人教版数学教材八年级上11.311.3多边形多边形1三角形的定义：三角形的定义：在同一平面内，由不在同一在同一平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连条直线上的三条线段首尾顺次连接而成的图形。接而成的图形。探究探究12 在同一平面内，由不在同在同一平面内，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺一条直线上的一些线段首尾顺次相接组成的图形次相接组成的图形叫做多边形。叫做多边形。多边形的定义多边形的定义五边形五边形六边形六边形七边形七边形3 多边形按组成它的线段条数多边形按组成它的线段条数分成三角形、四边形、五边形分成三角形、四边形、五边形其中三角形是最简单的多边其中三角形是最简单的多边形。形。如果一个多边形由如果一个多边形由n n条线段组条线段组成，那么这个多边形就叫做成，那么这个多边形就叫做n n边边形。形。4内角内角对角线对角线对角线：连接多边形对角线：连接多边形不相邻不相邻的两个顶点的线段。的两个顶点的线段。可表示为：五边形可表示为：五边形ABCDE或五边形或五边形AEDCBABCDE外角外角1多多边边形形的的相相关关概概念念顶点顶点边边5 5n边形有边形有_个顶点，个顶点， _条边，条边， _个内角，个内角， _个外角，个外角， _条对角线。条对角线。总结总结1nnn2n6 连结多边形连结多边形不相邻不相邻的两个顶点的线段，的两个顶点的线段，叫做叫做多边形的对角线多边形的对角线。三角形三角形三角形三角形六边形六边形六边形六边形四边形四边形四边形四边形八边形八边形八边形八边形.五边形五边形五边形五边形 请说出下列图形从某一顶点出发的对角线的条数：请说出下列图形从某一顶点出发的对角线的条数：多边形的对角线多边形的对角线7从同一顶点引出的对角线的条数从同一顶点引出的对角线的条数：123n3分割出的三角形的个数：分割出的三角形的个数：234n201n边形边形三角形三角形四边形四边形五边形五边形六边形六边形探究探究n边形边形三角形三角形四边形四边形五边形五边形六边形六边形8 n n边形从一个顶点出发的对角线条边形从一个顶点出发的对角线条数为数为： 条条(n3)(n3)n n边形共有对角线边形共有对角线 条条(n3)(n3)总结总结2(n3)9（1）（2）ABCDEFGH你能说出这两幅图形的异同点吗？你能说出这两幅图形的异同点吗？10多边形的分类多边形的分类 如图，画出四边形如图，画出四边形ABCDABCD的任何一条边的任何一条边所在直线，整个四边形都在这条直线的同所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做一侧，这样的四边形叫做凸四边形凸四边形。ABCD11ABDC 四边形四边形ABCDABCD是是凹四边形，因为画凹四边形，因为画出边出边CDCD（或（或BCBC）所）所在直线，整个四边在直线，整个四边形不都在这条直线形不都在这条直线的同一侧。的同一侧。12正多边形正多边形 正方形的正方形的各个角都相等各个角都相等，各条各条边都相等边都相等。像正方形这样，像正方形这样，各个角都相等，各各个角都相等，各条边都相等的多边形条边都相等的多边形叫做叫做正多边形正多边形.例如：例如：正三角形正三角形正方形正方形正五边形正五边形正六边形正六边形131 1、填空：如图，此多边形应记作、填空：如图，此多边形应记作 边形边形 ，ABAB边的邻边是边的邻边是 、 ，顶点，顶点E E处的内角为处的内角为 ，过，过顶点顶点A A画出这个多边形的对角线，共有画出这个多边形的对角线，共有 条，它们条，它们把多边形分成把多边形分成 个三角形。个三角形。2 2、n n边形有边形有 个顶点，个顶点， 条边，有条边，有 个角，个角，有有 个不同顶点的外角个不同顶点的外角3 3、四边形有、四边形有 条对角线。五边形有条对角线。五边形有 条条对角线。对角线。4 4、四边形的一条对角线将它分成、四边形的一条对角线将它分成 个三角形个三角形5 5、从六边形的一个顶点出发可以画、从六边形的一个顶点出发可以画 条对角线，它条对角线，它们将六边形分成们将六边形分成 个三角形个三角形6 6、正多边形的、正多边形的 相等相等, , 相等相等7 7、多边形分为、多边形分为 和和 两类两类五五ABCDEAEBCAED23nnnn252边凸多边形凹多边形角14布局精巧玄妙，从高空俯视，全村呈八卦形，房屋、街巷布局精巧玄妙，从高空俯视，全村呈八卦形，房屋、街巷的分布走向恰好与历史上写的诸葛亮九宫八卦阵暗合。的分布走向恰好与历史上写的诸葛亮九宫八卦阵暗合。想一想想一想浙江金华兰溪诸葛八卦村浙江金华兰溪诸葛八卦村你能算出八卦图的内角和吗？你能算出八卦图的内角和吗？15你能算它的内角和吗？你能算它的内角和吗？16它们的内角和该怎么计算呢？它们的内角和该怎么计算呢？其他多边形的内角和呢？其他多边形的内角和呢？想一想想一想17你知道长方形和正方形的内角和是多少？其它四边形的内角和是多少？你还记得三角形内角和是多少度？（三角形内角和180）（都是360）18ABCD四边形内角和四边形内角和19那么如何求此五边形的内角和呢那么如何求此五边形的内角和呢? ?3 180 =5400 说说你的说说你的 探索思路？探索思路？20ABCDE 三角形三角形 四边形四边形 五边形五边形 1800 2 180= 36003 180 =5400 探索过程一掠探索过程一掠: :ACBABCD21六边形六边形 七边形七边形4 180 =7200 5 180 =9000那么六边形、七边形的内角和呢？22内角和内角和三角形个数三角形个数从一个顶点引出从一个顶点引出对角线数对角线数边数边数56233180=540 .344180=720 (n-2)180 n n-3 n-2 75180=9004523综上所述，设多边形的边数为综上所述，设多边形的边数为n，则则 n边形的内角和等于边形的内角和等于 （n一一2）18024PABCD图1如图如图1，在四边形内任取一点，在四边形内任取一点P,连接连接PA、PB、PC、PD将四边将四边形变成有一个公共顶点的四个形变成有一个公共顶点的四个三角形，四边形内角和等于三角形，四边形内角和等于1804 360= 360PABDC图2如图如图2，在四边形的一边上任取一点，在四边形的一边上任取一点P,连接连接PB、PC，将四边形变成有一个公，将四边形变成有一个公共顶点的三个三角形，四边形内角和共顶点的三个三角形，四边形内角和等于等于180 3 180 = 360PABCD图3如图如图3，在四边形外任取一点，在四边形外任取一点P,连接连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形，四边形内角和共顶点的四个三角形，四边形内角和等于等于180 3 180 = 360百家争鸣百家争鸣其他方法其他方法其其他他方方案案25我们也可以利用以上不同的方法分我们也可以利用以上不同的方法分割多边形，得到割多边形，得到n边形的内角和公式边形的内角和公式ppp照猫画虎照猫画虎26n边形内角和等于最终结论最终结论（n2）180272、已知一个多边形每个内角都等、已知一个多边形每个内角都等108 ，求，求这个多边形的边数？这个多边形的边数？解：设这个多边形的边数为n，根据题意得：(n2)180=108n解得：n=5答：这个多边形是五边形五边形。1、八边形的内角和等于多少度？、八边形的内角和等于多少度？ 十边形呢？十边形呢？（82)180=1080(102)180=1440抢抢 答答28那么正五边形、正六边形、正八边形、那么正五边形、正六边形、正八边形、正正n边形的每个内角分别是多少度呢？边形的每个内角分别是多少度呢？ 正正n边形边形（5-2）180 5 =108（6-2）180 6 =120（8-2）180 8 =135（n-2）180 nNow I can 29解：如图四边形解：如图四边形ABCD中，中，ABCD例例1、如果一个四边形的一组对角互补，、如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？那么另一组对角有什么关系？这就是说，如果这就是说，如果四边形的一组对角互补，四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补。那么另一组对角也互补。典型例题典型例题30（2）他每跑完一圈，身体转过的角）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？度之和是多少？（3）在上图中，你能求出）在上图中，你能求出 1+ 2+ 3+ 4+ 5=吗？你是怎样得到的吗？你是怎样得到的？（1）小明每从一条）小明每从一条街道转到下一条街街道转到下一条街道时，身体转过的道时，身体转过的角是角是 哪哪 个个 角？角？ 清晨，小明沿一个清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路，五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步。按逆时针方向跑步。31DACEBOABCDE12345结论： 1， 2， 3， 4， 5的和等于的和等于3632多边形多边形 内角的内角的一边与另一边的反一边与另一边的反向延长线向延长线所组成的角叫做这个多边所组成的角叫做这个多边形的外角。形的外角。在每个顶点处取在每个顶点处取这个多边形的一个这个多边形的一个外角外角，它们的和它们的和叫做这个多边形的叫做这个多边形的外角和。外角和。多边形的外角和等于多边形的外角和等于36如果广场的形状是六边形、八如果广场的形状是六边形、八边形，那么还有类似的结论吗边形，那么还有类似的结论吗？多边形的外角和多边形的外角和33A3A8AnA1A2A7A5A6A4各抒己见各抒己见多边形的外角和等于多边形的外角和等于36多边形多边形 外角与内角有何关外角与内角有何关系？还有其他方法可以推系？还有其他方法可以推导出多边形外角和？导出多边形外角和？ 多边形的任何一个内角加上与它相邻的多边形的任何一个内角加上与它相邻的内角都等于内角都等于180（平角），（平角），n个外角连同它个外角连同它们的各自相邻的内角，共有们的各自相邻的内角，共有n个个180，总和，总和为为n 180 ，再用它减去，再用它减去n个内角的和，剩个内角的和，剩下的就是多边形的外角和了！下的就是多边形的外角和了！34 例例1. 已知一个多边形，它的内角和已知一个多边形，它的内角和 等于外等于外角和的角和的2倍，求这个多边形的边数。倍，求这个多边形的边数。 解：解： 设多边形的边数为设多边形的边数为n 它的内角和等于它的内角和等于 (n-2)180， 多边形外角和等于多边形外角和等于360， (n-2)180=2 360。 解得解得: n=6 这个多边形的边数为这个多边形的边数为6。35 例例2. 一个多边形当边数增加一个多边形当边数增加1时，它的内角和增加时，它的内角和增加 多少度？多少度？ 解：解： 设多边形的边数为设多边形的边数为n，它的内角和等于它的内角和等于 (n-2)180，当边数增加当边数增加1时，内角和为时，内角和为(n+1-2)180， (n+1-2)180- (n-2)180 =n180-180-n180+360 = 180内角和增加内角和增加180外角和呢？外角和呢？边数增加边数增加2或或3呢？呢？36解解;设五边形中前四个角的度数分别是设五边形中前四个角的度数分别是x,2x,3x,4x,则第五个角度数是则第五个角度数是x+ 100 .X+2x+3x+4x+x+ 100 = （52）18011X +100 = 54011X = 440X = 40则这个五边形的内角分别为则这个五边形的内角分别为40, 80, 120, 160, 140.例例3. 五边形中五边形中,前四个角的比是前四个角的比是1:2:3:4,第五个角比第五个角比最小角多最小角多100 ,则这个五边形的内角分别为则这个五边形的内角分别为_371.正五边形正五边形 的每一个外角等于的每一个外角等于_.每一个内角等于每一个内角等于_,721442.如果一个正多边形的一个内角等于如果一个正多边形的一个内角等于120,则这个多则这个多边边 形的边形的边 数是数是_63.如果一个多边形的每一个外角等于如果一个多边形的每一个外角等于30,则这个多边则这个多边形的边数是形的边数是_12随堂练习随堂练习38今天的收获今天的收获 3、n边形的内角和等于：边形的内角和等于：（n2）180 2、n边形从一个顶点所画对角线的条边形从一个顶点所画对角线的条数为：数为：n3 4、利用类比归纳、转化的学习方法，可、利用类比归纳、转化的学习方法，可以把多边形问题转化为三角形问题来解决以把多边形问题转化为三角形问题来解决; 5、方程的数学思想在几何中有重要的作用。、方程的数学思想在几何中有重要的作用。 1、 由由n条不在同一直线上的线段首尾顺条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为次连结组成的平面图形称为n边形，又称为边形，又称为多边形。多边形。 39课后思考1、一天小明爸爸给小明出了一道智力题考、一天小明爸爸给小明出了一道智力题考考他。将一个多边形截去一个角后考他。将一个多边形截去一个角后(没有过没有过顶点）得到多边形的内角和将会（顶点）得到多边形的内角和将会（ ） A、不变、不变 B、增加、增加 180 C、减少、减少 180 D、无法确定、无法确定401.如果把多边形的边数增加如果把多边形的边数增加1条，它的条，它的内角和是内角和是2160，那么这个多边形，那么这个多边形的边数是的边数是 。2.一个多边形除了一个内角外，其余各角的一个多边形除了一个内角外，其余各角的和为和为600，那么除去的这个角的度数是，那么除去的这个角的度数是 ， 这个多边形是这个多边形是 边形。边形。13120六411.已知四边形已知四边形ABCD中中,A与与C互补互补.如果如果B=80,则则D的度数是的度数是 .2.某四边形四个内角的度数之比为某四边形四个内角的度数之比为1:2:3:3,这这四个内角的度数分别是四个内角的度数分别是 . 3.在四边形在四边形ABCD中中,已知已知A=85 C =115 B比比D大大20,则则B的度数是的度数是 ，D的度数是的度数是 . 交一份满意的答卷！10040 , 80 , 120 , 120 9070 42练一练练一练: 已知在四边形已知在四边形ABCD中中, A= 90 C= 90,BE平分平分ABC,交交CD于点于点E,DF平平分分ADC,交交AB于点于点F.求证求证:BEDF.ABCDEF434.若一个若一个n边形的内角都相等，且内角的度数边形的内角都相等，且内角的度数与和它相邻的外角的度数比为与和它相邻的外角的度数比为3 1，那么，这，那么，这个多边形的边数为个多边形的边数为_.5.若一个十边形的每个外角都相等，则它的若一个十边形的每个外角都相等，则它的每个外角的度数为每个外角的度数为_，每个内角的度数，每个内角的度数为为_.6.若一个凸多边形的内角和等于它的外角和，若一个凸多边形的内角和等于它的外角和，则它则它 的边数是的边数是_.7.如果一个多边形的每一个外角都相等，并如果一个多边形的每一个外角都相等，并且它的内角和为且它的内角和为2880，那么它的内角为，那么它的内角为_.44练习练习1、 若多若多边形的外角和与内角和之比形的外角和与内角和之比为2 9，求，求这个多个多边形的形的边数及内角和数及内角和。2 、一个多一个多边形中的各内角相等，且每个内角形中的各内角相等，且每个内角与外角之差的与外角之差的绝对值为60，求此多，求此多边形的形的边数数。3、 已知多已知多边形的一个内角的外角与其它形的一个内角的外角与其它各内角的度数各内角的度数总和和为600，求，求边数数4 、如果多如果多边形的每个内角都比它相形的每个内角都比它相邻的的外角的外角的4倍倍还多多30，求，求这个多个多边形的内角形的内角和及和及对角角线的的总条数条数45 练习：2.已知一个多边形的每一个外角都等于36，这个多边形是几边形？它的每一个内角是多少度？3.六角螺母的一个面是六边形的，这个六边形的六个内角相等。求每一个内角的度数。46计算算1. 已知一个多已知一个多边形内角和是外形内角和是外角和的角和的2倍，求倍，求边数数2. 已知多已知多边形每个内角都等于形每个内角都等于150，求内角和，求内角和3. 一个多一个多边形除了一个内角形除了一个内角为130外，其余各内角的和外，其余各内角的和为2030，求多求多边形的形的边数数4. 已知五已知五边形五个内角的比形五个内角的比为1 1.5 2 2.5 3，求，求这个五个五边形的五形的五个外角个外角478.已知多边形的内角和与某一个外角已知多边形的内角和与某一个外角的度数总和为的度数总和为1350，求多边形的边，求多边形的边数数.48求下列图形中求下列图形中x的值：的值：(1)(2)(3)CABDE(4)ABCD随堂练习随堂练习49思考一：一个三角形中，它的内角最多可以有几个锐角思考一：一个三角形中，它的内角最多可以有几个锐角？ 为什么？为什么？思考二：一个四边形中，它的内角最多可以有几个锐角思考二：一个四边形中，它的内角最多可以有几个锐角？ 为什么？为什么？思考三：一个多边形中，它的内角最多可以有几个锐角思考三：一个多边形中，它的内角最多可以有几个锐角？为什么？为什么？一个多边形中，它的外角最多可以有几个钝角？一个多边形中，它的外角最多可以有几个钝角？350