第十三章第十三章 有导体和电介质存在有导体和电介质存在 时的静电场时的静电场 前面两章讲述了前面两章讲述了真空中真空中静电场的基本概念和规律，而在静电场的基本概念和规律，而在实际的应用中，常利用导体带电形成电场，而且还使用绝缘实际的应用中，常利用导体带电形成电场，而且还使用绝缘体（或电介质）来改变空间的电场和电荷的分布。体（或电介质）来改变空间的电场和电荷的分布。 本章即将讨论本章即将讨论静电场对导体和电介质的作用，及导体和静电场对导体和电介质的作用，及导体和电介质对静电场的影响电介质对静电场的影响。1 导体导体( (conductor) ):存在大量的自由电子。存在大量的自由电子。 绝缘体绝缘体( (dielectric) : :理论上认为一个自由移动理论上认为一个自由移动的的电荷也没有，称为电荷也没有，称为电介质电介质。 半导体半导体( (semiconductor) ): : 介于上述两者之间。介于上述两者之间。 静电场中的物质按其导电特性可分为三类：静电场中的物质按其导电特性可分为三类：2内内 容容13-1 静电场中的金属导体静电场中的金属导体13-3 静电场中的电介质静电场中的电介质13-4 电介质对电容的影响及电容器的能量电介质对电容的影响及电容器的能量13-2 电容和电容器电容和电容器3一、金属导体的静电平衡一、金属导体的静电平衡1. 金属键晶体的电结构金属键晶体的电结构 金属导体是由大量带正电的原子实和带金属导体是由大量带正电的原子实和带负电的自由电子组成；负电的自由电子组成； 自有电子处于不停的热运动中；自有电子处于不停的热运动中； 若导体无外加电荷或外加电场；若导体无外加电荷或外加电场； 自由电子分布均匀，整个导体对外不自由电子分布均匀，整个导体对外不显电性显电性 13-1 静电场中的金属导体静电场中的金属导体42. 静电感应静电感应若施以外电场若施以外电场 自有电子定向漂移自有电子定向漂移 电荷重新分布电荷重新分布导体两段出现等量异号导体两段出现等量异号电荷，称为电荷，称为静电感应静电感应 静电感应所产生的静电感应所产生的电荷产生一个附加电电荷产生一个附加电场场导体内合电场为：导体内合电场为：5 自有电子不断漂移，自有电子不断漂移，附加电场附加电场 不断增加。不断增加。当当 时，自由时，自由电子停止定向漂移；电子停止定向漂移； 导体内合电场导体内合电场导体达到导体达到静电平衡静电平衡3. 静电平衡静电平衡注意注意 静电平衡是在瞬间完成的静电平衡是在瞬间完成的 ，几乎不需要时间几乎不需要时间.64. 静电平衡下的导体性质静电平衡下的导体性质(1) 静电平衡时导体中自由电荷静电平衡时导体中自由电荷没有定向运动没有定向运动(或宏观运动或宏观运动)的状的状态，而实现这一状态的必要条件，态，而实现这一状态的必要条件，是是导体内部的电场强度为零导体内部的电场强度为零。 (2) 导体表面附近的电场强度处处与表面垂直，导体表面附近的电场强度处处与表面垂直，否则电场否则电场强度沿表面的分量将使自由电子沿表面作定向运动。强度沿表面的分量将使自由电子沿表面作定向运动。 (3) 整个导体是等势体，导体的表面是等势面整个导体是等势体，导体的表面是等势面。 在导体内部任取两点在导体内部任取两点P 和和Q，它们之间的电势差可以表，它们之间的电势差可以表示为示为7 由于外部电场的作用，使某一导体的两端由于外部电场的作用，使某一导体的两端出现异号电荷，试问空间的电场线应该如出现异号电荷，试问空间的电场线应该如何画？何画？ 思考题思考题 电场线的走向代表了它所经过的空间各点上电场强度的方向，电场线的走向代表了它所经过的空间各点上电场强度的方向，而而电场强度的方向总是由高电势指向低电势电场强度的方向总是由高电势指向低电势； 另外，另外，处于静电平衡的导体是等势体，其表面是等势面处于静电平衡的导体是等势体，其表面是等势面。 - 由这两点看，由导体正端发出的电场线是绝对不会终止于自由这两点看，由导体正端发出的电场线是绝对不会终止于自身的负端的。身的负端的。8二、静电平衡的导体上的电荷分布及表面的电场二、静电平衡的导体上的电荷分布及表面的电场 1、导体内部不存在净电荷，电荷只能分布在导体、导体内部不存在净电荷，电荷只能分布在导体表面表面。 因为导体内部的电场强度为零，上式积分为零，所以导体因为导体内部的电场强度为零，上式积分为零，所以导体内部必定不存在净电荷。内部必定不存在净电荷。 在导体内部任取一闭合曲面在导体内部任取一闭合曲面S，运用高斯定理，应有，运用高斯定理，应有9 在在带带电电导导体体表表面面任任取取一一面面元元 S，可可认认为为其其电电荷荷面面密密度度 为为均均匀匀分分布布。包包围围 S作作一一圆圆柱柱状状闭闭合合面面，使使其其上上、下下底底面面与与导导体体表表面面平平行行。通通过过整整个个圆圆柱柱状状闭闭合合面面的的电电通通量量等等于于通通过过圆圆柱上底面的电通量柱上底面的电通量。 上式表示，处于静电平衡的导体，其表面附近的上式表示，处于静电平衡的导体，其表面附近的电场强度大小与该处面电荷密度成正比。电场强度大小与该处面电荷密度成正比。 S根据高斯定理，有根据高斯定理，有 2. 带电导体表面附近的电场带电导体表面附近的电场10r1r2lq2q1等势体等势体代入上式代入上式一导线相连的两导体球一导线相连的两导体球3. 孤立的导体处于静电平衡时，其面电荷密度分布孤立的导体处于静电平衡时，其面电荷密度分布的特点的特点11说明：说明：大球的电荷密度小，小球的电荷密度大大球的电荷密度小，小球的电荷密度大推论：推论： 由于任意形状导体的表面都可视为许多半由于任意形状导体的表面都可视为许多半径不同的球面连接而成，因此径不同的球面连接而成，因此表面尖锐的地方，表面尖锐的地方，对应球面半径小（或曲率大），面电荷密度大，对应球面半径小（或曲率大），面电荷密度大，反之面电荷密度小。反之面电荷密度小。注意注意表面凹陷处，电荷面密度很小，几乎为零。表面凹陷处，电荷面密度很小，几乎为零。12尖端放电：尖端放电：导体表面越尖锐，其电荷面密度越大。导体表面越尖锐，其电荷面密度越大。 凸起越利害的地方，其附近的场强越大，而强凸起越利害的地方，其附近的场强越大，而强的电场又可以将空气分子电离，从而使空气中电的电场又可以将空气分子电离，从而使空气中电荷移动。荷移动。例：例： 金属针上的电荷形成金属针上的电荷形成的的“电风电风”会将蜡烛的火焰会将蜡烛的火焰吹向一边，这就是尖端放吹向一边，这就是尖端放电现象。电现象。13三、处于静电平衡的空腔导体，其电荷与电场分布特点三、处于静电平衡的空腔导体，其电荷与电场分布特点空腔内部电场强度为零，即它们是等势体。空腔内部电场强度为零，即它们是等势体。1415 利用导体静电平衡的性质，使导体空腔内部空利用导体静电平衡的性质，使导体空腔内部空间不受腔外电荷和电场的影响，或者将导体空腔间不受腔外电荷和电场的影响，或者将导体空腔接地，使腔外空间免受腔内电荷和电场影响，这接地，使腔外空间免受腔内电荷和电场影响，这类操作都称为类操作都称为静电屏蔽静电屏蔽。无线电技术中有广泛应。无线电技术中有广泛应用，例如，常把测量仪器或整个实验室用金属壳用，例如，常把测量仪器或整个实验室用金属壳或金属网罩起来，使测量免受外部电场的影响。或金属网罩起来，使测量免受外部电场的影响。 四、导体静电平衡性质的应用四、导体静电平衡性质的应用1.静电屏蔽静电屏蔽 (electrostatic shielding)1617 2. 库仑平方反比律的精确证明库仑平方反比律的精确证明4. 范德格拉夫静电高压起电机范德格拉夫静电高压起电机 3. 场致发射显微镜场致发射显微镜18 五、有导体存在时静电场的分析与计算五、有导体存在时静电场的分析与计算 导体放入静电场中时，电场会影响导体上电荷的分布；而导体放入静电场中时，电场会影响导体上电荷的分布；而同时，导体上的电荷分布也会影响电场的分布。这种相互影同时，导体上的电荷分布也会影响电场的分布。这种相互影响将一直继续到响将一直继续到导体达到静电平衡导体达到静电平衡时为止，这时，导体上的时为止，这时，导体上的电荷分布及周围的电场分布就不再改变了。电荷分布及周围的电场分布就不再改变了。1、静电场的基本规律、静电场的基本规律2、电荷守恒定律、电荷守恒定律3、导体静电平衡条件、导体静电平衡条件19例例1： 两块导体平板平行并相对放置，所带电量分两块导体平板平行并相对放置，所带电量分别为别为Q和和Q ，如果两块导体板的面积都是，如果两块导体板的面积都是S，且视，且视为无限大平板，试求这四个面上的面电荷密度。为无限大平板，试求这四个面上的面电荷密度。解解：设设四四个个面面的的面面电电荷荷密密度度分分别别为为 1、 2、 3和和 4，空空间间任任一一点点的的场场强强都都是是由由四四个个面面的的电电荷荷共共同同提提供供的的。由由高高斯斯定定理理，各各面面上上的的电电荷荷所所提提供供的的场场强强都都是是 i / 2 0。另另外外，由由于于导导体体内内部部的的合合场场强强为为零零。若若取取向向右右为为正正方方向向，则则处处于于导导体体内内部部的的点点A和点和点B的场强可以表示为的场强可以表示为 20根据已知条件根据已知条件 S ( 1 2 ) = Q S ( 3 4 ) = Q .可解得：可解得： 上式表明两块无限大的导体平板，相对的内侧表面上面上式表明两块无限大的导体平板，相对的内侧表面上面电荷密度大小相等、符号相反，相反的外侧表面上面电电荷密度大小相等、符号相反，相反的外侧表面上面电荷密度大小相等、符号相同。如果荷密度大小相等、符号相同。如果 Q = Q ，可以求出：，可以求出：S21例题例题2: 一半径为一半径为R的接地导体球，附近有一电量为的接地导体球，附近有一电量为q的点电荷。点电荷距离球心为的点电荷。点电荷距离球心为r，求，导体面上的求，导体面上的感应电荷的电量感应电荷的电量q. qrR解：根据电势的叠加原理解：根据电势的叠加原理球心球心:点电荷在球心点电荷在球心O产生的电势产生的电势感应电荷在球心处产生的电势为感应电荷在球心处产生的电势为解得：解得：22例例3：2324 结论：结论：无论导体空腔是否接地，无论导体空腔是否接地，小球与球壳之间的电势差恒定小球与球壳之间的电势差恒定25R1R2R3S1S2例题例题4：场场26R1R2R3S3S42728一、孤立导体的电容一、孤立导体的电容 所谓所谓“孤立孤立”导体，就是说在这导体的附导体，就是说在这导体的附近没有其它导体和带电体近没有其它导体和带电体。 设想一个孤立导体带电量为设想一个孤立导体带电量为q q，它将具有一定的电势它将具有一定的电势V V，理论与理论与实验表明：随着实验表明：随着q q的增加，的增加，V V将按将按比例地增加，关系式：比例地增加，关系式： C C与导体的形状和尺寸有关，与与导体的形状和尺寸有关，与q q和和V V无关，称之无关，称之为为孤立导体的电容孤立导体的电容。13-2 电容和电容器电容和电容器29 孤立导体电容的物理意义为：孤立导体电容的物理意义为：使导体每升高单位使导体每升高单位电势所需的电量电势所需的电量。 为了理解电容的意义，可比喻为：我们向几个不同容为了理解电容的意义，可比喻为：我们向几个不同容器灌水时，为了使它们的水面都增加一个单位的高度，需器灌水时，为了使它们的水面都增加一个单位的高度，需要灌入的水量是不相同的。这是由要灌入的水量是不相同的。这是由容器本身的性质（即它容器本身的性质（即它的截面积）所决定的的截面积）所决定的。例如例如，半径为，半径为R，带电量为带电量为Q的孤立的孤立 导体球，其电势表示为导体球，其电势表示为孤立导体球的电容为孤立导体球的电容为30电容的单位：电容的单位： 称作称作F (法拉法拉) 或记为或记为 (C / V )。由此可见，电容由此可见，电容C C决定于导体的几何因素。决定于导体的几何因素。 地球可看成一个导体球，它的半径约地球可看成一个导体球，它的半径约64006400千米，千米，它的电容它的电容C C约为约为7.17.1 1010-4 -4 F F。二、电容器：二、电容器： 孤立导体作为提供电容的器件，是没有实际意义孤立导体作为提供电容的器件，是没有实际意义的。这是因为，的。这是因为，首先它的电容太小，没有实际应用首先它的电容太小，没有实际应用价值，其电容易受周围导体的影响价值，其电容易受周围导体的影响。31 用一个封闭的导体壳用一个封闭的导体壳B将导体将导体A包围起来，并将包围起来，并将B接地。使接地。使VB0，这样壳外的导体就不在影响这样壳外的导体就不在影响B的电的电势。势。 若使导体若使导体A A带电带电q qA A，导体壳导体壳B B的内表面将带电的内表面将带电- -q qA A。随着随着q qA A的增加，的增加，V VA A将按比例增加将按比例增加, ,仍可定义它的仍可定义它的电容为电容为32 当然这时当然这时C C已与导体壳已与导体壳B B有关了有关了,(,(此时之所以用此时之所以用孤立导体的电容来定义带电体孤立导体的电容来定义带电体A A的电容的电容, ,是因为是因为B B接接地地, ,屏蔽了外来场的干扰屏蔽了外来场的干扰, , A A在此仍可看成一个孤在此仍可看成一个孤立的带电导体立的带电导体).). 其实其实, ,导体壳导体壳B B也可不接地也可不接地, ,则它的电势则它的电势V VB B 0, 0, 虽虽然这时然这时V VA A，V VB B都与外界的导体有关，但电势差：都与外界的导体有关，但电势差： 仍不受外界的影响，且正比于仍不受外界的影响，且正比于q qA A，比值不变。比值不变。这种由导体壳这种由导体壳B B和其腔内的导体和其腔内的导体A A组成的导体系，组成的导体系，叫做电容器。比值叫做电容器。比值 叫做它的电叫做它的电容。容。33 电容器的电容与两导体的尺寸电容器的电容与两导体的尺寸形状和相对形状和相对位置有关，与位置有关，与q qA A和和U UABAB无关。无关。组成电容器的两个导组成电容器的两个导体体A A，B B叫做电容器的极板。叫做电容器的极板。 孤立导体也可以看成是一个电容器，不过它孤立导体也可以看成是一个电容器，不过它的另一极板在无限远处。这两个极板的电势差，的另一极板在无限远处。这两个极板的电势差，即等于孤立导体的电势。即等于孤立导体的电势。 若使若使A A的外表面和的外表面和B B的内表面之间的距离减小，的内表面之间的距离减小，则在则在A A带同样电量的情况下，带同样电量的情况下，A A，B B之间的电势差减之间的电势差减小，即电容增大。小，即电容增大。341. 平行板电容器平行板电容器平行板电容器面积为平行板电容器面积为S ，板间距为，板间距为d ,且且三、电容的计算三、电容的计算平行板电容器的电容与极板的面积平行板电容器的电容与极板的面积S成正比，与成正比，与两极板之间的距离两极板之间的距离d成反比。成反比。缩小板间的距离缩小板间的距离d d；增大板上的面积。增大板上的面积。352. 同心球形电容器同心球形电容器两个同心金属球壳带有等量异号电荷两个同心金属球壳带有等量异号电荷,电量为电量为Q，两球壳之间的场强为，两球壳之间的场强为Q-QRARB两球壳间的电势差为两球壳间的电势差为36讨论讨论 假设假设RA，RB都很大时，且两球壳间的都很大时，且两球壳间的距离距离 很小，因而近似地有很小，因而近似地有，此时球形电容器的电容为，此时球形电容器的电容为: :以球面积以球面积 代入，即代入，即相当于平行电容器的电容相当于平行电容器的电容假设假设 ，则，则 ，则，则 半径为半径为R RA A的孤立导体球的电容。的孤立导体球的电容。373. 圆柱形电容器圆柱形电容器（同轴电缆）（同轴电缆） 两个长为两个长为 l 的圆柱体，圆柱面上带有等量异号的的圆柱体，圆柱面上带有等量异号的电荷，其间距离电荷，其间距离 RB RA l ，线电荷密度为线电荷密度为 =Q /l 。38讨论讨论1. 当当RA=RB时，时，2. 当当RA RB时，时， RB RA+将将 展开，得展开，得39计算电容的步骤为：计算电容的步骤为： 设电容设电容器两极上分别带电荷器两极上分别带电荷q q，计算电容两极计算电容两极间的场强分布，从而计算出两极板间的电势差间的场强分布，从而计算出两极板间的电势差V VABAB 所得的所得的V VABAB与与q q成正比，利用电容的定义式成正比，利用电容的定义式求出电容求出电容C C，它一定与它一定与q q无关，完全由电容器本身无关，完全由电容器本身性质决定。性质决定。40例例 1: 两根距离为两根距离为d 的平行无限长直导线带等量异号的平行无限长直导线带等量异号电荷电荷, 构成电容器，设导线半径构成电容器，设导线半径ad，求单位长度，求单位长度的电容。的电容。xdoxa 解解:如图建立坐标系，如图建立坐标系，坐标轴上坐标轴上 x处的场强可处的场强可由高斯定理求出由高斯定理求出方向沿方向沿x轴正方向。式中轴正方向。式中 是正电导线单位长度所是正电导线单位长度所带电量。两导线间的电势差为带电量。两导线间的电势差为由此可算得单位长度由此可算得单位长度的电容为的电容为41四、电容器的用途四、电容器的用途1. 用来产生用于各种目的的电场用来产生用于各种目的的电场电子束的加速和偏转；电子束的加速和偏转；电介质的极化；电介质的极化；离子加速器离子加速器2. 储存能量储存能量3. 用于电子线路、滤波器、振荡、延迟，使电用于电子线路、滤波器、振荡、延迟，使电子时代的到来成为可能子时代的到来成为可能42五、电容器的联接五、电容器的联接 恒恒量量一一个个实实际际的的电电容容器器的的性性能能有有两两个个主主要要的的指指标标：一一个个是是电电容容的的大大小小；另另一一个个是是它它的的耐耐压压能能力力。在在实实际际应应用用中中，所所加加的的电电压压不不能能超超过过电电容容器器本本身身规规定定的的耐耐压压值值，否否则则在在电电介介质质中就会产生过大得场强，而使它有被击穿的危险。中就会产生过大得场强，而使它有被击穿的危险。 在在实实际际电电路路中中，当当遇遇到到单单独独的的一一个个电电容容器器的的电电容容或或耐耐压压能能力力不不能能满满足足要要求求时时，就就把把几几个个电电容容器器联联接接起起来来使使用用。电电容容器联接的基本方式有器联接的基本方式有并联和串联并联和串联两种。两种。431. 并联电容器的电容并联电容器的电容令令等效等效442.串联电容器的电容串联电容器的电容等效等效令令45注意：注意：电容器的并联和串联比较如下电容器的并联和串联比较如下1、并联时，总电容虽然增大了，但因每个电容器都直接联、并联时，总电容虽然增大了，但因每个电容器都直接联到电源上，所以电容器组的耐压能力受到耐压能力最低的到电源上，所以电容器组的耐压能力受到耐压能力最低的电容器的限制；电容器的限制；2、串联时，由于总电压分配到各个电容器上，所以电容器、串联时，由于总电压分配到各个电容器上，所以电容器组的耐压能力比每个电容器都提高了，但是，总电容比每组的耐压能力比每个电容器都提高了，但是，总电容比每个电容器都减小了。个电容器都减小了。46例例2 正方形平行板电容器，由于制作的原因，两板正方形平行板电容器，由于制作的原因，两板之间有一小的夹角之间有一小的夹角 ，求，求C（设板的边长为设板的边长为a，最最小间距为小间距为d.)dodx对于对于x处的平行板电容器的电容为处的平行板电容器的电容为解：由于解：由于 的存在，两板处处的存在，两板处处间距不等，因此可将其视为许多间距不等，因此可将其视为许多电容器的并联。电容器的并联。47注意：注意： 很小，很小， 很小很小将将 展开，得展开，得当当 ， 平行板电容器平行板电容器4813-3 13-3 静电场中的电介质静电场中的电介质导体导体: :含有许多可以自由移动的电子或离子含有许多可以自由移动的电子或离子金属导体金属导体电场电场感应电荷感应电荷静电平衡静电平衡导体内场导体内场强为零强为零电介质电介质: :不存在自有电子，其不存在自有电子，其电子电子被束缚在自身所被束缚在自身所属的原子核周围属的原子核周围，在电场的作用下，电介质分子中，在电场的作用下，电介质分子中的电子和原子核只能作的电子和原子核只能作相对移动相对移动，但，但不能超出分子不能超出分子范围范围。电电 介介 质质电场电场极化电荷极化电荷 平平 衡衡电介质内场电介质内场强不为零强不为零49 一、电介质的种类一、电介质的种类 由于电介质的种类很多，极化的情况也比较复杂，由于电介质的种类很多，极化的情况也比较复杂，我们的讨论只限于以下情况。我们的讨论只限于以下情况。 a) 各向同性各向同性的电介质，就是沿各不同的方向，物的电介质，就是沿各不同的方向，物理性质都相同。理性质都相同。 b) 均匀均匀的电介质，即物理性能各处一致。的电介质，即物理性能各处一致。对于均对于均匀电介质，极化电荷只出现在电介质表面上匀电介质，极化电荷只出现在电介质表面上; ;对于对于不均匀电介质，极化电荷不仅出现在介质表面上，不均匀电介质，极化电荷不仅出现在介质表面上，也出现在体内。也出现在体内。50 无外场作用下，从分子的无外场作用下，从分子的线度线度看电介质的电结构，看电介质的电结构，可将其分为两类：可将其分为两类：分子的正、负分子的正、负电荷电荷重心重心重合重合分子的正、负分子的正、负电荷电荷重心重心不重合不重合 在外电场作用下，电介质的在外电场作用下，电介质的表面表面出现宏观电荷的出现宏观电荷的现象，称为现象，称为电介质极化电介质极化。 二、电介质的极化二、电介质的极化51 位移极化位移极化 电场越强，极化越强，表面极化电荷越多电场越强，极化越强，表面极化电荷越多1. 极化的微观机制极化的微观机制（无极分子）（无极分子）52取向极化取向极化 （有极分子）（有极分子）53注意注意 一般情况下，有极分子在外场的作用一般情况下，有极分子在外场的作用下，除了发生取向极化外，还发生位移下，除了发生取向极化外，还发生位移极化，只是取向极化比位移极化强的多，极化，只是取向极化比位移极化强的多，因而以取向极化为主；对于无极分子，因而以取向极化为主；对于无极分子，位移极化则是唯一的极化机制。位移极化则是唯一的极化机制。 两种极化的微观机制过程是不同的，但宏观的结两种极化的微观机制过程是不同的，但宏观的结果却是一样的。果却是一样的。54三、三、电极化强度电极化强度 (polarization) 为了定量描写电介质的极化程度，我们在电介质为了定量描写电介质的极化程度，我们在电介质内取一物理无限小体积元内取一物理无限小体积元 （看成一个宏观点），（看成一个宏观点），在没有外电场时，在没有外电场时，电介质未被极化，内部宏观小体积电介质未被极化，内部宏观小体积元中各分子的电偶极矩的矢量和为零元中各分子的电偶极矩的矢量和为零（p p=0=0）；）；当当有外电场时，电介质被极化，此小体积元中的电偶极有外电场时，电介质被极化，此小体积元中的电偶极矩的矢量和将不为零（矩的矢量和将不为零（p p00）。）。外电场越强，分子外电场越强，分子的电偶极矩的矢量和越大。的电偶极矩的矢量和越大。 用单位体积中分子的电偶极矩的矢量和表示电用单位体积中分子的电偶极矩的矢量和表示电介质的介质的极化程度极化程度1. 引入引入552.2.电极化强度的定义电极化强度的定义 为表征电介质的极化状态，为表征电介质的极化状态，定义极化强度矢量：定义极化强度矢量：在单位体积的电介质中分子电矩的矢量和，以在单位体积的电介质中分子电矩的矢量和，以 P 表示，表示，即即式中式中 是在电介质体元是在电介质体元 内分子电内分子电偶极偶极矩矩 的矢量和的矢量和,极化强度的单位是极化强度的单位是C/m2 、库仑库仑/米米2。 如果电介质内各处极化强度的大小和方向都相如果电介质内各处极化强度的大小和方向都相同，就称为均匀极化。同，就称为均匀极化。我们只讨论均匀极化的电我们只讨论均匀极化的电介质。介质。56四、四、极化强度与极化电荷的关系极化强度与极化电荷的关系 对于均匀极化的电介质，极化电荷只出现在介质对于均匀极化的电介质，极化电荷只出现在介质的表面上。在电介质内切出一个长度为的表面上。在电介质内切出一个长度为l、底面积底面积为为 S的斜柱体，使极化强度的斜柱体，使极化强度P的方向与斜柱体的轴的方向与斜柱体的轴线相平行，而与底面的外法线线相平行，而与底面的外法线n的方向成的方向成 角。角。 若把整个斜柱体看为一个若把整个斜柱体看为一个“大电偶极子大电偶极子”，它的电矩的，它的电矩的大小为大小为 S l，所以，斜柱所以，斜柱体内分子电矩的矢量和的大体内分子电矩的矢量和的大小可以表示为小可以表示为斜柱体的体积为斜柱体的体积为 极化强度的大小为极化强度的大小为57由此得到由此得到 = P cos = Pn , 或或 表示表示极化电荷面密度等于极化强度沿该面法线极化电荷面密度等于极化强度沿该面法线方向的分量。方向的分量。 右：右：左：左：讨论讨论58 为了得到极化强度与极化电荷更一般的关系为了得到极化强度与极化电荷更一般的关系, 在在闭合曲面闭合曲面S上取面元上取面元dS，以，以dS点乘上式等号两边，点乘上式等号两边，积分：积分： 等号右端是等号右端是闭合曲面闭合曲面S上极化电荷的总量上极化电荷的总量，而这，而这些极化电荷都处于些极化电荷都处于S 上，用上，用 表示。表示。 无论电介质是否极化，介质都是电中性的。因此无论电介质是否极化，介质都是电中性的。因此在在S面内面内必定存在必定存在 的极化电荷。的极化电荷。59 上式表示，上式表示，极化强度沿任意闭合曲面的面积分极化强度沿任意闭合曲面的面积分(即即P对该闭合曲面的通量对该闭合曲面的通量)，等于该闭合曲面所包围的极化，等于该闭合曲面所包围的极化电荷的负值。电荷的负值。 注意注意 对于均匀电介质，极化电荷只出现对于均匀电介质，极化电荷只出现在电介质的表面上；在电介质的表面上； 闭闭合合曲曲面面S完完全全处处于于均均匀匀电电介介质质的的内内部部，而而S内部不可能存在极化电荷，即内部不可能存在极化电荷，即该闭合曲面极化强度通量为零该闭合曲面极化强度通量为零60例题例题1 半径为半径为R的均匀介质球，沿水平方向均匀极的均匀介质球，沿水平方向均匀极化，设极化强度化，设极化强度 ，求：，求：a) 介质表面极化电荷的介质表面极化电荷的分布，分布，b) 左右半球面上的电荷的电量。左右半球面上的电荷的电量。解：解：a.以球心为坐标原点，建以球心为坐标原点，建立坐标系。由于球对称，立坐标系。由于球对称，球面上任一点的极化电荷球面上任一点的极化电荷面密度面密度 与与 有关。有关。 角为任一点外法线角为任一点外法线 与与 的夹角。的夹角。 E1Rqy 61d E1Rqy 极化电荷面密度极化电荷面密度b. 沿垂直沿垂直P的方向将球面分割成许多环形的球带，的方向将球面分割成许多环形的球带，过任一点球带的宽度为过任一点球带的宽度为 ，周长为，周长为右右半球：半球：左左半球：半球：当当 时，时， 最大；在最大；在 时，时， 为零为零62 足够小，故足够小，故ds上上 可视为均匀，其极化电可视为均匀，其极化电荷为：荷为：积分：积分：左左半球：半球：63五、极化电荷对电介质内部场强的影响五、极化电荷对电介质内部场强的影响64 0+ 0+ EE0 则两板之间的电场强度的大小为则两板之间的电场强度的大小为E0= / 0 。在电容器内充满均匀电介质在电容器内充满均匀电介质时时E= / 0 。总电场强度总电场强度E 的大小可以的大小可以表示为表示为 以平行板电容器为例以平行板电容器为例 , 如果极板电容器上所带如果极板电容器上所带自由电荷面密度分别为自由电荷面密度分别为 和和 ， 实实验验表表明明，对对于于各各向向同同性性的的电电介介质质，极极化化强强度度P与与作作用用于于电电介介质质内内部部的的实实际际电电场场 E 成成正正比比，并并且两者方向相同，可以表示为且两者方向相同，可以表示为 65 式中式中 e是电介质的极化率。引入电介质的是电介质的极化率。引入电介质的相对相对电容率电容率，定义为，定义为 r = 1+ e电介质的电介质的相对电容率相对电容率 (相对介电常数相对介电常数)66说明说明 在均匀介质中，内部场强的大小等于外在均匀介质中，内部场强的大小等于外加电场的加电场的真空中的电容率真空中的电容率电介质的相对电容率（无量纲）电介质的相对电容率（无量纲）电介质的绝对电容率（量纲同电介质的绝对电容率（量纲同 ）671.00053.54.55.7 6.83.7 7.55.0 7.65.0 10316146 2080 20010 2010 15电介质的相对介电常数（电容率）：电介质的相对介电常数（电容率）：68六、电介质存在时的高斯定理六、电介质存在时的高斯定理自由电荷自由电荷束缚电荷束缚电荷根据真空中的高斯定理根据真空中的高斯定理 在在电电场场中中有有电电介介质质，高高斯斯面面内内可可能能同同时时包包含含自自由由电荷和极化电荷这两种电荷，高斯定理应表示为电荷和极化电荷这两种电荷，高斯定理应表示为69自由电荷自由电荷 对于任一闭合曲面电感应强度的通量，等于对于任一闭合曲面电感应强度的通量，等于该闭合曲面内所包围的自由电荷的代数和。该闭合曲面内所包围的自由电荷的代数和。物理意义物理意义对于各向同性的电介质对于各向同性的电介质 定义定义电感应强度矢量电感应强度矢量electric displacement（电位移矢量）（电位移矢量）70思考题：思考题： 从从 看，电感应看，电感应强度矢量仅与自由电荷有关，而与极化电荷无强度矢量仅与自由电荷有关，而与极化电荷无关，对否？关，对否？ 该该式式只只表表明明对对任任何何闭闭合合面面的的D通通量量决决定定于于自自由由电电荷荷，而而与与极极化化电电荷荷无无关关，并并不不表表示示D本本身身只只决决定定于于自自由由电电荷荷，与与极极化化电电荷荷无无关关。在在一一般般情情况况下下，D是是与极化电荷有关的，这可以从公式与极化电荷有关的，这可以从公式 中看到。中看到。71七、边界条件七、边界条件 在两种不同的电介质分界面两侧，在两种不同的电介质分界面两侧，D和和E一般要发生突变，但必须遵循一般要发生突变，但必须遵循一定的边界条件。一定的边界条件。 在两种相对电容率分别为在两种相对电容率分别为 r1和和 r2的的 电介质分界面处，作一扁平的柱状电介质分界面处，作一扁平的柱状 高高斯面斯面, 使其上、下底面使其上、下底面 ( S ) 分别处于两种介质中，分别处于两种介质中， 并与界面平行，并与界面平行，柱面的高很小柱面的高很小, 运用高斯定理，得运用高斯定理，得 即即 或或 D1n = D2n 上上式式表表示示，从从一一种种介介质质过过渡渡到到另另一一种种介介质质，电电感感应应强强度的法向分量不变。度的法向分量不变。n72取法线分量，则取法线分量，则结论结论： 场强的法线分量在电介质介面上是突变的场强的法线分量在电介质介面上是突变的73在上述两种介质分界面处作一矩形回路在上述两种介质分界面处作一矩形回路ABCDA，使两长边使两长边(长度为长度为 l )分别处于两种介质中，并与分别处于两种介质中，并与界面平行，短边很小，取界面的切向单位矢量界面平行，短边很小，取界面的切向单位矢量 t 的的方向沿界面向上。由静电场的环路定理得方向沿界面向上。由静电场的环路定理得上式表示，从一种介质过渡到另一种介质，电场强上式表示，从一种介质过渡到另一种介质，电场强度的切向分量不变。度的切向分量不变。即即 或或 E1t = E2 t 74取切线分量，则取切线分量，则结论结论： 电感应强度的切线分量在电介质介面上是电感应强度的切线分量在电介质介面上是突变的。突变的。75例例1：半径为：半径为R的金属球带电量的金属球带电量Q，球外同心的放置球外同心的放置相对电容率为相对电容率为 r的电介质球壳，球壳的内、外半径的电介质球壳，球壳的内、外半径分别为分别为R1和和R2 。求空间各点的电感应强度求空间各点的电感应强度D、电场电场强度强度E以及电介质球壳表面的极化电荷密度以及电介质球壳表面的极化电荷密度 。解解：以球心为中心、以：以球心为中心、以大于大于R的任意长的任意长r为半径为半径作球形高斯面，由高斯作球形高斯面，由高斯定理可求得定理可求得高斯面高斯面在在R r R2的区域，不存的区域，不存在电介质，在电介质， r = 1，有，有在在R1 r R2 的区域，的区域，存在电介质，存在电介质， 所以所以 76电介质的极化强度电介质的极化强度P 只存在于极化了的电介质只存在于极化了的电介质球壳中，并且球壳中，并且P 的方向与的方向与E 相同。相同。P 的大小为的大小为也可以根据公式也可以根据公式D = 0E + P 来求来求P，得，得极化电荷出现在电介质球壳的极化电荷出现在电介质球壳的内、外表面上。在内表面，内、外表面上。在内表面， r =R1 ，n指向球心，所以指向球心，所以在外表面，在外表面，r = R2 ， n沿径向向外，所以沿径向向外，所以77在内表面上的负极化电荷总量为在内表面上的负极化电荷总量为在外表面上的正极化电荷的总量为在外表面上的正极化电荷的总量为可见，由于电介质整体是电中性的，所以可见，由于电介质整体是电中性的，所以电介质球电介质球壳内、外表面上的负、正极化电荷量必定相等壳内、外表面上的负、正极化电荷量必定相等 。78求极化电荷的方法：求极化电荷的方法：79+ d1d2S1S2例例2：平行板电容器充满两层厚度：平行板电容器充满两层厚度 为为 d1 和和 d2 的电介质的电介质(d=d1+d2 )， 相对电容率分别为相对电容率分别为 r1 和和 r2 。 求：求：1.电介质中的电场电介质中的电场 ；2.电容量电容量。解解：设两介质中的电感应强度为：设两介质中的电感应强度为D1 和和 D2 ，由高斯定理知：由高斯定理知：介质中的介质中的场强：场强：同理得到同理得到80板间板间电势差：电势差： 以上两个例题的求解，以上两个例题的求解，都是绕过了极化电荷都是绕过了极化电荷的影响的影响，通过电感应强度矢量，通过电感应强度矢量D进行的，使问进行的，使问题大为简化了。题大为简化了。电容器的电容：电容器的电容：81讨论：讨论：极化电荷与自由电荷的区别极化电荷与自由电荷的区别a. 电电介介质质极极化化而而出出现现在在电电介介质质表表面面上上(或或体体内内)的的宏宏观观电电荷荷，就就是是极极化化电电荷荷；在在外外电电场场的的作作用用下下可可以以自自由由运运动动的的宏宏观观电电荷，称为自由电荷。荷，称为自由电荷。b. 极极化化电电荷荷是是束束缚缚在在分分子子中中的的电电子子作作微微小小位位移移，它它的的活活动动范范围围不不能能超超出出分分子子的的线线度度。而而自自由由电电荷荷是是由由于于原原子子或或分分子子的的电电离离或或金金属属中中的的自自由由电电子子重重新新分分布布引引起起的的，它它的的活活动动范范围可以是整个物体，也可以在不同的物体之间；围可以是整个物体，也可以在不同的物体之间； c. 极极化化电电荷荷不不能能转转移移到到其其他他物物体体，而而自自由由电电荷荷可可以以转转移移到其他物体。到其他物体。 8213-4 电介质对电容器的影响及电容器的能量电介质对电容器的影响及电容器的能量一一. 电介质对电容器的影响电介质对电容器的影响1、电量一定、电量一定 电容器极板间的电势差电容器极板间的电势差U12相应减小了，为相应减小了，为电介质电介质不存在时的不存在时的1/ r 。 式式中中U012是是电电介介质质不不存存在在时时电电容容器器极极板板间间的的电电势势差差，d是是两极板之间的距离。两极板之间的距离。电势差：电势差： 0+ 0+ EE0E电容：电容：83电介质放入后：电介质放入后：电介质放入后，电介质放入后，电容增大为原来的电容增大为原来的 r倍。倍。电势差一定电势差一定电介质放入后，电介质放入后，电量增大为原来的电量增大为原来的 r倍。倍。84 在电容器充电过程中在电容器充电过程中,设某时刻两极板间的电压设某时刻两极板间的电压为为UAB , 在外力作用下持续地将在外力作用下持续地将 dq 电量从负极板移电量从负极板移到正极板时，外力因克服静电场力作的功为：到正极板时，外力因克服静电场力作的功为：所以在电容器中储存的能量为：所以在电容器中储存的能量为：+二二. 电容器的能量电容器的能量85 电容器储存的能量与电场的关系电容器储存的能量与电场的关系电容器中静电能的电容器中静电能的能量密度能量密度(真空真空)对于非匀强电场，在体对于非匀强电场，在体元元d 内的电场能量为内的电场能量为86整个电场的能量可以表示为整个电场的能量可以表示为结果讨论：结果讨论：电容器所具有的能量与极板间电场电容器所具有的能量与极板间电场 和和 有关，有关， 和和 是极板间每一点电场大小的是极板间每一点电场大小的物理量，所以能量与电场存在的空间有关，物理量，所以能量与电场存在的空间有关，电场携带了能量。电场携带了能量。电容器所具有的能量还与极板间体积成正比，电容器所具有的能量还与极板间体积成正比，于是可定义能量的体密度，它虽然是从电容于是可定义能量的体密度，它虽然是从电容器间有均匀场而来但有其普遍性。器间有均匀场而来但有其普遍性。87注意注意(1) 电电容容器器充充电电后后所所储储存存的的能能量量，就就是是电电容容器器极极板板间间建建立立的的电电场场所所具具有有的的能能量量；电电容容器器放放电电时时所所释释放放的的能能量量，就就是是电电容容器器极极板板间间电电场场消消失失，电电场场能能量量转转变变为为其其他他形形式式的能量。的能量。 (2) 电容器充电后所储存的能量，也可以认为是电容器电容器充电后所储存的能量，也可以认为是电容器这个带电系统所具有的电势能。这个带电系统所具有的电势能。 设电容器极板面积为设电容器极板面积为S，间距为间距为d，所带电量分别为所带电量分别为+Q和和 Q。设想：原来带有正电荷的极板和带有负电设想：原来带有正电荷的极板和带有负电荷的极板靠得非常近，即荷的极板靠得非常近，即d = 0，此时这个系统实际上此时这个系统实际上是处于电中性状态，是处于电中性状态，电势能为零电势能为零。现用外力将两极板。现用外力将两极板拉开距离拉开距离d，外力所作的功使系统的电势能增加，而外力所作的功使系统的电势能增加，而电势能的增加量等于系统所具有的电势能。电势能的增加量等于系统所具有的电势能。 88根根据据这这个个设设想想来来计计算算系系统统的的电电势势能能。一一个个带带电电极极板板在在另另一个极板处产生的电场强度为一个极板处产生的电场强度为这另一个极板所受到的电场力为这另一个极板所受到的电场力为 外力将它们分离距离外力将它们分离距离d所作的功为所作的功为 89例例1：一个半径为：一个半径为R，带电荷为带电荷为q的金属球浸没在电容的金属球浸没在电容率为率为 的无限大均匀电介质中，求空间的电场能量。的无限大均匀电介质中，求空间的电场能量。 rS解解：因为球内没有电场，电场能：因为球内没有电场，电场能为零，由高斯定理求得球外的电为零，由高斯定理求得球外的电场强度为场强度为即即 4 r2 D = q解得电感应强度为解得电感应强度为 该处的能量密度为该处的能量密度为90在半径为在半径为 r 与与 r+dr 之间的球壳的能量为之间的球壳的能量为空间的总能量为空间的总能量为91例例2：一平板电容器面积为：一平板电容器面积为S，间距间距d，用电源充电后用电源充电后两极板分别带电为两极板分别带电为+q和和- -q，断开电源，再把两极板断开电源，再把两极板拉至拉至2d ，试求：试求：1.外力克服电力所作的功；外力克服电力所作的功；2.两极板两极板间的相互作用力？间的相互作用力？解解： 1. 根据功能原理可知，外力根据功能原理可知，外力的功等于系统能量的增量；的功等于系统能量的增量；电容器两个状态下所存贮的能量差电容器两个状态下所存贮的能量差等于外力的功：等于外力的功：初态初态末态末态92若把电容器极板拉开一倍的距离，所需外力的功若把电容器极板拉开一倍的距离，所需外力的功等于电容器原来具有的能量。等于电容器原来具有的能量。2. 外力反抗极板间的电场力作功外力反抗极板间的电场力作功极板间的力极板间的力93