矩阵matrix 矩阵的概念矩阵的概念线性方程组线性方程组变量的系数变量的系数可排成一个可排成一个3行行4列的列的矩矩形形阵阵列：列：加常数项加常数项有无解，由变有无解，由变量的系数和常量的系数和常数项决定。数项决定。对对方程组有无解的研究可转为对上述矩形阵列的研究。方程组有无解的研究可转为对上述矩形阵列的研究。例例线性方程组线性方程组系数矩阵系数矩阵：增广矩阵：增广矩阵：例例3 种产品，种产品，4 个季度的产值也可用一个个季度的产值也可用一个4行行3列列的矩形阵列（或矩形表）来描述：的矩形阵列（或矩形表）来描述： 季季 度度 产产 品品从该从该矩形表上可以看出产值在不同季度的分布。矩形表上可以看出产值在不同季度的分布。 矩阵的定义矩阵的定义定义定义 由由 m n 个数排成的个数排成的 m 行行 n 列的表（即阵列）列的表（即阵列） 称为一个称为一个 m 行行 n 列矩阵列矩阵，称称 m n 为该矩阵的为该矩阵的“大小大小”或者或者“类型类型”。其中其中 表示表示第第 i 行第行第 j 列列处的元素。处的元素。简称为简称为 矩阵，矩阵， 矩阵的大小矩阵的大小一个一个 m 行行 n 列矩阵列矩阵，称称 mn 为该矩阵的为该矩阵的“大小大小”或或“类型类型”。简称为简称为 矩阵，矩阵，这里，这里， mn 中的符号中的符号“”仅仅是一个记号，并不仅仅是一个记号，并不表示要将表示要将 m,n 两个数乘起来。比如两个矩阵，其中两个数乘起来。比如两个矩阵，其中一个为一个为 3行行4列，大小为列，大小为 34；另一个矩阵为；另一个矩阵为6行行2列，列，大小为大小为 62. 这是两个大小互不相同的矩阵。这是两个大小互不相同的矩阵。矩阵的记法矩阵的记法(1) A，B，C，.(2) ， ， ，.(3) ，例：例：(小括号小括号和和中括号中括号是矩阵的标志性符号是矩阵的标志性符号)定义定义矩阵相等矩阵相等根据定义，两个矩阵相等，是指这两个矩阵大根据定义，两个矩阵相等，是指这两个矩阵大小相同，且对应位置的元素相同。小相同，且对应位置的元素相同。 所有元素都为零的矩阵称为所有元素都为零的矩阵称为零矩阵零矩阵，记为，记为O或者或者0.例如例如特殊矩阵：特殊矩阵： 行（列）矩阵：行（列）矩阵：只有一行的矩阵称为行向量，只有一列的矩阵只有一行的矩阵称为行向量，只有一列的矩阵称为列向量。称为列向量。 当当 m=n 时，称矩阵为时，称矩阵为 n 阶矩阵阶矩阵或或 n 阶方阵阶方阵。例例是三阶矩阵。是三阶矩阵。一一 阶（阶（m=n=1)矩阵可以看作一个矩阵可以看作一个数数。方方阵阵就是行数和列数相同的矩就是行数和列数相同的矩阵阵。 矩阵运算矩阵运算-负矩阵负矩阵（类似于向量的负向量）：（类似于向量的负向量）：则则定定义义A 的负矩阵为的负矩阵为定义：定义：例：例：矩阵的运算数的数的运算运算加法加法减法减法乘法乘法除法除法矩阵的运算矩阵的运算加法加法减法减法 数数乘乘矩阵矩阵 矩阵乘矩阵矩阵乘矩阵无无在在学习矩阵的运算及性质时，要注意与学习矩阵的运算及性质时，要注意与数数的运的运算及性质对比，算及性质对比，哪些相同，哪些不同。哪些相同，哪些不同。例例甲、乙两个厂的四种产品，四个季度的产甲、乙两个厂的四种产品，四个季度的产值分别如矩阵值分别如矩阵A、B， 季季 度度 产产 值值则总和则总和1. 矩阵的加法矩阵的加法定义定义 设矩阵设矩阵与与是两个是两个 mn 矩阵，矩阵， 将其对应元素相加，将其对应元素相加， 得到一个新的得到一个新的 mn 矩阵：矩阵：则称矩阵则称矩阵C为矩阵为矩阵A与与B之和之和，记作，记作C=A+B.注意：注意：不是任意两个矩阵都能够相加。不是任意两个矩阵都能够相加。若两个矩阵的行数不同，则不能相加；若两个矩阵的行数不同，则不能相加；若列数不同，也不能相加。若列数不同，也不能相加。只有在两个矩阵的类型（即大小）相同时，这两个矩阵才能只有在两个矩阵的类型（即大小）相同时，这两个矩阵才能相加。相加。例：例：由负矩阵可定义矩阵由负矩阵可定义矩阵减法减法：设设A、B为类型相同的矩阵，则为类型相同的矩阵，则A与与B的差的差，即，即矩阵减法：矩阵减法：2. 矩阵的数乘矩阵的数乘 定义定义 设设 是一个是一个 矩阵，矩阵， k 是一个数，则称矩阵是一个数，则称矩阵为数为数 k与矩阵与矩阵A的乘积的乘积(矩阵的矩阵的数乘数乘)，记为，记为 kA.例：例：例例 有有4 4名学生，名学生，3 3门课门课平时成绩平时成绩期末成绩期末成绩期中成绩期中成绩总成绩中总成绩中,分别占分别占10%、20%和和70%D = 0.1C + 0.2B + 0.7A0.1+0.2+0.7总成绩矩阵总成绩矩阵矩阵的加矩阵的加(减减)法与数乘统称为矩阵的法与数乘统称为矩阵的线性运算线性运算。例例线性运算的线性运算的 8 个基本性质（个基本性质（运算律运算律）设设A、B、C、0为同型矩阵，为同型矩阵，k，l 为数，则有为数，则有加法加法数乘数乘与向量或者数的运算律相同。与向量或者数的运算律相同。交换律交换律结合律结合律例例 已知已知解解