离散型随机变量期望和方差1离散型随机变量的均值和方差一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为则称 E(X)_为随机变量 X的均值或数学期望它反映了离散型随机变量取值的平均水平x1p1x2p2xipixnpnXx1x2xixnPp1p2pipn2均值和方差的性质设 a，b 是常数，随机变量 X，Y 满足 YaXb，则 E(Y)E(aXb)_，D(Y)D(aXb)_3两点分布、二项分布及超几何分布的均值和方差(1)若 X 服从两点分布，则 E(X)_，D(X)_(2)若 XB(n，p)，则 E(X)_，D(X)_aE(X)ba2D(X)np(1p)x1E(X)2p1x2E(X)2p2xnE(X)2pnp(1p)p np123P0.40.20.41已知随机变量的分布列是：B则 D()( )A0.6B0.8 C1D1.22已知随机变量B(n，p)，且 E()2.4，D()1.44，则n,p的值为( )An4，p0.6Cn8，p0.3Bn6，p0.4Dn24，p0.1BA.3已知 X 的分布列如下表，设 Y2X1，则 Y 的数学期望是()B162B.3C129D.36x123P(x)？！？4(2011 年上海)马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布律如下表请小牛同学计算的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同据此，小牛给出了正确答案 E()_.25.已知离散型随机变量 X 的分布列如下表若 E(X)0，D(X)1，则 a_，b_.51214日销售量(件)0123频数1595考点1离散型随机变量的均值和方差例1：(2011 年湖南改编)某商店试销某种商品20 天，获得如下数据：试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品 3 件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于 2 件，则当天进货补充至 3 件，否则不进货，将频率视为概率(1)求当天商品不进货的概率；(2)记 X 为第二天开始营业时该商品的件数，求 X 的分布列和数学期望及方差先求出离散型随机变量的分布列，然后再代入公式求其数学期望和方差标与否互不影响若A项技术指标达标的概率为，B项技术指标达标的概率为.按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合【互动探究】1(2011 年广东惠州调研)某工厂在试验阶段大量生产一种零件这种零件有 A、B 两项技术指标需要检测，设各项技术指标达3489格品(1)一个零件经过检测至少一项技术指标达标的概率；(2)任意依次抽取该种零件 4 个，设表示其中合格品的个数，求分布列及 E()，D()考点2均值与方差的应用例2：某校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从 6道备选题中一次性随机抽取 3 题，按照题目要求独立完成全部实验操作规定：至少正确完成其中 2 题的便可通过已知 6 道备选题中考生甲有 4 题能正确完成，2 题不能完成；考生乙每题正确23(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；(2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响. 求：从做对题数的数学期望考察，两人水平相当；从做对题数的方差考察，甲较稳定；从至少完成 2 题的概率考察，甲获得通过的可能性大因此可以判断甲的实验操作能力较强随机变量的分布列刻画了随机变量取值的概率规律随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再由方差决定【互动探究】2某俱乐部举行迎圣诞活动，每位会员交 50 元活动费，可享受 20 元的消费，并参加一次游戏：掷两颗正方体骰子，点数之和为 12 点获一等奖，奖价值为 a 元的奖品；点数之和为 11 或 10点获二等奖，奖价值为 100 元的奖品；点数之和为 9 或 8 点获三等奖，奖价值为 30 元的奖品；点数之和小于 8 点的不得奖求：(1)同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖的概率；(2)如该俱乐部在游戏环节不亏也不赢利，求 a 的值x22%8%12%P0.20.50.3x15%10%P0.80.2考点3均值与方差与其他知识的结合例 3：(2011 届广东韶关摸底)A、B 两个投资项目的利润率分别为随机变量 x1和x2.根据市场分析，x1和x2的分布列分别为：(1)在 A、B 两个项目上各投资 100 万元，y1 和 y2 分别表示投资项目 A 和 B 所获得的利润，求方差 Dy1、Dy2；(2)将 x(0x100)万元投资 A 项目，100x 万元投资 B 项目，f(x)表示投资 A 项目所得利润的方差与投资 B 项目所得利润的方差的和. 求f(x)的最小值，并指出 x 为何值时，f(x)取到最小值注：D(axb)a2Dxy22812P0.20.50.3y1510P0.80.2解析：(1)由题设可知y1 和 y2 的分布列分别为：E(y1)50.8100.26，D(y1)(56)20.8(106)20.24.E(y2)20.280.5120.38，D(y2)(28)20.2(88)20.5(128)20.312.本题利用随机变量方差的性质将其转化为二次函数的最值问题【互动探究】3(2011 年广东揭阳模拟)某单位甲乙两个科室人数及男女工作人员分布情况见下表现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两个科室中共抽取 3 名工作人员进行一项关于“低碳生活”的调查.(1)求从甲、乙两科室各抽取的人数；(2)求从甲科室抽取的工作人员中至少有 1 名女性的概率；(3)记表示抽取的 3 名工作人员中男性的人数，求的分布列及数学期望 性别人数科别男女甲科室64乙科室321掌握离散型随机变量的数学期望和方差计算公式，特别的二项分布的数学期望和方差的规律2数学期望和方差的意义及在实际问题中的应用(1)对随机变量 X 的均值(数学期望)是算数平均数概念上的推广，是概率意义上的平均E(X)是一个数，由分布列唯一确定，按照公式求 E(X)(2)而方差 D(X)是算数平均数概念上的推广，按照公式求出 D(X)，可反映其稳定性期望公式和方差公式的计算