第27章 单元复习课 一、二次函数的概念一、二次函数的概念1.1.定义定义形如形如y=axy=ax2 2+bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c是常数，是常数，a0)a0)的函数叫做二次函数的函数叫做二次函数. .2.2.由二次函数的定义可知二次函数必须满足三个条件：由二次函数的定义可知二次函数必须满足三个条件：(1)(1)函数关系式是整式；函数关系式是整式；(2)(2)化简后自变量的最高次数必须是化简后自变量的最高次数必须是2 2；(3)(3)二次项的系数不为二次项的系数不为0 0，一次项系数，一次项系数b b和常数项和常数项c c可以为任意实可以为任意实数数. . 3.3.二次函数定义的应用二次函数定义的应用与二次函数定义有关的问题的应用有两个方面，解题的关键是与二次函数定义有关的问题的应用有两个方面，解题的关键是理解二次函数的概念：理解二次函数的概念：一是根据定义判断函数的类型，在判断时要先把函数化成一般一是根据定义判断函数的类型，在判断时要先把函数化成一般形式，再严格按照定义，对含有字母系数的二次函数，着重看形式，再严格按照定义，对含有字母系数的二次函数，着重看二次项的系数是否为零；二次项的系数是否为零；二是根据二次函数的定义，求某些字母的取值范围，解题的关二是根据二次函数的定义，求某些字母的取值范围，解题的关键是根据次数构建关于所求字母的方程，然后求解键是根据次数构建关于所求字母的方程，然后求解. 注：注：(1)(1)利用二次函数的定义解题时，尤其是含有字母系数的利用二次函数的定义解题时，尤其是含有字母系数的函数，应特别留意二次项的系数是否为函数，应特别留意二次项的系数是否为0.0.(2)(2)根据实际问题列函数关系式时，要注意自变量的取值范围根据实际问题列函数关系式时，要注意自变量的取值范围需保证使实际问题有意义需保证使实际问题有意义. .二、二次函数的图象及其性质二、二次函数的图象及其性质1.1.二次函数二次函数y=axy=ax2 2的图象及其性质的图象及其性质(1)(1)抛物线抛物线y=axy=ax2 2的顶点是坐标原点，对称轴是的顶点是坐标原点，对称轴是y y轴轴. .(2)(2)当当a a0 0时时, ,图象位于图象位于x x轴的上方轴的上方, ,抛物线开口向上抛物线开口向上, ,顶点为顶点为其最低点其最低点; ;在对称轴的左侧，在对称轴的左侧，y y随随x x的增大而减小，在对称轴的的增大而减小，在对称轴的右侧，右侧，y y随随x x的增大而增大；的增大而增大；当当a a0 0时时, ,图象位于图象位于x x轴的下方轴的下方, ,抛物线开口向下抛物线开口向下, ,顶点为其最顶点为其最高点；在对称轴的左侧，高点；在对称轴的左侧，y y随随x x的增大而增大，在对称轴的右的增大而增大，在对称轴的右侧，侧，y y随随x x的增大而减小；的增大而减小；(3)(3)当当a a0 0时时, ,函数函数y=axy=ax2 2有最小值，最小值是有最小值，最小值是0 0；当当a a0 0时时, ,函数函数y=axy=ax2 2有最大值，最大值是有最大值，最大值是0.0.注：注：应用函数图象及其性质时，要注意数与形的有机结合，特应用函数图象及其性质时，要注意数与形的有机结合，特别是利用函数的图象解决问题时，需充分考虑抛物线的对称性别是利用函数的图象解决问题时，需充分考虑抛物线的对称性. .2.2.二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象及其性质的图象及其性质(1)(1)几种特殊的二次函数图象的特征几种特殊的二次函数图象的特征函数关系式函数关系式开口方向开口方向对称轴对称轴顶点坐标顶点坐标y=axy=ax2 2+k+k当当a a0 0时，开口向上；时，开口向上；当当a a0 0时，开口向下时，开口向下x=0x=0(0,k)(0,k)y=a(x-h)y=a(x-h)2 2x=hx=h(h,0)(h,0)y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+kx=hx=h(h,k)(h,k)(2)(2)二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象及其性质的图象及其性质函数函数二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a，b b，c c为常数，为常数，a a0)0)图象图象a a0 0a a0 0函数函数二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a，b b，c c为常数，为常数，a a0)0)性质性质抛物线开口向上抛物线开口向上抛物线开口向下抛物线开口向下对称轴是直线对称轴是直线 顶点是顶点是当当x x 时，时，y y随随x x的的增大而减小；当增大而减小；当x x时，时，y y随随x x的增大而增大的增大而增大当当x x 时时,y,y随随x x的的增大而增大；当增大而增大；当x x时，时，y y随随x x的增大而减小的增大而减小抛物线有最低点，当抛物线有最低点，当x= x= 时，时，y y有最小值，有最小值，y y最小值最小值= =抛物线有最高点，当抛物线有最高点，当x= x= 时，时，y y有最大值，有最大值，y y最大值最大值= =3.3.系数系数a,b,ca,b,c与二次函数的图象与二次函数的图象(1)a(1)a决定开口方向及开口大小决定开口方向及开口大小当当a a0 0时，开口向上，当时，开口向上，当a a0 0时，开口向下；时，开口向下；|a|a|越大，抛物越大，抛物线的开口越小线的开口越小; ;(2)b(2)b和和a a共同决定抛物线对称轴的位置共同决定抛物线对称轴的位置由于抛物线由于抛物线y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)的对称轴是直线的对称轴是直线 故：故：b=0b=0时，对称轴为时，对称轴为y y轴轴; ; 0(0(即即a,ba,b同号同号) )时，对称轴在时，对称轴在y y轴左侧轴左侧; ; 0(0(即即a,ba,b异号异号) )时，对称轴在时，对称轴在y y轴右侧轴右侧. .(3)c(3)c的大小决定抛物线的大小决定抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与与y y轴交点的位置轴交点的位置当当x=0x=0时，时，y=cy=c，抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与与y y轴有且只有一个交点轴有且只有一个交点(0,c).(0,c).即即c=0c=0，抛物线经过原点；，抛物线经过原点；c c0 0，与，与y y轴交于正半轴轴交于正半轴; ;cc0 0，与，与y y轴交于负半轴轴交于负半轴. .以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立. . 4.4.二次函数图象的平移规律二次函数图象的平移规律平移不改变图形的形状和大小，因此抛物线在平移的过程中，平移不改变图形的形状和大小，因此抛物线在平移的过程中，图象的形状、开口方向必相同，即图象的形状、开口方向必相同，即a a不变，所以抛物线不变，所以抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c可以由可以由y=axy=ax2 2平移得到平移得到. .其平移的规律用语言来表示其平移的规律用语言来表示可以归结为：可以归结为：“上加下减，左加右减上加下减，左加右减”，平移时具体的对应关，平移时具体的对应关系可以用下列框图来表示：系可以用下列框图来表示：三、二次函数的相关计算三、二次函数的相关计算1.1.求抛物线的顶点、对称轴的方法：求抛物线的顶点、对称轴的方法：(1)(1)公式法：公式法：顶点是顶点是 , ,对称轴是直线对称轴是直线(2)(2)配方法：运用配方的方法，将抛物线的关系式化为配方法：运用配方的方法，将抛物线的关系式化为y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+k的形式，得到顶点为的形式，得到顶点为(h,k)(h,k)，对称轴是直线，对称轴是直线x=h.x=h.将将关系式关系式y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c化为化为y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+k的形式，其基本步骤是：的形式，其基本步骤是：提取二次项的系数，把二次项的系数化为提取二次项的系数，把二次项的系数化为1(1(注意与一元二次注意与一元二次方程中配方法的区别方程中配方法的区别) )；对上面的二次函数的二次三项式配方，即加上一次项系数一对上面的二次函数的二次三项式配方，即加上一次项系数一半的平方，配方时不能改变原式的值；半的平方，配方时不能改变原式的值；写成写成y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+k的形式的形式. .(3)(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称的两点的连线的垂直平分线是抛物线的对称图形，所以对称的两点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. . 若已知抛物线上两点若已知抛物线上两点(x1,y)(x1,y)、(x2,y)(x2,y)，则对称轴方程可以表示为：，则对称轴方程可以表示为：2.2.求二次函数关系式求二次函数关系式(1)(1)二次函数关系式常用的有三种形式二次函数关系式常用的有三种形式一般式：一般式：y yaxax2 2bxbxc(a0)c(a0)；顶点式：顶点式：y ya(xa(xh)h)2 2k(a0) k(a0) ；交点式：交点式：y ya(xa(xx1)(xx1)(xx2)(a0).x2)(a0).(2)(2)恰当地选择二次函数的表达形式求关系式恰当地选择二次函数的表达形式求关系式求解二次函数关系式一般用待定系数法，根据所给条件的不求解二次函数关系式一般用待定系数法，根据所给条件的不同，要灵活选用函数关系式的表达形式：同，要灵活选用函数关系式的表达形式：当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y yaxax2 2bxbxc(a0)c(a0)的形式，然后组成三元一次方程组来求解的形式，然后组成三元一次方程组来求解. .当已知抛物线的顶点或对称轴或最大当已知抛物线的顶点或对称轴或最大( (小小) )值时，通常设为顶值时，通常设为顶点式点式y ya(xa(xh)h)2 2k(a0)k(a0)的形式的形式. .当已知抛物线与当已知抛物线与x x轴的交点轴的交点( (或交点横坐标或交点横坐标) )或已知抛物线与或已知抛物线与x x轴一个交点和对称轴时，通常设为交点式：轴一个交点和对称轴时，通常设为交点式：y ya(xa(xx1)(xx1)(xx2)(a0).x2)(a0).注：注：(1)(1)用待定系数法求解二次函数的关系式，题目给出的方式用待定系数法求解二次函数的关系式，题目给出的方式比较灵活，除上述三种方式外，往往还结合函数的性质提供一比较灵活，除上述三种方式外，往往还结合函数的性质提供一些条件些条件. .如如抛物线的形状相同抛物线的形状相同( (形状相同的两个抛物线的二次项的系数相形状相同的两个抛物线的二次项的系数相同或互为相反数，在解题时要注意，防止漏解同或互为相反数，在解题时要注意，防止漏解) )；与坐标轴的交点坐标所围成的三角形的面积；与坐标轴的交点坐标所围成的三角形的面积；依据函数增减性，通过增减性的不同确定抛物线的对称轴，依据函数增减性，通过增减性的不同确定抛物线的对称轴，再设为顶点式求解；再设为顶点式求解；结合函数的图象平移给出某些点的坐标；结合函数的图象平移给出某些点的坐标；应用函数图象与应用函数图象与x x轴的交点与一元二次方程的关系，借助方程轴的交点与一元二次方程的关系，借助方程的解给出条件的解给出条件. .(2)(2)不论应用何种形式设关系式，最后求得的结果一般化为一般不论应用何种形式设关系式，最后求得的结果一般化为一般形式形式. .(3)(3)当题目条件中点的条件不足三个时，要充分利用二次函数的当题目条件中点的条件不足三个时，要充分利用二次函数的对称性转化条件对称性转化条件. .四、二次函数与一元二次方程的关系四、二次函数与一元二次方程的关系1.1.二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)与一元二次方程与一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的关系的关系(1)“(1)“数数”的角度：当二次函数的角度：当二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)的函数值等于的函数值等于0 0时，相应的自变量的值即为一元二次方程时，相应的自变量的值即为一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的的解解. .(2)(2)“形形”的角度：若抛物线的角度：若抛物线y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a0)0)与与x x轴两交点为轴两交点为A(x1,0),B(x2,0)A(x1,0),B(x2,0)，则一元二次方程，则一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a+bx+c=0(a0)0)的两个根的两个根为为x1x1，x2.x2. 2.2.抛物线与抛物线与x x轴的交点情况与一元二次方程的根的判别式的关轴的交点情况与一元二次方程的根的判别式的关系：系：(1)(1)有两个交点有两个交点b b2 2-4ac-4ac0;0;(2)(2)有一个交点有一个交点( (顶点在顶点在x x轴上轴上) )b b2 2-4ac=0;-4ac=0;(3)(3)没有交点没有交点b b2 2-4ac-4ac0.0.注：注：根据抛物线的开口方向和顶点的位置也可以判断抛物线与根据抛物线的开口方向和顶点的位置也可以判断抛物线与x x轴的交点个数，如轴的交点个数，如a a0 0，顶点在，顶点在x x轴的上方，则抛物线与轴的上方，则抛物线与x x轴没轴没有交点有交点. . 3.3.应用二次函数图象求方程的近似根的步骤应用二次函数图象求方程的近似根的步骤(1)(1)根据方程确定与方程有关的二次函数；根据方程确定与方程有关的二次函数；(2)(2)画出二次函数的图象；画出二次函数的图象；(3)(3)初步估值，确定一元二次方程的根的取值范围，即确定抛物初步估值，确定一元二次方程的根的取值范围，即确定抛物线与线与x x轴交点的横坐标的大体范围；轴交点的横坐标的大体范围；(4)(4)在初步估值确定的范围内，从小到大或从大到小依次取值，在初步估值确定的范围内，从小到大或从大到小依次取值，借助计算器探索，确定近似值借助计算器探索，确定近似值. .4.4.直线与抛物线的交点直线与抛物线的交点(1)y(1)y轴与抛物线轴与抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的交点为的交点为(0,c).(0,c).(2)(2)与与y y轴平行的直线轴平行的直线x=hx=h与抛物线与抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c有且只有一个交点有且只有一个交点(h,ah(h,ah2 2+bh+c).+bh+c).(3)(3)抛物线与抛物线与x x轴的交点轴的交点二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象与的图象与x x轴的两个交点的横坐标轴的两个交点的横坐标x1x1，x2x2，是对应的一元二次方程是对应的一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的两个实数根的两个实数根. .抛物线与抛物线与x x轴轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定. .(4)(4)平行于平行于x x轴的直线与抛物线的交点轴的直线与抛物线的交点同同(3)(3)一样可能有一样可能有0 0个交点、个交点、1 1个交点、个交点、2 2个交点个交点. .当有当有2 2个交点个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k k，则横坐标是，则横坐标是axax2 2+bx+c=k+bx+c=k的两个实数根的两个实数根. .(5)(5)一次函数一次函数y=kx+n(k0)y=kx+n(k0)的图象的图象l与二次函数与二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)的图象的图象G G的交点，由方程组的交点，由方程组 的解的数目来确定的解的数目来确定: :方程组有两组不同的解方程组有两组不同的解l与与G G有两个交点；有两个交点；方程组只有一方程组只有一组解组解l与与G G只有一个交点；只有一个交点；方程组无解方程组无解l与与G G没有交点没有交点. .(6)(6)抛物线与抛物线与x x轴两交点之间的距离：若抛物线轴两交点之间的距离：若抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与与x x轴轴两交点为两交点为A(x1,0),B(x2,0)A(x1,0),B(x2,0)，由于，由于x1x1，x2x2是方程是方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的两的两个根，故个根，故x1+x2= x1x2=x1+x2= x1x2=五、应用二次函数解决实际问题五、应用二次函数解决实际问题二次函数是反映现实世界中变量间的数量关系和变化规律的一二次函数是反映现实世界中变量间的数量关系和变化规律的一种常见的数学模型，它的应用体现的核心问题是数学建模思想种常见的数学模型，它的应用体现的核心问题是数学建模思想的应用，解题的关键是准确理解题意，建立合适的函数模型的应用，解题的关键是准确理解题意，建立合适的函数模型. .解解决此类问题的基本思路是：决此类问题的基本思路是：(1)(1)理解问题；理解问题；(2)(2)分析问题中的变分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；量和常量以及它们之间的关系；(3)(3)用函数关系式表示它们之间用函数关系式表示它们之间的关系；的关系；(4)(4)计算或求解，并应用函数的性质作出判断；计算或求解，并应用函数的性质作出判断；(5)(5)检检验结果的合理性验结果的合理性. . 注：注：1.1.不能选择恰当的函数关系式表示实际问题中的数量关系；不能选择恰当的函数关系式表示实际问题中的数量关系；2.2.利用二次函数解决实际问题时，对题意理解不清，导致无法列出正确的函数关系式；利用二次函数解决实际问题时，对题意理解不清，导致无法列出正确的函数关系式；3.3.不考虑自变量的取值范围，所求最值与实际不符；不考虑自变量的取值范围，所求最值与实际不符；4.4.易把求最大值和最小值的公式与一元二次方程的求根公式相混易把求最大值和最小值的公式与一元二次方程的求根公式相混. .实际问题实际问题实际问题实际问题的解决的解决二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a 0)+bx+c(a 0)二次函数与一元二次函数与一元二次方程的关系二次方程的关系二次函数的二次函数的图象与性质图象与性质关系式关系式图图 象象性性 质质平移规律平移规律 二次函数的对称轴及顶点坐标二次函数的对称轴及顶点坐标 【相关链接相关链接】 确定二次函数对称轴及顶点坐标的两种方法确定二次函数对称轴及顶点坐标的两种方法1.1.公式法：对称轴是直线公式法：对称轴是直线 顶点坐标是顶点坐标是2.2.配方法：将二次函数通过配方化为配方法：将二次函数通过配方化为y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k(a0)+k(a0)的形的形式式, ,对称轴为对称轴为x=h,x=h,顶点坐标是顶点坐标是(h,k)(h,k) 【例例1 1】(2012(2012烟台中考烟台中考) )已知二次函数已知二次函数y=2(x-3)y=2(x-3)2 2+1.+1.下列说下列说法：法：其图象的开口向下其图象的开口向下;其图象的对称轴为直线其图象的对称轴为直线x=-3;x=-3;其其图象顶点坐标为图象顶点坐标为(3,-1);(3,-1);当当x x3 3时时,y,y随随x x的增大而减小，则其的增大而减小，则其中说法正确的有中说法正确的有( )( )(A)1(A)1个个 (B)2(B)2个个 (C)3(C)3个个 (D)4(D)4个个 【思路点拨思路点拨】根据抛物线根据抛物线y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k(a0)+k(a0)的性质进行判断的性质进行判断. .【自主解答自主解答】选选A.2A.20 0，图象的开口向上，故图象的开口向上，故错误错误; ;图象的对称轴为直线图象的对称轴为直线x=3x=3，故，故错误错误; ;其图象顶点坐标为其图象顶点坐标为(3,1)(3,1)，故，故错误错误; ;当当x x3 3时，时，y y随随x x的增大而减小，的增大而减小，正确正确. .综上所述，说法正确的有综上所述，说法正确的有，共，共1 1个个. . 确定函数关系式确定函数关系式 【相关链接相关链接】待定系数法主要用于确定二次函数的关系式待定系数法主要用于确定二次函数的关系式1.1.当已知抛物线上任意三点坐标时当已知抛物线上任意三点坐标时, ,可以通过设函数关系式为可以通过设函数关系式为一般式一般式y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)进行求解进行求解; ;2.2.当已知抛物线顶点坐标、对称轴或最值时当已知抛物线顶点坐标、对称轴或最值时, ,可以通过设函数可以通过设函数关系式为关系式为y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k(a0)+k(a0)进行求解进行求解; ;3.3.如果已知抛物线与如果已知抛物线与x x轴的两个交点轴的两个交点(x1,0)(x2,0)(x1,0)(x2,0)时，可设为时，可设为交点式交点式y=a(x-x1)(x-x2)y=a(x-x1)(x-x2)进行求解进行求解. . 【例例2 2】(2012(2012佳木斯中考佳木斯中考) )如图，抛物线如图，抛物线y=xy=x2 2+bx+c+bx+c经过坐标经过坐标原点，并与原点，并与x x轴交于点轴交于点A(2,0).A(2,0).(1)(1)求此抛物线的解析式求此抛物线的解析式; ;(2)(2)写出顶点坐标及对称轴写出顶点坐标及对称轴; ;(3)(3)若抛物线上有一点若抛物线上有一点B B，且，且SOAB=3,SOAB=3,求点求点B B的坐标的坐标. .【思路点拨思路点拨】(1)(1)(2)(2)(3)(3)【自主解答自主解答】(1)(1)把把(0,0),(2,0)(0,0),(2,0)代入代入y=xy=x2 2+bx+c+bx+c得得 解得解得所以解析式为所以解析式为y=xy=x2 2-2x.-2x.(2)y=x(2)y=x2 2-2x=(x-1)-2x=(x-1)2 2-1,-1,顶点为顶点为(1,-1).(1,-1).对称轴为直线对称轴为直线x=1. x=1. (3)(3)设点设点B B的坐标为的坐标为(m,n)(m,n)，则，则解得解得n=3n=3或或n=-3,n=-3,顶点纵坐标为顶点纵坐标为-1,-3-1,-3-1(-1(或或x x2 2-2x=-3-2x=-3中，中，x x无解无解) )n=3,n=3,xx2 2-2x=3.-2x=3.解得解得x1=3,x2=-1.x1=3,x2=-1.所以点所以点B B的坐标为的坐标为(3,3)(3,3)或或(-1,3). (-1,3). 二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质【相关链接相关链接】某些特殊形式的代数式的符号的判断某些特殊形式的代数式的符号的判断: :(1) a+b+c(1) a+b+c，即，即x=1x=1时时y y的值的值. .(2) b(2) b2 2-4ac-4ac，根据图象与，根据图象与x x轴交点的个数判断轴交点的个数判断. .系数的符号系数的符号图象特征图象特征a a的符号的符号开口向上开口向上a0a0，开口向下，开口向下a0a0,y20 (B)y10,y20,y20 (B)y10,y20(C)y10 (D)y10,y20(C)y10 (D)y10,y20【解析解析】选选B. B. 图象开口向下图象开口向下, ,与与x x轴两交点都在轴两交点都在0 0到到1 1之间之间, ,由当自变量由当自变量x x取取m m时时, ,对应的函数值大于对应的函数值大于0,0,得得0 0m m1,-11,-1m-1m-10, 10, 1m+1m+12,2,根据图象可得根据图象可得y10,y20.y10,y20,b0)+bx(a0,b0)的图象交于点的图象交于点P,P,点点P P的纵坐标为的纵坐标为1,1,则关于则关于x x的方程的方程axax2 2+bx+ =0+bx+ =0的解为的解为_._.【解析解析】PP的纵坐标为的纵坐标为1,1,PP的横坐标为的横坐标为-3.-3. 可化为关于可化为关于x x的方程的方程axax2 2+bx= +bx= 的形式的形式, ,此方程的解即为两函数图象交点的横坐标的值此方程的解即为两函数图象交点的横坐标的值, ,x=-3.x=-3.答案：答案：x=-3x=-37.(20117.(2011龙东中考龙东中考) )已知：抛物线与直线已知：抛物线与直线y=x+3y=x+3分别交于分别交于x x轴和轴和y y轴上同一点轴上同一点, ,交点分交点分别是点别是点A A和点和点C,C,且抛物线的对称轴为直线且抛物线的对称轴为直线x=-2x=-2(1)(1)求出抛物线与求出抛物线与x x轴的两个交点轴的两个交点A A，B B的的坐标坐标; ;(2)(2)试确定抛物线的关系式试确定抛物线的关系式; ;(3)(3)观察图象观察图象, ,请直接写出二次函数值小于一次函数值的自变量请直接写出二次函数值小于一次函数值的自变量x x的取值范围的取值范围【解析解析】(1)y=x+3(1)y=x+3中中, ,当当y=0y=0时时, x=-3, x=-3,点点A A的坐标为的坐标为(-3,0).(-3,0).当当x=0x=0时时,y=3,y=3,点点C C坐标为坐标为(0,3)(0,3)抛物线的对称轴为直线抛物线的对称轴为直线x=-2,x=-2,点点A A与点与点B B关于直线关于直线x=-2x=-2对称对称点点B B的坐标是的坐标是(-1,0)(-1,0)(2)(2)设二次函数的关系式为设二次函数的关系式为y=axy=ax2 2+bx+c,+bx+c,二次函数的图象经过点二次函数的图象经过点C(0,3)C(0,3)和点和点A(-3,0),A(-3,0),且对称轴是直线且对称轴是直线x=-2,x=-2,可列得方程组可列得方程组 解得：解得：二次函数的关系式为二次函数的关系式为y=xy=x2 2+4x+3.+4x+3.( (或将点或将点A A，点，点B B，点，点C C的坐标依次代入关系式中求出的坐标依次代入关系式中求出a a，b b，c c的值的值也可也可) )(3)(3)由图象观察可知由图象观察可知, ,当当3 3x x0 0时时, ,二次函数值小于一次函数二次函数值小于一次函数值值8.(20128.(2012南昌中考南昌中考) )如图，已知函数如图，已知函数L1:L1:y=xy=x2 2-4x+3-4x+3与与x x轴交于轴交于A A，B B两点两点( (点点A A在点在点B B左边左边) )，与，与y y轴交于点轴交于点C.C.(1)(1)写出二次函数写出二次函数L1L1的开口方向、对称轴和的开口方向、对称轴和顶点坐标顶点坐标; ; (2)(2)研究二次函数研究二次函数L2:y=kxL2:y=kx2 2-4kx+3k(k0).-4kx+3k(k0).写出二次函数写出二次函数L2L2与二次函数与二次函数L1L1有关图象的两条相同的性质；有关图象的两条相同的性质；若直线若直线y=8ky=8k与抛物线与抛物线L2L2交于交于E E，F F两点，问线段两点，问线段EFEF的长度是否的长度是否发生变化？如果不会，请求出发生变化？如果不会，请求出EFEF的长度；如果会，请说明理由的长度；如果会，请说明理由. .【解析解析】(1)(1)抛物线抛物线y=xy=x2 2-4x+3-4x+3中，中，a=1a=1，b=-4b=-4，c=3;c=3;二次函数二次函数L1L1的开口向上，对称轴是直线的开口向上，对称轴是直线x=2x=2，顶点坐标，顶点坐标(2,-1). (2,-1). (2)(2)二次函数二次函数L2L2与与L1L1有关图象的两条相同的性质：有关图象的两条相同的性质：对称轴为直线对称轴为直线x=2x=2或顶点的横坐标为或顶点的横坐标为2,2,都经过都经过A(1,0),B(3,0)A(1,0),B(3,0)两点两点; ;线段线段EFEF的长度不会发生变化的长度不会发生变化. .直线直线y=8ky=8k与抛物线与抛物线L2L2交于交于E E，F F两点两点, ,kxkx2 2-4kx+3k=8k,-4kx+3k=8k,k0,xk0,x2 2-4x+3=8,-4x+3=8,解得解得:x1=-1:x1=-1，x2=5x2=5，EF=x2-x1=6,EF=x2-x1=6,线段线段EFEF的长度不会发生变化的长度不会发生变化. . 9.(20129.(2012嘉兴中考嘉兴中考) )某汽车租赁公司拥有某汽车租赁公司拥有2020辆汽车据统计，辆汽车据统计，当每辆车的日租金为当每辆车的日租金为400400元时，可全部租出；当每元时，可全部租出；当每 辆车的日租辆车的日租金每增加金每增加5050元，未租出的车将增加元，未租出的车将增加1 1辆；公司平均每日的各项支辆；公司平均每日的各项支出共出共4 8004 800元设公司每日租出元设公司每日租出x x辆车时，日收益为辆车时，日收益为y y元元( (日收日收益益= =日租金收入日租金收入- -平均每日各项支出平均每日各项支出) )(1)(1)公司每日租出公司每日租出x x辆车时，每辆车的日租金为元辆车时，每辆车的日租金为元_(_(用含用含x x的代数式表示的代数式表示) )；(2)(2)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？元？(3)(3)当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？【解析解析】(1)(1)某汽车租赁公司拥有某汽车租赁公司拥有2020辆汽车据统计，当每辆辆汽车据统计，当每辆车的日租金为车的日租金为400400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加5050元，未租出的车将增加元，未租出的车将增加1 1辆；辆；当全部未租出时，每辆租金为：当全部未租出时，每辆租金为：400+2050=1 400400+2050=1 400元，元，公司每日租出公司每日租出x x辆车时，每辆车的日租金为：辆车时，每辆车的日租金为：1400-50x.1400-50x.故答案为：故答案为：1 400-50x. 1 400-50x. (2)(2)根据题意得出：根据题意得出：y=x(-50x+1400)-4 800y=x(-50x+1400)-4 800=-50x=-50x2 2+1 400x-4 800=-50(x-14)+1 400x-4 800=-50(x-14)2 2+5 000+5 000当当x=14x=14时，时，y y有最大值有最大值5 000.5 000.当每日租出当每日租出1414辆车时，租赁公司日收益最大，最大值为辆车时，租赁公司日收益最大，最大值为5 0005 000元元. .(3)(3)要使租赁公司日收益不盈也不亏，即要使租赁公司日收益不盈也不亏，即y=0.y=0.即即-50(x-14)-50(x-14)2 2+5 000=0+5 000=0，解得解得x1=24x1=24，x2=4,x2=4,x=24x=24不合题意，舍去不合题意，舍去.当每日租出当每日租出4 4辆时，租赁公司日收益辆时，租赁公司日收益不盈也不亏不盈也不亏. .