函数的微分函数的微分 前面我们从变化率问题引出了导数概念，它是前面我们从变化率问题引出了导数概念，它是微分学的一个重要概念。在工程技术中，还会遇到微分学的一个重要概念。在工程技术中，还会遇到与导数密切相关的另一类问题，这就是当自变量有与导数密切相关的另一类问题，这就是当自变量有一个微小的增量时，要求计算函数的相应的增量。一个微小的增量时，要求计算函数的相应的增量。一般来说，计算函数增量的准确值是比较繁难的，一般来说，计算函数增量的准确值是比较繁难的，所以需要考虑用简便的计算方法来计算它的近似值。所以需要考虑用简便的计算方法来计算它的近似值。由此引出了微分学的另一个基本概念由此引出了微分学的另一个基本概念微分。微分。一、问题的提出一、问题的提出实例实例: :正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.再例如再例如,既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值问题问题: :这个线性函数这个线性函数(改变量的主要部分改变量的主要部分)是否是否所有函数的改变量都有所有函数的改变量都有?它是什么它是什么?如何求如何求?二、微分的定义二、微分的定义定义定义( (微分的实质微分的实质) )由定义知由定义知: :三、可微的条件三、可微的条件定理定理这表明这表明不仅是比不仅是比高阶的无穷小，而且也是比高阶的无穷小，而且也是比高阶的无穷小，因此高阶的无穷小，因此四、微分的几何意义四、微分的几何意义几何意义几何意义:(:(如图如图) )MT） P N五、微分的求法五、微分的求法求法求法: : 计算函数的导数计算函数的导数, 乘以自变量的微分乘以自变量的微分.2. 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则例例1 1解解例例2 2解解六、微分形式的不变性六、微分形式的不变性结论结论：微分形式的不变性微分形式的不变性例例3 3解解例例4 4解解例例5解一解一 两边同时求微分得两边同时求微分得解二解二两边取对数得两边取对数得两边对两边对 x 求导，有求导，有由上面的例子还可以看出，求导数与求微分的方法由上面的例子还可以看出，求导数与求微分的方法在本质上并没有区别，因此把两者统称为在本质上并没有区别，因此把两者统称为微分法微分法七、微分在近似计算中的应用七、微分在近似计算中的应用证明证明八、小结八、小结微分学所要解决的两类问题微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的变化率问题导数的概念导数的概念函数的增量问题函数的增量问题微分的概念微分的概念求导数与微分的方法求导数与微分的方法,叫做叫做微分法微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做叫做微分学微分学.导数与微分的联系导数与微分的联系:导数与微分的区别导数与微分的区别:近似计算的基本公式近似计算的基本公式思考题思考题思考题解答思考题解答说法不对说法不对. 从概念上讲，微分是从求函数增量引从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念的极限，它们是完全不同的概念. 习题25（P91P93）：1，2（2），（4），（6），4，5（2），（4），（6），（7）；6（1）；7；8（1），9（1）；10（2），（4）