第四节8.4.1 重积分在几何上的应用重积分在几何上的应用 重积分的应用 第八章 8.4.2 重积分在物理上的应用重积分在物理上的应用 1. 能用重积分解决的实际问题的特点能用重积分解决的实际问题的特点所求量是所求量是 对区域具有可加性对区域具有可加性 从定积分定义出发从定积分定义出发 建立积分式建立积分式 用微元分析法用微元分析法 (元素法元素法) 分布在有界闭域上的整体量分布在有界闭域上的整体量 3. 解题要点解题要点 画画出积分域、选择坐标系、确定积分序、出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出定出积分限、计算要简便积分限、计算要简便 2. 用重积分解决问题的方法用重积分解决问题的方法 上页 下页8.4.1 重积分在几何上的应用重积分在几何上的应用 一、平面图形的面积一、平面图形的面积上页 下页例例1 1 求曲线求曲线 所围图形的面积所围图形的面积. .解解 曲线为一双纽线曲线为一双纽线, ,图形关于极轴和极点都对称图形关于极轴和极点都对称. . D因此曲线所围成图形的面积因此曲线所围成图形的面积 二、立体体积二、立体体积 曲顶柱体曲顶柱体的顶为连续曲面的顶为连续曲面则其体积为则其体积为 占有占有空间有界域空间有界域 的立体的体积为的立体的体积为上页 下页被圆柱面被圆柱面所截得的所截得的(含在柱面内的含在柱面内的)立体的体积立体的体积. 上页 下页例例2.2. 求球体求球体上页 下页解解: 由对称性可知由对称性可知0 0DD例例2. 求半径为求半径为a 的球面与半顶角为的球面与半顶角为 的的内接内接 锥面所围成的立体锥面所围成的立体(含在锥面内含在锥面内)的体积的体积. 解解:如图如图,在球面坐标系下立体所占在球面坐标系下立体所占则立体体积为则立体体积为上页 下页区域为区域为例例4. 用三重积分计算由曲面用三重积分计算由曲面及及所围成的立体的体积所围成的立体的体积. 上页 下页上页 下页解解 利用柱面坐标计算利用柱面坐标计算 三、空间曲面的面积三、空间曲面的面积设光滑曲面设光滑曲面则面积则面积 A 可看成曲面上各点可看成曲面上各点处小切平面的面积处小切平面的面积 d A 无限积累而成无限积累而成. 设它在设它在 D 上的投影为上的投影为 d , 上页 下页dS(称为面积元素称为面积元素)则则故有曲面面积公式故有曲面面积公式即即上页 下页若光滑曲面方程为若光滑曲面方程为则有则有上页 下页若光滑曲面方程为若光滑曲面方程为 则有则有解解 由对称性由对称性, ,其面积为它在第一卦限部分面积其面积为它在第一卦限部分面积的的8 8倍倍. . 它在它在 面上的投影区域为面上的投影区域为由由 在第一卦限在第一卦限, ,球面方程为球面方程为得得 上页 下页例例5. 计算半径为计算半径为 a 的球的表面积的球的表面积.因此因此于是整个球面面积为于是整个球面面积为 上页 下页注：上述二重积分是一个广义二重积分！注：上述二重积分是一个广义二重积分！解解:设球面方程为设球面方程为 则球面面积元素为则球面面积元素为方法方法2 利用球面的球面坐标方程利用球面的球面坐标方程.上页 下页刚才是利用球面的直角坐标方程解决的刚才是利用球面的直角坐标方程解决的,还可直接用还可直接用元素法元素法. 例例6. 计算双曲抛物面计算双曲抛物面被柱面被柱面所截所截解解: 曲面在曲面在 xoy 面上投影为面上投影为则则出的面积出的面积 A .上页 下页上页 下页练习练习 求锥面求锥面 被柱面被柱面 割下部分的割下部分的 曲面面积曲面面积. . 解解 先求割下部分在先求割下部分在 平面上的投影区域平面上的投影区域. . 故投影区域为故投影区域为 由由一一 物体的质心物体的质心设空间有设空间有n个质点个质点,其质量分别其质量分别由力学知由力学知, 该质点系的质心坐标该质点系的质心坐标设物体占有空间域设物体占有空间域 , 有连续密度函数有连续密度函数则则 公式公式 , 分别位于分别位于为为 为为即即: 采用采用 “大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 取极限取极限” 可导出其质心可导出其质心 上页 下页8.4.2 重积分在物理上的应用重积分在物理上的应用 将将 分成分成 n 小块小块,将第将第 k 块看作质量集中于点块看作质量集中于点例如例如,令各小区域的最大直径令各小区域的最大直径系的质心坐标就近似该物体的质心坐标系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点的质点,即得即得此此质点质点在第在第 k 块上任取一点块上任取一点上页 下页同理可得同理可得则得则得形心坐标形心坐标：上页 下页若物体为占有若物体为占有xoy 面面上区域上区域 D 的平面薄片的平面薄片,(A 为为 D 的面积的面积)得得D 的的形心坐标形心坐标:则它的质心坐标为则它的质心坐标为其面密度其面密度 对对 x 轴的轴的 静矩静矩 对对 y 轴的轴的 静矩静矩上页 下页上页 下页解解 记所考虑的球体为记所考虑的球体为 , , 以以 的球心为原点的球心为原点 射线射线 为为 轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系, ,球面的方程为球面的方程为 设设 的重心位置为的重心位置为 由对称性由对称性, ,得得 例例7 7 设有一半径为设有一半径为 的球体，的球体， 是此球表面是此球表面上的一上的一 平方成正比（比例常数平方成正比（比例常数 ）, ,求球体的求球体的 重心位置重心位置. . 定点，球体上任意一个点的密度与该点到定点，球体上任意一个点的密度与该点到 的距离的的距离的的坐标为的坐标为 则点则点 上页 下页而而 故故上页 下页例例8. 求位于两圆求位于两圆和和的质心的质心. 解解: 利用对称性可知利用对称性可知而而之间均匀薄片之间均匀薄片上页 下页二二 物体的转动惯量物体的转动惯量设物体占有空间区域设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数有连续分布的密度函数该物体位于该物体位于(x , y , z) 处的处的微元微元 因此物体因此物体 对对 z 轴轴 的转动惯量为的转动惯量为:对对 z 轴的转动惯量为轴的转动惯量为 因因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故故 连续体的转动惯量可用积分计算连续体的转动惯量可用积分计算. 上页 下页类似可得类似可得:对对 x 轴的转动惯量为轴的转动惯量为 对对 y 轴的转动惯量为轴的转动惯量为 对原点的转动惯量为对原点的转动惯量为 上页 下页如果物体是平面薄片如果物体是平面薄片,面面密度为密度为则转动惯量的表达式是二重积分则转动惯量的表达式是二重积分.上页 下页例例9 9 求半经为求半经为 , ,高为高为 的均匀圆锥体对中心轴的均匀圆锥体对中心轴的转动惯量的转动惯量. . 直角坐标系直角坐标系, ,圆锥体的方程为圆锥体的方程为 解解 以圆锥的顶点为原点以圆锥的顶点为原点, ,中心轴为中心轴为 轴轴, ,建立空间建立空间设密度为设密度为 , ,用柱面坐标用柱面坐标, ,锥面方程为锥面方程为 , ,则则 上页 下页例例1010. .求半径为求半径为a 的均匀半圆薄片对其直径的均匀半圆薄片对其直径的转动惯量的转动惯量. . 解解: 建立坐标系如图建立坐标系如图,半圆薄片的质量半圆薄片的质量上页 下页作业作业P209 2，4 , 6， 8，9 上页 下页( t 为时间为时间) 的雪堆在融化过程中的雪堆在融化过程中,其其侧面满足方程侧面满足方程设长度单位为厘米设长度单位为厘米, 时间单位为小时时间单位为小时, 设有一高度为设有一高度为已知体积减少的速率与侧面积成正比已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数比例系数 0.9 ), 问高度为问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要的雪堆全部融化需要 多少小时多少小时? (2001考研考研)备用题备用题上页 下页提示提示:记雪堆体积为记雪堆体积为 V, 侧面积为侧面积为 S ,则则(用用极坐标极坐标) 上页 下页由题意知由题意知令令得得(小时小时)因此高度为因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间为的雪堆全部融化所需的时间为100小时小时.上页 下页任一点的切平面与曲面任一点的切平面与曲面所围立体的体积所围立体的体积 V . 解解: 曲面曲面的切平面方程为的切平面方程为它与曲面它与曲面的交线在的交线在 xoy 面上的投影为面上的投影为(记所围域为记所围域为D )在点在点1. 求曲面求曲面上页 下页