高等代数高等代数高等代数高等代数CAICAI课件课件课件课件张禾瑞张禾瑞张禾瑞张禾瑞 郝炳新郝炳新郝炳新郝炳新 编编编编 (第四版第四版第四版第四版).第一章第一章 基本概念基本概念.第二章第二章 多项式多项式.第三章第三章 行列式行列式.第四章第四章 线性方程组线性方程组.第五章第五章 矩阵矩阵.第六章第六章 向量空间向量空间.第七章第七章 线性变换线性变换.第八章第八章 欧氏空间欧氏空间.第九章第九章 二次型二次型广东教育学院数学系广东教育学院数学系广东教育学院数学系广东教育学院数学系 代数与几何教研室代数与几何教研室代数与几何教研室代数与几何教研室 何谓高等代数大家知道，初等代数是研究数及代表数的文字的代数运算（加法、减法、乘法、除法、乘方、开方）的理论和方法，也就是研究多项式（实系数与复系数）的代数运算的理论和方法.而多项式方程及多项式方程组的解（包括解的公式和数值解）的求法及其分布的研究恰为初等代数研究的中心问题，以这个中心问题为基础发展起来的一般数域上的多项式理论与线性代数理论就是所谓的高等代数. 本课程的意义、内容及学习要求高等代数是大学数学中的一门重要基础课程，从内容上看，它是中学代数里有关内容的继续和提高。其中许多理论对于加深中学数学教材的理解有着直接的指导意义，因此作为一个合格的中学数学教师，学好这门课程是非常必要的。此外，高等代数的思想和方法已经渗透到数学的各个领域，在数学分析、几何、计算技术等学科有广泛的应用，所以，学好这门课程也有助于学好其它数学课程，并且高代是考研的一门必考课程。第一章第一章 基本概念基本概念*第一节第一节 集合集合*第二节第二节 映射映射*第三节第三节 数学归纳法数学归纳法*第四节第四节 整数的一些整除性质整数的一些整除性质*第五节第五节 数环和数域数环和数域 第一节第一节 集合及映射集合及映射章节名称：集合及映射教学目的与要求：了解集合的概念和表示，运算；理解并掌握映射的定义，合成，单射满射等的定义，掌握双射的等价刻画重点：证明映射是单射、满射的方法一、一、集合集合把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合集合；常用大写字母常用大写字母A A、B B、C C 等表示集合；等表示集合；当当a a是集合是集合A A的元素时，就说的元素时，就说a a 属于属于A A，记作，记作: : ； 当当a a不是集合不是集合A A的元素时，就说的元素时，就说a a不属于不属于A A，记作：记作： 1 1、概念、概念组成集合的这些事物称为集合的组成集合的这些事物称为集合的元素元素 用小写字母用小写字母a a、b b、c c 等表示集合的元素等表示集合的元素 关于集合没有一个严谨的数学定义，只是有关于集合没有一个严谨的数学定义，只是有一个描述性的说明集合论的创始人是一个描述性的说明集合论的创始人是1919世纪中期世纪中期德国数学家康托尔（德国数学家康托尔（G GCantorCantor），），他把集合描述为：他把集合描述为：所谓集合是指我们直觉中或思维中确定的所谓集合是指我们直觉中或思维中确定的, ,彼此有明彼此有明确区别的那些事物作为一个整体来考虑的结果确区别的那些事物作为一个整体来考虑的结果; ;集合集合中的那些事物就称为集合的元素即，集合中的元中的那些事物就称为集合的元素即，集合中的元素具有：确定性、互异性、无序性素具有：确定性、互异性、无序性. . Remark:集合的表示方法：集合的表示方法：描述法描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质：给出这个集合的元素所具有的特征性质.列举法列举法：把构成集合的全部元素一一列举出来：把构成集合的全部元素一一列举出来.例例1例例2 N ， 2Z 例例3 Mx | x具有性质具有性质P Ma1，a2，an2 2、集合间的关系、集合间的关系 如果如果B中的每一个元素都是中的每一个元素都是A中的元素，则称中的元素，则称B是是A的的子集子集，记作，记作 ，（读作，（读作B包含于包含于A）当且仅当当且仅当 空集空集：不含任何元素的集合，记为：不含任何元素的集合，记为注意注意：,空集是任意集合的子集空集是任意集合的子集 如果如果A、B两集合含有完全相同的元素，则称两集合含有完全相同的元素，则称 A与与 B相等相等，记作，记作AB .AB当且仅当当且仅当 且且 3 3、集合间的运算、集合间的运算 交交： ； 并并： 显然有，显然有，1、证明等式、证明等式: 证：显然，证：显然， 又又 ， ，从而从而, 例题：例题： 故等式成立故等式成立2、已知、已知 ， 证明：证明： 又因又因 ， 又因又因 ， 证证：1） 此即，此即，因此无论哪一种情况，都有因此无论哪一种情况，都有 .此即，此即， 但是但是二、映射二、映射设设M、M是给定的两个非空集合，如果有是给定的两个非空集合，如果有 一个对一个对应法则应法则，通过这个法则通过这个法则对于对于M中的每一个元素中的每一个元素a，都有都有M中一个唯一确定的元素中一个唯一确定的元素a与它对应与它对应, 则称则称 为为称称 a为为 a 在映射在映射下的下的象象，而，而 a 称为称为a在映射在映射下的下的M到到M的一个的一个映射映射，记作，记作 : 或或原象原象，记作，记作(a)a 或或1、定义、定义 设映射设映射 , 集合集合称之为称之为M在映射在映射下的下的象象，通常记作，通常记作 Im 集合集合M 到到M 自身的映射称为自身的映射称为M 的一个的一个变换变换 显然，显然， 注注 例例4判断下列判断下列M 到到M 对应法则是否为映射对应法则是否为映射 1）Ma，b，c、M1,2，3,4 ：(a)1，(b)1，(c)2：(a)1,(b)2,(c)3,(c)4：(b)2，(c)4 （不是不是） （是是） （不是不是） 2）MZ，MZ，：(n)|n|, ：(n)|n|1,（不是不是） （是是） ：(a)a0，4）MP，M ，（，（P为数域）为数域）：(a)aE， （E为为n级单位矩阵）级单位矩阵）5）M、M为任意两个非空集合，为任意两个非空集合，a0是是M中的一个中的一个固定元素固定元素. （是是）（是是）6）MMPx（P为数域）为数域） ：(f (x)f (x)， （是是）3）M ，MP，（P为数域）为数域） ：(A)|A|，（是是） 例例5M是一个集合，定义是一个集合，定义I： I(a)a ，即即 I 把把 M 上的元素映到它自身，上的元素映到它自身，I 是一个映射，是一个映射，例例6 任意一个在实数集任意一个在实数集R上的函数上的函数 yf(x) 都是实数集都是实数集R到自身的映射，即，函数可以看成是到自身的映射，即，函数可以看成是称称 I 为为 M 上的上的恒等映射恒等映射或或单位映射单位映射 映射的一个特殊情形映射的一个特殊情形 2 2、映射的乘积、映射的乘积设映射设映射 ， 乘积乘积定义为：定义为： (a)(a) 即相继施行即相继施行和和的结果，的结果， 是是 M 到到 M 的一个的一个 映射映射 对于任意映射对于任意映射 ，有，有 设设映射映射， 有有注：注：注：注：3 3、映射的性质、映射的性质: :设映射设映射1）若）若，即，即对对于任意于任意，均存在，均存在（或称（或称 为为映上的映上的）；）； 2）若）若M中不同元素的象也不同，即中不同元素的象也不同，即 （或（或），）， 则称则称是是M到到M的一个的一个单射单射（或称（或称为为11的的）；）； 3）若）若既是单射，又是满射，则称既是单射，又是满射，则称为为双射双射,，使，使 ，则称，则称是是M到到M的一个的一个满射满射（或称（或称为为 11对应对应） 例例7判断下列映射的性质判断下列映射的性质1）Ma，b，c、M1,2，3：(a)1，(b)1，(c)2 （既不单射，既不单射，也不是满射也不是满射） ：(a)3，(b)2，(c)12）M=Z，MZ，：(n)|n|1,（是满射，但不是单射是满射，但不是单射） 3）M，MP，（，（P为为数域）数域） ：(A)|A|，（是满射，但不是单射是满射，但不是单射） （双射双射）4）MP，M P为数域为数域, E为为n级单级单位矩位矩阵阵：(a)aE，（是单射，但不是满射是单射，但不是满射） ：(a)a0，（既不单射，也不是满射既不单射，也不是满射） 6）MMPx，P为数域为数域：(f (x)f (x)，（是满射，但不是单射是满射，但不是单射） 7）M是一个集合，定义是一个集合，定义I：I(a)a，8）M=Z，M2Z，：(n)2n,（双射双射） （双射双射） 5）M、M为为任意非空集合，任意非空集合，为为固定元素固定元素 对于有限集来说，两集合之间存在对于有限集来说，两集合之间存在11对应对应的充要条的充要条 件是它们所含元素的个数相同；件是它们所含元素的个数相同； 对于有限集对于有限集A及其子集及其子集B，若，若BA（即（即B为为A的真子集），则的真子集），则 A、B之间不可能存在之间不可能存在11对应；对应；但是对于无限集未必如此但是对于无限集未必如此.注：注：如例如例7中的中的8），），是是11对应，但对应，但2Z是是Z的真子集的真子集 M=Z，M2Z，：(n)2n,4 4、可逆映射、可逆映射定义定义定义定义：设映射：设映射若有映射若有映射使得使得则称则称为为可逆映射可逆映射，为为的的逆映射逆映射， 若若为可逆映射，则为可逆映射，则1也为可逆映射，且也为可逆映射，且 （1）1注：注：为为可逆映射，可逆映射，若，若的逆映射是由的逆映射是由唯一确定的唯一确定的记作记作1 为可逆映射的充要条件是为可逆映射的充要条件是为为11对应对应证证：若映射若映射为为11对应对应，则对则对均存在唯一的均存在唯一的，使，使(x)y，作对应作对应 即即； 即即为为可逆映射可逆映射 则则是一个是一个M到到M的映射的映射, 且且对对 即即, 所以所以为满为满射射. 其次，其次，对对，则则 即即为单射为单射.所以所以为为11对应对应反之，反之，设设 为为可逆映射，可逆映射，则则 练习：练习：1. 找一个找一个R到到R的的11对应对应，规规定定解：解：则则 是是R到到R的一个映射的一个映射.若若，则则， 是是单单射射 ，存在，存在，使，使故故 是是11对应对应 是是满满射射 2、令、令，问：，问：1）g 是不是是不是R到到R的双射？的双射？g 是不是是不是 f 的逆映射？的逆映射？ 2）g是不是可逆映射？若是的话，求其逆是不是可逆映射？若是的话，求其逆 解：解：1）g是是R到自身的双射到自身的双射 ，若，若 ，则，则 ，g是单射是单射 并且并且 ，即，即g是满射是满射 又又 ， ， g不是不是 f 的逆映射的逆映射 事实上，事实上， 2）g是可逆映射是可逆映射3、设映射、设映射，证明：，证明：1）如果）如果 h 是单射，那么是单射，那么 f 也是单射；也是单射；2）如果）如果 h 是满射，那么是满射，那么 g 也是满射；也是满射；3）如果）如果 f、g 都是双射，那么都是双射，那么 h 也是双射，并且也是双射，并且这与这与h是单射矛盾，是单射矛盾， f 是单射是单射证：证：1）若）若 f 不是单射，则存在不是单射，则存在 于是有于是有2） h 是满射，是满射，即，即， g 是满射是满射又又3） ，因为，因为 g 是满射，存在是满射，存在,使使又因为又因为 f 是满射，存在，使是满射，存在，使h是满射是满射若若，由于，由于 f 是单射，有是单射，有又因为又因为 g 是单射，有是单射，有即即,因而因而 h 是双射是双射h 是单射是单射.1.3 数学归纳法内容分布内容分布1.3.11.3.1最小数原理最小数原理1.3.21.3.2数学归纳法的依据数学归纳法的依据教学目的教学目的掌握映射的概念掌握映射的概念, , 映射的合成，满射、单射、可映射的合成，满射、单射、可逆映射的判断。逆映射的判断。重点、难点重点、难点 映射的合成，满射、单射、可逆映射的判断。映射的合成，满射、单射、可逆映射的判断。1.3.1 最小数原理数学归纳法所根据的原理是正整数集的一个最基本的性数学归纳法所根据的原理是正整数集的一个最基本的性质质最小数原理最小数原理. 最小数原理最小数原理 正整数集正整数集 的任意一个非空子集的任意一个非空子集S必含有必含有一个最小数，也就是这样一个数一个最小数，也就是这样一个数 ，对任意，对任意 都都有有 . 其中其中 表示全体正整数表示全体正整数 的集合的集合. 1 最小数原理并不是对于任意数集都成立的最小数原理并不是对于任意数集都成立的2 设设c是任意一个整数，令是任意一个整数，令注意注意那么经代替正整数集那么经代替正整数集 ，最小数原理对于，最小数原理对于 仍然成仍然成立立. 也就是说，也就是说， 的任意的任意 一个非空子集必含有一个最一个非空子集必含有一个最小数，特别，小数，特别，N的任意一个非空了集必含有一个最小的任意一个非空了集必含有一个最小数数. 这个原理的一般形式就是数学分析中的下（上）确界这个原理的一般形式就是数学分析中的下（上）确界原理。原理。1.3.2数学归纳法的依据定理定理1.3.11.3.1（数学归纳法原理）（数学归纳法原理） 设有一个与正整数设有一个与正整数n n有关的命题有关的命题. . 如果如果 当当n=1n=1时时. . 命题成立；命题成立； 假设当假设当n=k n=k 时命题成立，当时命题成立，当n= k+1 n= k+1 时命题也成时命题也成 立；那么这个命题对于一切正整数立；那么这个命题对于一切正整数n n都成立都成立. . 证证 设命题对于一切正整数都成立设命题对于一切正整数都成立. 令令S表示使命题不成表示使命题不成立的正整数所成的集合立的正整数所成的集合. 那么那么 . 于是，由最小数原于是，由最小数原理，理，S中有最小数中有最小数h .因为命题对于因为命题对于n=1成立，所以成立，所以 从而从而h-1是一下正整数是一下正整数. 因为因为h是是S中最小的数，所以中最小的数，所以 . 这就是说当这就是说当n=h-1时，命题成立时，命题成立. 于是由于是由，当，当n=h时时命题也成立命题也成立. 因此因此 . 这就导致矛盾这就导致矛盾. 例例1 证明，当证明，当 时，时，n 边形的内角和等于边形的内角和等于(n-2).证证 当当n=3 时，命题成立时，命题成立. 因为三角形的内角和等于因为三角形的内角和等于= (3-2).假设时命题成立假设时命题成立. 任意一个任意一个k+1多边形多边形 ，联，联结结 ，那么，那么 的内角和就等于三角形的内角和就等于三角形 的内角和加上的内角和加上k边形边形 的内角和的内角和. 前者等于前者等于，后者由归纳法假定，等于后者由归纳法假定，等于(k-2). 因此因此k+1多边形多边形 的内角和等于的内角和等于+(k-2)=(k-1)=(k+1)-2). 命题得证命题得证. 定理定理1.3.2（第二数学归纳法）（第二数学归纳法） 设有一个与正整数设有一个与正整数n有关有关的命题的命题. 如果如果 当当n=1时命题成立；时命题成立； 假设命题对于一切小于假设命题对于一切小于k的自然数来说成立，则命题的自然数来说成立，则命题对于对于k也成立；也成立；那么命题对于一切自然数那么命题对于一切自然数n来说都成立来说都成立.数学归纳法可以推广到良序集合上，即所谓超限归纳原数学归纳法可以推广到良序集合上，即所谓超限归纳原理。理。1.4 整数的一些整除性质一、内容分布一、内容分布 1.4.1 整除与带余除法整除与带余除法 1.4.2 最大公因数最大公因数 1.4.3 互素互素 1.4.4 素数的简单性质素数的简单性质二、教学目的二、教学目的 1.理解和掌握整除及其性质。理解和掌握整除及其性质。 2.掌握最大公因数性质、求法。掌握最大公因数性质、求法。 3.理解互素、素数的简单性质。理解互素、素数的简单性质。三、重点、难点三、重点、难点 整除、最大公因数性质、互素有关的证明整除、最大公因数性质、互素有关的证明 。1.4.1 整除与带余除法 设设a，b是两个整数，如果存在一个整数是两个整数，如果存在一个整数d，使得，使得b=ad，那么就说那么就说a整除整除b（或者说（或者说b被被a整除）。用符号整除）。用符号a | b表示表示a整除整除b。这时。这时a叫做叫做b 的一个因数，而的一个因数，而b叫做叫做a的一个倍的一个倍数。如果数。如果a不整除不整除b，那么就记作，那么就记作 . 整除的基本性质：整除的基本性质： 每一个整数都可以每一个整数都可以1和和 - 1整除。整除。 每一个整数每一个整数a都可以被它自己和它的相反数都可以被它自己和它的相反数 - a整除整除 定理定理1.4.1（带余除法）（带余除法） 设设a，b 是整数且是整数且 ，那么，那么存在一对整数存在一对整数q和和r，使得，使得满足以上条件整数满足以上条件整数q和和r 的唯一确定的。的唯一确定的。证证 令令 。因为。因为 ，所以，所以S 是是N 的一个非空子集。根据最小数定理（对于的一个非空子集。根据最小数定理（对于N），），S 含有含有一个最小数。也就是说，存在一个最小数。也就是说，存在 ，使得，使得r=b-aq是是S 中中最小数。于是最小数。于是b=aq+r，并且，并且 。如果。如果 ，那么，那么 ，而，而 所以所以 。这是与。这是与r是是S中最小数的事实矛盾。中最小数的事实矛盾。因此因此 . 假设还假设还 ，使得，使得 于是就有于是就有 。如果。如果 那么那么由此或者由此或者 ，或者，或者 。不论是哪。不论是哪一种情形，都将导致矛盾。这样必须一种情形，都将导致矛盾。这样必须 ，从而，从而 ，也就是说，也就是说 1.4.2 最大公因数设设a，b是两个整数，满足下列条件的整数是两个整数，满足下列条件的整数 d 叫做叫做a与与b的的最大公因数：最大公因数： ； 。 如果如果 一般地，设一般地，设 是是n 个整数。满足下列条件的整个整数。满足下列条件的整数数d 叫做叫做 的一个最大公因数：的一个最大公因数： 定理定理1.4.2 任意任意 个整数个整数 都有最大公都有最大公因数。如果因数。如果d是是 的一个最大公因数，那么的一个最大公因数，那么 - d 也是一个最大公因数；也是一个最大公因数； 的两个最大公因数至的两个最大公因数至多只相差一个符号。多只相差一个符号。证证 由最大公因数的定义和整除的基本性质，最后一个由最大公因数的定义和整除的基本性质，最后一个论断是明显的。论断是明显的。现证，任意现证，任意n个整数个整数 有最大公因数。如果有最大公因数。如果 ，那么，那么0显然就是显然就是 的最大公的最大公因数，设因数，设 不全为零。考虑不全为零。考虑Z 的子集的子集 I 显然不是空集，因为对于每一个显然不是空集，因为对于每一个i 又因为又因为 不全为零，所以不全为零，所以I 含有非零整数。因含有非零整数。因此此是正整数集的一个非空子集，于是由最小数原理，是正整数集的一个非空子集，于是由最小数原理， 有有一个最小数一个最小数d。我们说，。我们说，d 就是就是 的一个最大公的一个最大公因数。因数。 首先，因为首先，因为 ，所以，所以d 0并且并且d 有形式有形式又由带余除法，有又由带余除法，有 定理定理1.4.3 设设d是是 的一个最大公因数。那么存的一个最大公因数。那么存在整数在整数 ，使得，使得 。如果某一如果某一 ，如，如 ，那么，那么 而而 。这与。这与d是是 中的最小数的事实矛盾。这样，中的最小数的事实矛盾。这样，必须所有必须所有 ，即，即 。 另一方面，如果另一方面，如果 。那么。那么 。这就证明。这就证明了了d 是是 的的一个最大公因数。一个最大公因数。 证证 若若 ，那么，那么d = 0，定理显然成立。，定理显然成立。设设 不全为零，由定理不全为零，由定理1.4.2的证明，知的证明，知 ，.因而存在因而存在 ，使得，使得 。 1.4.3 互素设设a，b是两个整数，如果是两个整数，如果（a, b）=1，那么就说，那么就说a与与b互互素。一般地，素。一般地， 是是n个整数，如果个整数，如果 ，那么就说，那么就说这这n个整数个整数 互素。互素。 （1 1） 定理定理1.4.4 n 个整数个整数 互素的充分且必要条件是互素的充分且必要条件是存在整数存在整数 ，使得，使得 证证 如果如果 互素，互素， 那么由定理那么由定理1.4.2立即得到等立即得到等式（式（1）成立。反过来，设等式（）成立。反过来，设等式（1）成立。令）成立。令 。那么。那么c能整除（能整除（1）式中的左端。所以）式中的左端。所以c | 1，因此，因此c =1,即即 。1.4.4 素数的简单性质一个正整数一个正整数p1叫做一个素数，如果除叫做一个素数，如果除1和和p外，没有外，没有其它因数。其它因数。定理定理1.4.5 一个素数如果带队两个整数一个素数如果带队两个整数a 与与b的乘积，那的乘积，那么它至少整除么它至少整除a 与与b中的一个。中的一个。证证 设设p是一个素数，如果是一个素数，如果p | ab，但，但 ，由上面所指，由上面所指出的素数的性质，必定有出的素数的性质，必定有（p, a）=1。于是由定理。于是由定理1.4.4，存在整数，存在整数s 和和t 使得使得 sp + ta = 1两边同乘以两边同乘以b ：spb + tab =b .左边的第一项自然能被左边的第一项自然能被p整除；又因为整除；又因为p | ab，所以左边，所以左边第二项也能被第二项也能被p整除。于是整除。于是p整除左边两项的和，从而整除左边两项的和，从而p | b. 1.5 数环和数域定义定义1 设设S是复数集是复数集C的一个非空子集，如果对于的一个非空子集，如果对于S中任中任意两个数意两个数a, b 来说，来说，a +b, a b, ab 都在都在S内，那么就称内，那么就称S是一个数环。是一个数环。例例1取定一个整数取定一个整数a ，令，令 那么那么S是一个数环。事实上，是一个数环。事实上，S显然不是空集。显然不是空集。 设设 。那么。那么如取如取a =2，那么，那么S就是全体偶数所组成的数环。就是全体偶数所组成的数环。 例例2令令 . S显然不是空集，如显然不是空集，如果果 ，那么，那么定义定义2 2 设设F F 是一个数环，如果是一个数环，如果 F 含有一个不等于零的数；含有一个不等于零的数； 如果，如果，那么就称那么就称F 是一个数域。是一个数域。例例3令令 ，则，则F是一个数域。首先，是一个数域。首先，容易看出，容易看出，F是一个数环，并且是一个数环，并且 ，所以，所以成立。成立。现设现设 ，那么，那么 。否则当。否则当d =0 的情的情形将得出形将得出c = 0，这与，这与 矛盾；在矛盾；在 的情形将的情形将得出得出 这与是无理数矛盾。因此这与是无理数矛盾。因此这就证明了这就证明了F 是一个数域。是一个数域。定理定理1.5.11.5.1 任何数域都包含有理数域任何数域都包含有理数域Q Q。证证 设设F 是一个数域。那么由条件是一个数域。那么由条件，F 含有一逐步形含有一逐步形成不等于成不等于0的数的数a ，再由条件，再由条件， 。用。用1 和它自己和它自己重复相加，可得全体正整数，因而全体正整数都属于重复相加，可得全体正整数，因而全体正整数都属于F。另一方面，另一方面， ，所以，所以F也含有也含有0与任一正整数与任一正整数的差，亦即全体负整数。因为的差，亦即全体负整数。因为F含有全体整数。这样，含有全体整数。这样，F 也含有用意两个整数的商（分母不为也含有用意两个整数的商（分母不为0），因而，），因而，F 含含有一切有理数。有一切有理数。