab与与b2 2以及以及| |a| |与与| |b| |的等量关系的等量关系, ,可求可求a与与b的夹角的夹角. .【解析解析】由已知得由已知得( (a+3+3b) )(7(7a-5-5b)=0,)=0,即即7 7a2 2+16+16ab-15-15b2 2=0=0( (a-4-4b) )(7(7a-2-2b)=0,)=0,即即7 7a2 2-30-30ab+8+8b2 2=0=0,两式相减得两式相减得2 2ab= =b2 2, ,所以所以ab= = b2 2, ,代入代入,中任一式得中任一式得a2 2= =b2, ,设设a, ,b的夹角为的夹角为,则则 因为因为0 0180180, ,所以所以=60=60. .2.2.设设n和和m是是两两个个单单位位向向量量, ,其其夹夹角角是是60,60,求求向向量量a=2=2m+ +n与与b=2=2n-3-3m的的夹夹角角. .【解析解析】m和和n是两个单位向量是两个单位向量, ,其夹角是其夹角是6060, ,所以所以mn=|=|m| | |n| |cos60cos60= ,= ,设设a=2=2m+ +n与与b=2=2n-3-3m的夹角为的夹角为,所以所以 因为因为0 0180180, ,所以所以=120=120. .即即a=2=2m+ +n与与b=2=2n-3-3m的夹角为的夹角为120120. .易易错错案例案例 根据向量的根据向量的夹夹角求范角求范围围【典典例例】设设两两个个向向量量e1 1, ,e2 2满满足足| |e1 1|=2,|=2,|e2 2|=1,|=1,e1 1, ,e2 2的的夹夹角角为为60,60,若若向量向量2t2te1 1+7+7e2 2与与e1 1+t+te2 2的的夹夹角角为钝为钝角角, ,求求实实数数t t的取的取值值范范围围. .【失失误误案例案例】【错错解分析解分析】分析上面的解析分析上面的解析过过程程, ,你知道你知道错错在哪里在哪里吗吗? ?提示提示: :错误的根本原因在于忽视了向量的夹角的取值范围错误的根本原因在于忽视了向量的夹角的取值范围.(2t.(2te1 1+ +7 7e2 2) )( (e1 1+t+te2 2)0)0包包括括了了向向量量2t2te1 1+7+7e2 2与与e1 1+t+te2 2的的夹夹角角为为即即共共线线且且方方向相反的情况向相反的情况, ,故应排除这种情况故应排除这种情况. .【自我矫正自我矫正】由向量由向量2t2te1 1+7+7e2 2与与e1 1+t+te2 2的夹角的夹角为钝角为钝角, ,得得coscos= = 即即(2t(2te1 1+7+7e2 2) )( (e1 1+t+te2 2)0,)0,化简得化简得2t2t2 2+15t+70.+15t+70.解得解得-7t- .-7t- .当夹角为当夹角为时时, ,也有也有(2t(2te1 1+7+7e2 2) )( (e1 1+ +te2 2)0,)0,但此时夹角不是钝角但此时夹角不是钝角. .设设2t2te1 1+7+7e2 2=(=(e1 1+t+te2 2),0,),0,则则所以所求实数所以所求实数t t的取值范围是的取值范围是 【防范措施防范措施】1.1.注意向量注意向量夹夹角的取角的取值值范范围围由公式由公式coscos= = 可知若可知若为钝为钝角角, ,则则coscos0,0,即即ab0,00 为锐为锐角或零角角或零角,ab00 为钝为钝角或平角或平角角. .例如例如, ,本例利用本例利用2t2te1 1+7+7e2 2与与e1 1+t+te2 2的的夹夹角角为钝为钝角角, ,得等价关系式得等价关系式. .3.3.注意思考注意思考问题问题的全面性的全面性由向量的由向量的夹夹角求参数的范角求参数的范围时围时, ,务务必注意思考必注意思考问题问题的全面性的全面性, ,如本例如本例应应排除向量排除向量2t2te1 1+7+7e2 2与与e1 1+t+te2 2共共线线且反向的特殊情形且反向的特殊情形, ,即求出即求出-7t- -7t- 后后, ,应应注意排除注意排除夹夹角角为为平角的情形平角的情形. .