第五章 控制系统的时间响应控制系统的分析方法分析控制系统第一步第一步 建立模型建立模型第二步第二步 分析控制性能分析控制性能，分析方法包括时域分析法频域分析法根轨迹法线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法引言一阶系统时域分析二阶系统时域分析高阶系统的时域分析线性系统的稳定性分析线性系统的稳态误差计算 引言分析控制系统的第一步是建立模型第一步是建立模型，数学模型一旦建立，第二步第二步 分析控制性能分析控制性能，分析有多种方法，主要有时域分析法，频域分析法，根轨迹法等。每种方法，各有千秋。均有他们的适用范围和对象。本章讨论时域法。本章讨论时域法。实际上，控制系统的输入信号常常是不知的，而是随机的。很难用解析的方法表示。只有在一些特殊的情况下是预先知道的，可以用解析的方法或者曲线表示。在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能得有评判、比较的依据。这个依据也许可以通过对这些系统加上各种输入信号，比较它们对特定的输入信号的响应来建立。许多设计准则就建立在这些信号的基础上，或者建立在系统对初始条件变化（无任何试验信号）的基础上，因为系统对典型试验信号的响应特性，与系统对实际输入信号的响应特性之间，存在着一定的关系；所以采用试验信号来评价系统性能是合理的。典型试验信号 Typical test signals(1) 实际系统的输入信号不可知性(2) 典型试验信号的响应与系统的实际响应，存在某种关系(3) 电压试验信号是时间的简单函数，便于分析。突然受到恒定输入作用或突然的扰动。如果控制系统的输入量是随时间逐步变化的函数，则斜坡时间函数是比较合适的。（单位）阶跃函数（Step function） 室温调节系统和水位调节系统 （单位）斜坡函数（Ramp function） 速度 （单位）加速度函数（Acceleration function）抛物线 （单位）脉冲函数（Impulse function） 正弦函数（Simusoidal function）Asinut ，当输入作用具有周期性变化时。通常运用阶跃函数作为典型输入作用信号，这样可在一个统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。动态过程和稳态过程 瞬时响应和稳态响应 Transient Response & Steady_state Response在典型输入信号作用下，任何一个控制系统的时间响应。1 瞬态响应 指系统从初始状态到最终状态的响应过程。由于实际控制系统具有惯性、摩擦、阻尼等原因。2 稳态响应 是指当t趋近于无穷大时，系统的输出状态，表征系统输入量最终复现输入量的程度。绝对稳定性，相对稳定性和稳态误差Absolute Stability , Relative Stability ,Steady_state Error图 - 稳定性分析示意图在设计控制系统时，我们能够根据元件的性能，估算出系统的动态特性。控制系统动态特性中，最重要的是绝对稳定性，即系统是稳定的，还是不稳定的。如果控制系统没有受到任何扰动，或输入信号的作用，系统的输出量保持在某一状态上，控制系统便处于平衡状态。如果线性定常控制系统受到扰动量的作用后，输出量最终又返回到它的平衡状态，那么，这种系统是稳定的。如果线性定常控制系统受到扰动量作用后，输出量显现为持续的振荡过程或输出量无限制的偏离其平衡状态，那么系统便是不稳定的。系统不稳定产生的后果实际上，物理系统输出量只能增加到一定的范围，此后或者受到机械止动装置的限制，或者使系统遭到破坏，也可能当输出量超过一定数值后，系统变成非线性的，而使线性微分方程不再适用。稳态误差：如果在稳态时，系统的输出量与输入量不能完全吻合，就认为系统有稳态误差。这个误差表示系统的准确度。稳态特性： 稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。相对稳定性：因为物理控制系统包含有一些贮能元件，所以当输入量作用于系统时，系统的输出量不能立即跟随输入量的变化，而是在系统达到稳态之前，表现为瞬态响应过程。对于实际控制系统，在达到稳态以前，它的瞬态响应，常常表现为阻尼振荡过程。称动态过程。在分析控制系统时，我们既要研究系统的瞬态响应，如达到新的稳定状态所需的时间，同时也要研究系统的稳态特性，以确定对输入信号跟踪的误差大小。动态性能指标：在许多实际情况中，控制系统所需要的性能指标，常以时域量值的形式给出。通常，控制系统的性能指标，系统在初使条件为零（静止状态，输出量和输入量的各阶导数为0），对（单位）阶跃输入信号的瞬态响应。实际控制系统的瞬态响应，在达到稳态以前，常常表现为阻尼振荡过程，为了说明控制系统对单位阶跃输入信号的瞬态响应特性，通常采用下列一些性能指标。 一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统。图（a）所示的RC电路，其微分方程为 其中C(t)为电路输出电压，r(t)为电路输入电压，T=RC为时间常数。当初使条件为零时，其传递函数为 这种系统实际上是一个非周期性的惯性环节。 下面分别就不同的典型输入信号，分析该系统的时域响应。一阶系统的单位阶跃响应Unit-Step Response of First-order System 因为单位阶跃函数的拉氏变换为，则系统的输出由下式可知为 对上式取拉氏反变换，得 响应曲线在时的斜率为如果系统输出响应的速度恒为则只要tT时，输出xo(t)就能达到其终值。 图一阶系统的单位脉冲响应一阶系统的单位脉冲响应Unit-impulse response of first-order systems当输入信号为理想单位脉冲函数时，Xi(s)1，输出量的拉氏变换与系统的传递函数相同，即 这时相同的输出称为脉冲响应记作g(t)，因为,其表达式为 0.368/Txi(t)从 0上升到1时，对应的输出信号在数值上要滞后于输入信号一个常量T，这就是稳态误差产生的原因。 一阶系统的单位斜坡响应一阶系统的单位斜坡响应Unit-ramp Response of first-order Systems当 对上式求拉氏反变换，得：因为所以一阶系统跟踪单位斜坡信号的稳态误差为上式表明：一阶系统能跟踪斜坡输入信号。稳态时，输入和输出信号的变化率完全相同 由于系统存在惯性，减少时间常数T不仅可以加快瞬态响应的速度，还可减少系统跟踪斜坡信号的稳态误差。 一阶系统的单位加速度响应一阶系统的单位加速度响应 上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。表 一阶系统对典型输入信号的响应输入信号时域输入信号频域输出响应传递函数11(t)t微分微分等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分；积分常数由零初始条件确定。传递函数 表示为如下标准形式： 自然频率（或无阻尼振荡频率）阻尼比（相对阻尼系数）二阶系统：凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统二二阶阶系系统统的的时时域域分分析析Transient-Response Analysis and Steady-State Error Analysis of Second-order Systems二阶系统的标准形式，相应的方块图如图所示S(S+2n)n2图 标准形式的二阶系统方块图_自然频率（或无阻尼振荡频率）阻尼比（相对阻尼系数）二阶系统的动态特性，可以用和加以描述二阶系统的特征方程。 Xi（S）Xo（s)图 二阶系统在不同值单位脉冲响应曲线 系统达到稳态过程之前的过程称为瞬态过程。瞬态分析是分析瞬态过程中输出响应的各种运动特性。理论上说，只有当时间趋于无穷大时，才进入稳态过程，但这在工程上显然是无法进行的。在工程上只讨论输入作用加入一段时间里的瞬态过程，在这段时间里，反映了主要的瞬态性能指标。对于稳定的系统，对于一个有界的输入，当时间趋于无穷大时，微分方程的全解将趋于一个稳态的函数，使系统达到一个新的平衡状态。工程上称为进入稳态过程。 如某系统的单位阶跃响应曲线如图所示：vv动态性能动态性能动态性能动态性能 1. 延迟时间延迟时间td：响应：响应曲线第一次达到其终值曲线第一次达到其终值一半所需时间。一半所需时间。2. 上升时间上升时间tr：响应：响应从终值从终值10%上升到终值上升到终值90%所需时间；对有振荡系统亦可定义为响应从零第一次上升所需时间；对有振荡系统亦可定义为响应从零第一次上升到终值所需时间。上升时间是响应速度的度量。到终值所需时间。上升时间是响应速度的度量。3. 峰值时间峰值时间tp：响应超过其终值到达第一个峰值所需时间。：响应超过其终值到达第一个峰值所需时间。 4. 调节时间调节时间ts：响应到达并保持在终值内所需时间。：响应到达并保持在终值内所需时间。 5. 超调量超调量 %：响应的最大偏离量：响应的最大偏离量h(tp)与终值与终值h()之差的百之差的百分比，即分比，即q二阶系统阶跃响应性能指标二阶系统阶跃响应性能指标 p tr0.5 y(t)td tp01 tst稳态误差稳态误差3.10v稳态性能：稳态性能：由由稳态误差稳态误差ess描述。描述。五、瞬态过程的性能指标 通常以阶跃响应来衡量系统控制性能的优劣和定义瞬态过程的时域性能指标。稳定的随动系统（不计扰动）的单位阶跃响应函数有衰减振荡和单调变化两种。（一）衰减振荡：具有衰减振荡的瞬态过程如图所示： 延迟时间 ：输出响应第一次达到稳态值的50%所需的时间。 最大超调量（简称超调量） ：式中： -输出响应的最大值； -稳态值； 上升时间 ：输出响应第一次达到稳态值y()所需的时间。或指由稳态值的10%上升到稳态值的90%所需的时间。输出响应超过稳态值达到第一个峰值ymax所需要的时间。 峰值时间 ： 调节时间或过渡过程时间 ：当 和 之间的误差达到规定的范围之内比如 或 ，且以后不再超出此范围的最小时间。即当 ，有： 振荡次数N：在上述几种性能指标中， 表示瞬态过程进行的快慢，是快速性指标；而 反映瞬态过程的振荡程度，是振荡性指标。其中 和 是两种最常用的性能指标。在调节时间内，y(t)偏离 的振荡次数。例7图示是由质量m、阻尼c、弹簧k组成的动力系统.Xi(t)Xo(t)mck求G(s)依动力平衡原理有 阻尼比阻尼比越小，超调量越大，平稳性越差，调节时间越小，超调量越大，平稳性越差，调节时间t ts s长；长； 过大时，系统响应迟钝，调节时间过大时，系统响应迟钝，调节时间t ts s也长，快速性差；也长，快速性差； =0.7=0.7，调节时间最短，快速性最好，而超调量，调节时间最短，快速性最好，而超调量 %5%5%，平稳性也好，故称，平稳性也好，故称=0.7=0.7为最佳阻尼比。为最佳阻尼比。2. 结构参数结构参数对单位阶跃响应性能的影响对单位阶跃响应性能的影响 欠阻尼二阶系统的一对包络欠阻尼二阶系统的一对包络线如右图：线如右图： c(t)t01包络线包络线（ =2%时）时）( =5%) 工程上通常用工程上通常用包络线代替实际曲线来估算。包络线代替实际曲线来估算。 q阻尼系数 是二阶系统的一个重要参数，用它可以间接地判断一个二阶系统的瞬态品质。在 的情况下瞬态特性为单调变化曲线，无超调和振荡，但 长。当 时，输出量作等幅振荡或发散振荡，系统不能稳定工作。q在欠阻尼 情况下工作时，若 过小，则超调量大，振荡次数多，调节时间长，瞬态控制品质差。注意到 只与 有关，所以一般根据 来选择 。 q 越大， （当 一定时）q为了限制超调量，并使 较小， 一般取0.40.8，则超调量在25%1.5%之间。运动员的选材问题如果是R-L-C系统呢？应该如何分析？重点内容1.二阶系统的标准形式及阻尼比和固有频率的计算；2.二阶系统单位阶跃的响应性能指标及计算。R(s)(- -)C(s) 化为标准形式化为标准形式 即有即有 2 n=1/Tm=5, n2=K/Tm=25解：解：系统闭环传递函数为系统闭环传递函数为 解得解得 n=5, =0.5 例例1 已知图中已知图中Tm=0.2，K=5，求系统单位阶跃响应指标。，求系统单位阶跃响应指标。解：当T不变时，T=0.25，例2：如图所示系统， 试求： 和 ; 和 若要求 时，当T不变时K=?R(s)(- -)C(s) 化为标准形式化为标准形式 即有即有 2 n=1/Tm=5, n2=K/Tm=25解：解：系统闭环传递函数为系统闭环传递函数为 解得解得 n=5, =0.5 例例4 已知图中已知图中Tm=0.2，K=5，求系统单位阶跃响应指标。，求系统单位阶跃响应指标。 设设单单位位反反馈馈的的二二阶阶系系统统的的单单位位阶阶跃跃响响应应曲曲线线如如图图所所示示，试确定其开环传递函数。试确定其开环传递函数。 例例5解解：图图示示为为一一欠欠阻阻尼尼二二阶阶系系统统的的单单位位阶阶跃跃响响应应曲曲线线。由由图图中中给给出出的的阶阶跃跃响响应应性性能能指指标标，先先确确定定二二阶阶系系统统参参数数，再再求求传传递函数。递函数。 0t(s)11.30.1h(t)