第一节 孤立奇点一、孤立奇点的概念二、函数的零点与极点的关系三、函数在无穷远点的性态四、小结与思考1一、孤立奇点的概念定义定义 如果如果函数函数在在 不解析不解析, 但但在在的某一去心邻域的某一去心邻域内处处解析内处处解析, 则称则称为为的孤立奇点的孤立奇点.例例1是函数是函数的孤立奇点的孤立奇点.是函数是函数的孤立奇点的孤立奇点.注意注意: : 孤立奇点一定是奇点孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤但奇点不一定是孤立奇点立奇点.2例例2 2 指出函数指出函数在点在点的奇点特性的奇点特性. .解解即在即在的不论怎样小的去心邻域内的不论怎样小的去心邻域内, 的奇点存在的奇点存在, 函数的奇点为函数的奇点为总有总有不是孤立奇点不是孤立奇点.所以所以3孤立奇点的分类孤立奇点的分类依据依据在其孤立奇点在其孤立奇点的去心邻域的去心邻域内的洛朗级数的情况分为三类内的洛朗级数的情况分为三类:1可去奇点可去奇点1可去奇点可去奇点; 2极点极点; 3本性奇点本性奇点.如果洛朗级数中不含如果洛朗级数中不含 的负幂项的负幂项, 那末孤立奇点那末孤立奇点 称为称为 的可去奇点的可去奇点.1) 定义定义4其和函数其和函数为在为在解析的函数解析的函数.说明说明: (1)(2) 无论无论在在是否有定义是否有定义, 补充定义补充定义则函数则函数在在解析解析.5 2) 可去奇点的判定可去奇点的判定(1) 由定义判断由定义判断:的洛朗级数无负的洛朗级数无负在在如果如果幂项则幂项则为为的可去奇点的可去奇点.(2) 判断极限判断极限若极限存在且为有限值若极限存在且为有限值,则则为为的可去奇点的可去奇点.6如果补充定义如果补充定义:时时,那末那末在在解析解析.例例3 中不含负幂项中不含负幂项,是是的可去奇点的可去奇点 . 7例例4 说明说明为为的可去奇点的可去奇点.解解 所以所以为为的可去奇点的可去奇点.无负幂项无负幂项另解另解 的可去奇点的可去奇点.为为82. 极点极点 其中关于其中关于的最高幂为的最高幂为即即级极点级极点.那末孤立奇点那末孤立奇点称为函数称为函数的的或写成或写成1) 定义定义 如果洛朗级数中只有有限多个如果洛朗级数中只有有限多个的的负幂项负幂项, 9说明说明:1.2.特点特点:(1)(2)的极点的极点 , 则则为函数为函数如果如果例例5 有理分式函数有理分式函数是二级极点是二级极点, 是一级极点是一级极点.102)极点的判定方法极点的判定方法的负幂项为有的负幂项为有的洛朗展开式中含有的洛朗展开式中含有限项限项.在点在点 的某去心邻域内的某去心邻域内其中其中 在在 的邻域内解析的邻域内解析, 且且 (1) 由定义判别由定义判别(2) 由定义的等价形式判别由定义的等价形式判别(3) 利用极限利用极限判断判断 .11课堂练习课堂练习求求的奇点的奇点, 如果是极点如果是极点, 指出它的指出它的级数级数.答案答案12本性奇点3.如果洛朗级数中如果洛朗级数中含有无穷多个含有无穷多个那末孤立奇点那末孤立奇点称为称为的本性奇点的本性奇点.的负幂项的负幂项,例如，例如，含有无穷多个含有无穷多个z的负幂项的负幂项 特点特点: 在本性奇点的邻域内在本性奇点的邻域内不存在且不不存在且不为为同时同时不存在不存在.13综上所述综上所述:孤立奇点孤立奇点可去奇点可去奇点m级极点级极点本性奇点本性奇点洛朗级数特点洛朗级数特点存在且为存在且为有限值有限值不存在不存在且不为且不为无负幂项无负幂项含无穷多个负幂项含无穷多个负幂项含有限个负幂项含有限个负幂项关于关于的最高幂的最高幂为为14二、函数的零点与极点的关系1.零点的定义零点的定义不恒等于零的解析函数不恒等于零的解析函数如果如果能表示成能表示成其中其中在在解析且解析且m为某一正整数为某一正整数, 那末那末称为称为的的 m 级零点级零点.例例6注意注意: : 不恒等于零的解析函数的零点是孤立的不恒等于零的解析函数的零点是孤立的.152.零点的判定零点的判定零点的充要条件是零点的充要条件是证证 (必要性必要性)由定义由定义:设设的泰勒展开式为的泰勒展开式为:如果如果在在解析解析, 那末那末为为的的级级如果如果为为的的级零点级零点16其中其中展开式的前展开式的前m项系数都为零项系数都为零 ,由泰勒级数的系数由泰勒级数的系数公式知公式知:并且并且充分性证明略充分性证明略 .17(1)由于由于知知是是的一级零点的一级零点 .课堂练习课堂练习是五级零点是五级零点,是二级零点是二级零点.知知是是的一级零点的一级零点.解解 (2)由于由于答案答案例例7 求以下函数的零点及级数求以下函数的零点及级数:(1)(2)的零点及级数的零点及级数 .求求183.零点与极点的关系零点与极点的关系定理定理如果如果是是的的 m 级极点级极点, 那末那末就是就是的的 m 级零点级零点. 反过来也成立反过来也成立.证证如果如果是是的的 m 级极点级极点, 则有则有当当 时时 ,函数函数在在解析且解析且19由于由于只要令只要令 那末那末的的 m 级零点级零点. 就是就是反之如果反之如果 的的 m 级零点级零点, 是是那末那末当当 时时,解析且解析且所以所以是是的的 m 级极点级极点.20说明说明 此定理为判断函数的极点提供了一个较为此定理为判断函数的极点提供了一个较为简便的方法简便的方法. .例例8 函数函数有些什么奇点有些什么奇点, 如果是极点如果是极点, 指出指出它的级它的级.解解 函数的奇点是使函数的奇点是使的点的点,这些奇点是这些奇点是是孤立奇点是孤立奇点.的一级极点的一级极点.即即21解解 解析且解析且所以所以不是二级极点不是二级极点, 而是一级极点而是一级极点.是是的几级极点的几级极点?思考思考例例9 问问是是的二级极点吗的二级极点吗?注意注意: 不能以函数的表面形式作出结论不能以函数的表面形式作出结论 .22三、函数在无穷远点的性态1. 定义定义 如果函数如果函数在无穷远点在无穷远点的去心的去心邻域邻域内解析内解析, 则称点则称点为为的孤的孤立奇点立奇点.Rxyo23令变换令变换规定此变换将规定此变换将:映射为映射为扩充扩充 z 平面平面扩充扩充 t 平面平面映射为映射为映射为映射为映射为映射为24结论结论: 在去心邻域在去心邻域内对函数内对函数的研究的研究在去心邻域在去心邻域内对函数内对函数的研究的研究因为因为 在去心邻域在去心邻域内是解析的内是解析的,所以所以是是的孤立奇点的孤立奇点.规定规定: m级奇点或本性奇点级奇点或本性奇点 .的可去奇点、的可去奇点、m级奇点或级奇点或本性奇点本性奇点,如果如果 t=0 是是是是的可去奇点、的可去奇点、 那末就称点那末就称点251)不含正幂项不含正幂项;2)含有有限多的正幂项且含有有限多的正幂项且为最高正幂为最高正幂;3)含有无穷多的正幂项含有无穷多的正幂项;那末那末是是的的 1)可去奇点可去奇点 ;2) m 级极点级极点;3)本性奇点本性奇点 .判别法判别法1 (利用洛朗级数的特点利用洛朗级数的特点)2.判别方法判别方法:在在内的洛朗级数中内的洛朗级数中:如果如果26例例10 (1)函数函数在圆环域在圆环域内的洛朗展开式为内的洛朗展开式为:不含正幂项不含正幂项所以所以是是的可去奇点的可去奇点 .(2)函数函数含有正幂项且含有正幂项且 z 为最高正为最高正幂项幂项,所以所以是是的的 m级极点级极点.27(3)函数函数的展开式的展开式:含有无穷多的正幂项含有无穷多的正幂项所以所以是是的本性奇点的本性奇点.课堂练习课堂练习的奇点及其的奇点及其类型类型.说出函数说出函数答案答案28判别法判别法2 : (利用极限特点利用极限特点)如果极限如果极限1)存在且为有限值存在且为有限值 ; 2)无穷大无穷大; 3)不存在且不为无穷大不存在且不为无穷大 ;那末那末是是的的1)可去奇点可去奇点 ;2)m级极点级极点 ;3)本性奇点本性奇点 .29例例11 函数函数在扩充复平面内在扩充复平面内有些什么类型的奇点有些什么类型的奇点? 如果是极点如果是极点, 指出它的级指出它的级.解解 函数函数除点除点外外, 所以这些点都是所以这些点都是的一级零点的一级零点,故这些点中除故这些点中除1, -1, 2外外, 都是都是的三级极点的三级极点.内解析内解析 .在在30所以所以那末那末是是的可去奇点的可去奇点. 因为因为31不是不是的孤立奇点的孤立奇点.所以所以32四、小结与思考 理解孤立奇点的概念及其分类理解孤立奇点的概念及其分类; 掌握可去奇掌握可去奇点、极点与本性奇点的特征点、极点与本性奇点的特征; 熟悉零点与极点的熟悉零点与极点的关系关系.33思考题思考题34思考题答案思考题答案放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出. .35