本讲整合答案：三维形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式乱序和顺序和向量形式三角不等式专题一专题二专题一:柯西不等式的应用1.柯西不等式的一般形式为 (a1b1+a2b2+anbn)2,其中ai,biR(i=1,2,n).该不等式的形式简洁、美观,对称性强,灵活地运用柯西不等式,可以使一些较为困难的不等式的证明问题迎刃而解,也可以用来解决最值问题.2.利用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组数,并向着柯西不等式的形式进行转化,运用时要注意体会拼凑和变形技巧.3.利用柯西不等式证明不等式,特别是求最值时要注意等号是否成立.专题一专题二专题一专题二变式训练1已知实数a,b,c满足a+2b+c=1,a2+b2+c2=1,求证c1.证明：因为a+2b+c=1,a2+b2+c2=1,所以a+2b=1-c,a2+b2=1-c2.由柯西不等式可得(12+22)(a2+b2)(a+2b)2,即5(1-c2)(1-c)2,专题一专题二例2设a,b,c为正实数,且a+2b+3c=13, 专题一专题二变式训练2求实数x,y的值,使(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2达到最小值.解：由柯西不等式,得(12+22+12)(y-1)2+(3-x-y)2+(2x+y-6)21(y-1)+2(3-x-y)+1(2x+y-6)2=1,专题一专题二专题二:排序不等式的应用1.在利用排序不等式证明相关不等式时,首先考虑构造出两个合适的有序数组,并能根据需要进行恰当地组合,这需要结合题目的已知条件及待证不等式的结构特点进行合理选择.2.根据排序不等式的特点,与多变量间的大小顺序有关的不等式问题,利用排序不等式解决往往有“化繁为简”的效果.3.利用排序不等式求最值时,也要关注等号成立的条件,不能忽略.专题一专题二例3设a,b,cR+,利用排序不等式证明:分析：假定a,b,c的大小关系,构造数组a5b5c5, 进行证明.专题一专题二例4设a1,a2,a3,a4,a5是互不相同的正整数, 分析：构造数组b1,b2,b3,b4,b5和1, 利用排序不等式求解.解：设b1,b2,b3,b4,b5是a1,a2,a3,a4,a5的一个排列,且b1b2b3b4b5.则b11,b22,b33,b44,b55.专题一专题二变式训练3设a1,a2,an为正数,且a1+a2+an=5, 5 1234考点:柯西不等式的应用1.(2014陕西高考)设a,b,m,nR,且a2+b2=5,ma+nb=5,则 的最小值为.解析：由柯西不等式,得(a2+b2)(m2+n2)(am+bn)2,即5(m2+n2)25,m2+n25,当且仅当an=bm时,等号成立.12342.(2013湖南高考)已知a,b,cR,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为.解析：由柯西不等式,得(12+12+12)(a2+4b2+9c2)(a+2b+3c)2,即a2+4b2+9c212,当a=2b=3c=2时,等号成立,所以a2+4b2+9c2的最小值为12.答案：1212343.(2017江苏高考)已知a,b,c,d为实数,且a2+b2=4,c2+d2=16,证明:ac+bd8.证明：由柯西不等式可得:(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2).因为a2+b2=4,c2+d2=16,所以(ac+bd)264,因此ac+bd8.12344.(2015陕西高考)已知关于x的不等式|x+a|b的解集为x|2x4.(1)求实数a,b的值;