补充补充轮换轮换对称性结论对称性结论: :若若D关于关于x,y满足轮换对称性满足轮换对称性(将将D的边界的边界曲线方程中的曲线方程中的x与与y交换位置交换位置,方程不变方程不变),则则证证所以所以,例例习习习习 题题题题 课课课课二二二二 重重重重 积积积积 分分分分知识要点知识要点 解题技巧解题技巧典型例题典型例题其中其中一、二重积分的概念与性质一、二重积分的概念与性质 是各小闭区域的直径中的最大值是各小闭区域的直径中的最大值.几何意义几何意义二重积分二重积分I表示以表示以D为底为底,柱体的体积柱体的体积.z =f (x, y)为曲顶为曲顶, 侧面是侧面是（一）二重积分的定义（一）二重积分的定义,几何意义与物理意义几何意义与物理意义定义定义1.平面上有界闭区域平面上有界闭区域D上二元有界函数上二元有界函数z = f (x, y)的二重积分的二重积分2.当连续函数当连续函数以以D的边界为准线的边界为准线,母线平行于母线平行于z轴的柱面的轴的柱面的曲顶曲顶一般情形一般情形,知识要点知识要点 物理意义物理意义3.xOy平面上方的曲顶柱体体积平面上方的曲顶柱体体积减减xOy平面下方的曲顶柱体体积平面下方的曲顶柱体体积.若平面薄片占有平面内有界闭区域若平面薄片占有平面内有界闭区域D,则它的质量则它的质量M为为:它的面它的面密度为连续函数密度为连续函数性质性质1(线性运算性质线性运算性质)为常数为常数, 则则(重积分与定积分有类似的性质重积分与定积分有类似的性质)性质性质2 将区域将区域D分为两个子域分为两个子域对积分区域的可加性质对积分区域的可加性质.（二）二重积分的性质（二）二重积分的性质以以1为高的为高的性质性质3(几何应用几何应用) 若若 为为D的面积的面积 注注既可看成是以既可看成是以D为底为底,柱体体积柱体体积. 又可看成是又可看成是D的面积的面积.特殊地特殊地性质性质4(4(比较性质比较性质) )则则( (保序性保序性) )几何意义几何意义以以m为高和以为高和以M为高的为高的性质性质5(5(估值性质估值性质) )为为D的面积的面积, 则则则曲顶则曲顶柱体的体积介于以柱体的体积介于以D为底为底,两个平顶柱体体积之间两个平顶柱体体积之间.性质性质6(6(二重积分中值定理二重积分中值定理) )体体积等于以体体积等于以D为底为底几何意义几何意义域域D上连续上连续,为为D的面积的面积, 则在则在D上至少存在一点上至少存在一点使得使得则曲顶柱则曲顶柱 为高的平顶柱体体积为高的平顶柱体体积.设设f (x, y)在闭区在闭区(1)设设f (x, y)在有界闭区域在有界闭区域D上连续上连续.若若D关于关于则则x轴对称轴对称, f (x, y)对对y为奇函数为奇函数, 即即 f (x, y)对对y为偶函数为偶函数, 即即则则其中其中（三）对称区域上奇偶函数的积分性质（三）对称区域上奇偶函数的积分性质(2)设设f (x, y)在有界闭区域在有界闭区域D上连续上连续.若若D关于关于则则 y轴对称轴对称, f (x, y)对对x为奇函数为奇函数, 即即 f (x, y)对对x为偶函数为偶函数, 即即则则其中其中(3)设设f (x, y)在有界闭区域在有界闭区域D上连续上连续.其中函数其中函数 在区间在区间a, b上连续上连续.二、在直角坐标系中化二重积分为二、在直角坐标系中化二重积分为累次积分累次积分(1) 设设f (x, y)在平面有界闭区域在平面有界闭区域D上连续上连续.先对先对y 后对后对x的二次积分的二次积分其中函数其中函数 在区间在区间c, d上连续上连续.(2) 设设f (x, y)在平面有界闭区域在平面有界闭区域D上连续上连续.先对先对x 后对后对y的二次积分的二次积分.极坐标系中的面积元素极坐标系中的面积元素三、在极坐标系中化二重积分为累次积分三、在极坐标系中化二重积分为累次积分(1)设设f (x, y)在平面有界平面闭区域在平面有界平面闭区域D上连续上连续.其中函数其中函数(2)设设f (x, y)在平面有界平面闭区域在平面有界平面闭区域D上连续上连续.其中函数其中函数极坐标系极坐标系下区域的下区域的面积面积(3)设设f (x, y)在平面有界平面闭区域在平面有界平面闭区域D上连续上连续.其中函数其中函数再确定交换积分次再确定交换积分次1. 交换积分次序交换积分次序:先依给定的积分次序写出积分域先依给定的积分次序写出积分域D的的不等式不等式, 并画并画D的草图的草图;序后的积分限序后的积分限;2. 如被积函数为如被积函数为圆环域时圆环域时,或积分域为或积分域为圆域、扇形域、圆域、扇形域、则用极坐标计算则用极坐标计算; 解题技巧解题技巧 3. 注意利用对称性质注意利用对称性质,数中的绝对值符号数中的绝对值符号.以便简化计算以便简化计算;4. 被积函数中含有绝对值符号时被积函数中含有绝对值符号时, 应应将积分域分割成几个子域将积分域分割成几个子域, 使被积函数在使被积函数在每个子域中保持同一符号每个子域中保持同一符号, 以消除被积函以消除被积函解解例例 计算积分计算积分交换积分次序交换积分次序. . 原式原式 = 典型例题典型例题1.1.交换积分次序交换积分次序计算计算解解 积分域是圆积分域是圆故关于故关于x、y轴、轴、故将被积函数分项积分故将被积函数分项积分:而而极坐标极坐标又又所以所以原式原式 =对称对称,例例直线直线2.2.利用对称性利用对称性证证所围立体的体积等于所围立体的体积等于是连续是连续的正值函数的正值函数,所求立体在所求立体在xOy面上的投影区域为面上的投影区域为有有:例例 证明证明: :解解 原式原式 = 用极坐标用极坐标. . 对称性对称性积分区域关于积分区域关于x轴对称轴对称例例 3.3.坐标系的选择坐标系的选择若函数若函数 f (x, y)在矩形区域在矩形区域D:解解上连续上连续, 且且求求 f (x, y) .设设两边积分两边积分, 得得例例 计算二重积分计算二重积分D2极坐标极坐标例例将将D分成分成D1与与D2两部分两部分.D1其中其中解解由于由于直角坐标直角坐标3.3.被积函数带绝对值、最大被积函数带绝对值、最大( (小小) )值符号的积分值符号的积分其中其中因此因此其中其中 选择适当的坐标计算选择适当的坐标计算: 解解原式原式 = 例例其中其中 选择适当的坐标计算选择适当的坐标计算: 解解原式原式 = 例例 计算计算解解 积分区域积分区域D关于关于x轴对称轴对称,被积函数关于被积函数关于y为偶函数为偶函数.原式原式=记记D1为为D的的y0的部分的部分. 则则D1证明证明证证交交换换积积分分次次序序累累次次积积分分法一法一证明证明法二法二 令令则则