第三节第三节 偏导数与全微分偏导数与全微分3.1 3.1 偏导数偏导数定义定义3.13.1例例1 1例例2 2xyz3.2 3.2 高阶偏导数高阶偏导数例例3 3例例4 4例例5 5定义定义 3.23.23.3 全微分全微分如果函数如果函数f在区域在区域D内处处可微，则称内处处可微，则称f为为区域区域D内内可微函数。可微函数。由于自变量的微分等于自变量的改变量由于自变量的微分等于自变量的改变量, ,即即从而全微分可写成从而全微分可写成可微可微连续和可偏导连续和可偏导可微可微可偏导可偏导? ?例例6 6而极限而极限不存在。不存在。才能保证全微分存在，且才能保证全微分存在，且定理定理3.3（充分条件）（充分条件）由定义知，由定义知，f 在在M点可微。点可微。例例7例例8例例 9 设二元设二元函数函数问在问在(0,0)处，处，f (x, y)的偏导数是否存在？偏的偏导数是否存在？偏导数是否连续？导数是否连续？f(x, y)是否可微？是否可微？解：解：同样同样时时所以在一点可微，在此点所以在一点可微，在此点 偏导数不一定连续。偏导数不一定连续。f 的偏导数连续的偏导数连续 f 可微可微f 的偏导数的偏导数存在存在( (可导可导) )f 连续连续几个概念之间的关系见下图：几个概念之间的关系见下图：与一元函数类似，多元函数的微分运算法则：与一元函数类似，多元函数的微分运算法则：设设f(x,y),g(x,y)是可微函数，则：是可微函数，则：多元函数的全微分也可用于近似计算与多元函数的全微分也可用于近似计算与误差估计。误差估计。习题习题5.3(P225.3(P2223)23)作作 业业1. (3)(5)(6)(8)；2.(2)(3); 3(2); 4. (3)(4);5(2); 6; 10; 13.第四节第四节 微分运算法则微分运算法则4.1 复合函数微分法复合函数微分法定理定理4.1故多元函数有如下故多元函数有如下链式求导法则链式求导法则：按线相乘按线相乘, ,分线相加分线相加zuvxyxy几种特殊的情形：几种特殊的情形：左端左端 表示复合后对表示复合后对x的偏导数的偏导数,右端右端 表示复合前对表示复合前对x的偏导数的偏导数,例例1例例2例例3例例4例例5例例6例例7例例8推广到推广到n元函数元函数一阶微分形式的不变性一阶微分形式的不变性:由一阶微分形式不变性得：由一阶微分形式不变性得：例例3 4.2 隐函数微分法隐函数微分法定理定理4.2(4.2(隐函数存在定理隐函数存在定理) )可推广到多元函数：可推广到多元函数：定理定理4.1 例例9公式法公式法法二：法二：直接法直接法法三：法三：在等式两边求全微分在等式两边求全微分得：得：全微分法全微分法例例10例例11由方程组确定的隐函数微分法由方程组确定的隐函数微分法例例12习题习题5.4(P345.4(P3436)36)作作 业业1.(2), 2.(3), 3.(2), 5, 6.(2), 7.(5)(6), 9, 10.(2), 11.(1), 14, 15.(1)(2), 16.(2)5.1 5.1 方向导数方向导数第五节第五节 方向导数与梯度方向导数与梯度定义定义5.15.1定理定理5.1定义定义5.1与定理与定理5.1可推广到可推广到n元函数。元函数。例例15.2 5.2 梯度梯度可推广到可推广到n元函数。元函数。有了梯度的概念，方向导数可表示为：有了梯度的概念，方向导数可表示为：例例2梯度是一个向量，其方向指向函数在该点梯度是一个向量，其方向指向函数在该点处增大最快的方向，其模等于这个最大的处增大最快的方向，其模等于这个最大的方向导数的值。沿梯度的反方向，函数减方向导数的值。沿梯度的反方向，函数减小最快。小最快。梯度的意义：梯度的意义：梯度的运算法则。梯度的运算法则。习题习题5.5(P405.5(P4041)41)作作 业业1.(2) 2. 3. 4. 5.(2)1.(2) 2. 3. 4. 5.(2)