第二课时第二课时 实数的运算及大小比较实数的运算及大小比较初三数学第一轮复习初三数学第一轮复习姜堰市三水学校姜堰市三水学校 王永宽王永宽一、实数的运算法则：一、实数的运算法则：加法法则：同号两数相加，加法法则：同号两数相加， 。 异号两数相加，绝对值相等时异号两数相加，绝对值相等时 ；绝对值不等时，；绝对值不等时， ；一个数同零相加，；一个数同零相加， . .加法交换律：加法交换律：a + b =a + b = ；加法结合律：；加法结合律：(a + b ) + c =(a + b ) + c = . .减法法则：减去一个数，减法法则：减去一个数， . .乘法法则：两数相乘，同号得乘法法则：两数相乘，同号得 ，异号得，异号得 ，并把，并把 ；任何数同零相乘，任何数同零相乘， . .乘法交换律：乘法交换律：abab = = ；乘法结合律：（；乘法结合律：（abab）c = c = ；乘法对加法的分配律：乘法对加法的分配律：a(ba(b + c) = + c) = . .几个不为零的数相乘，积的符号由负因数的几个不为零的数相乘，积的符号由负因数的 决定，当负因数有决定，当负因数有奇数个时，积为奇数个时，积为 ；当负因数有偶数个时，积为；当负因数有偶数个时，积为 ；（简称奇负得负，偶负得正）；（简称奇负得负，偶负得正）；几个数相乘，如果有一个因数为零，几个数相乘，如果有一个因数为零， . .除法法则：两数相除，同号得除法法则：两数相除，同号得 异号得异号得 ，并把，并把 ； 零除以任何一个不等于零的数都得零除以任何一个不等于零的数都得 。 除以一个数等于乘以除以一个数等于乘以 。取相同的符号，并把绝对值相加取相同的符号，并把绝对值相加和为零和为零取绝对值较大的加数的符号，并把绝对值相减取绝对值较大的加数的符号，并把绝对值相减仍得这个数仍得这个数a+ba+ba+(b+ca+(b+c) )等于加上这个数的相反数等于加上这个数的相反数正正负负绝对值相乘绝对值相乘都得零都得零babaa(bca(bc) )ab+acab+ac个数个数负负正正积为零积为零正正负负绝对值相除绝对值相除零零这个数的倒数这个数的倒数1.(+5)+(+7)=_1.(+5)+(+7)=_；(-3)+(-8)=_(-3)+(-8)=_； (+3)+(-8)=_(+3)+(-8)=_；(-3)+(+15)=(-3)+(+15)= ； 0+(-5)=_0+(-5)=_；(-7)+(+7)=_(-7)+(+7)=_2.(1)0-2=_;(2)(-3)-2=_;(3)(-3)-(-5)=_;2.(1)0-2=_;(2)(-3)-2=_;(3)(-3)-(-5)=_;(4)(-5)-(+6)=_;(5)(+1)-(_)=-2;(6)(+3)+(_)=-1;(4)(-5)-(+6)=_;(5)(+1)-(_)=-2;(6)(+3)+(_)=-1;(7)+2(7)+2比比-3-3大大_;(8)-5_;(8)-5比比3 3小小_;(9)-8_;(9)-8比比_小小2 23.(1)5(+4)=3.(1)5(+4)= ;(2)(-6) ;(2)(-6) (-4)=(-4)= ;(3)(-5)0=;(3)(-5)0= ; ; (4) (4) ;(5) ;(5) . .4.4.若实数若实数x x、y y满足满足xy0xy0，则，则 的值是的值是 . .乘方：乘方：（1 1）乘方的定义：）乘方的定义： 求几个求几个 的积的运算叫做乘方；的积的运算叫做乘方； = = ，其中，其中a a叫做叫做 ，n n叫做叫做 . .（2 2）乘方的符号法则）乘方的符号法则正数的任何次幂都得正数的任何次幂都得 ；负数的负数的 得正；负数的得正；负数的 得负得负. .（简称（简称 ）（3 3）乘方的性质：）乘方的性质： a an n= = a a0 0 = = （其中（其中a a 0 0 ）；）； a a-p -p = = （其中（其中a a 0 0） 相同因式相同因式a an n底数底数指数指数正正偶次幂偶次幂奇次幂奇次幂奇负得负，偶负得正奇负得负，偶负得正1a aa aa aa aa an个个a aa aa aa aa an个个1.1.1.1.填空：填空：填空：填空：(1).(1).(1).(1).(3)3)3)3)2 2 2 2的底数是的底数是的底数是的底数是 ，指数是，指数是，指数是，指数是 ，结果是，结果是，结果是，结果是 ；(2)-2(2)-2(2)-2(2)-24 4 4 4的底数是的底数是的底数是的底数是 ，指数是，指数是，指数是，指数是 ，结果是，结果是，结果是，结果是 ；(3). (3). (3). (3). 的底数是的底数是的底数是的底数是 ，指数是，指数是，指数是，指数是 ，结果是，结果是，结果是，结果是 . . . .2. 2. 2. 2. 的的的的5 5 5 5次幂写成次幂写成次幂写成次幂写成 . . . . 3.3.3.3.关于式子关于式子关于式子关于式子 , , , ,正确说法是正确说法是正确说法是正确说法是( )( )( )( ) A.-4 A.-4 A.-4 A.-4是底数是底数是底数是底数,2,2,2,2是幂是幂是幂是幂 B.4B.4B.4B.4是底数是底数是底数是底数,2,2,2,2是幂是幂是幂是幂 C.4C.4C.4C.4是底数是底数是底数是底数,2,2,2,2是指数是指数是指数是指数 D.-4D.-4D.-4D.-4是底数是底数是底数是底数,2,2,2,2是指数是指数是指数是指数4. 4. 4. 4. 是是是是( )( )( )( ) A. A. A. A.负数负数负数负数 B.B.B.B.正数正数正数正数 C.C.C.C.非负数非负数非负数非负数 D.D.D.D.以上都不对以上都不对以上都不对以上都不对5.5.5.5.计算：计算：计算：计算：(1). (2). (3). (1). (2). (3). (1). (2). (3). (1). (2). (3). (4). (5). (6). (4). (5). (6). (4). (5). (6). (4). (5). (6). 数的开方数的开方（1 1）如果）如果x x2 2=a=a（a a 0 0），则），则 称为称为 的平方根；的平方根；a a的平的平方根记为方根记为 . . 正数正数a a有有 个平方根，它们互为个平方根，它们互为 ，其中正的平，其中正的平方根叫做方根叫做a a的的 . . 没有平方根，零的平方根是没有平方根，零的平方根是 ；平方根等于；平方根等于本身的数是本身的数是 ，算术平方根等于本身的数是，算术平方根等于本身的数是 . .（2 2）如果）如果x x3 3=a=a，则，则 称为称为 的立方根；的立方根；a a的立方根记的立方根记为为 . . 任何一个实数都有立方根，正数有一个任何一个实数都有立方根，正数有一个 的立方根，负的立方根，负数有一个数有一个 的立方根，零的立方根是的立方根，零的立方根是 ，立方根，立方根等于本身的数是等于本身的数是 . .（3 3） = = ； ( )( )2 2 = = ； x xa a两两相反数相反数算术平方根算术平方根负数负数零零零零1和和0xa正正负负零零1，-1，0a1.1441.144的算术平方根是的算术平方根是 ， 的平方根是的平方根是 . . 2 2 = = ， 的立方根是的立方根是 . .3.- 3.- 的平方根为的平方根为 ， = = . .4.4.一个数的平方是一个数的平方是9 9，则这个数是，则这个数是 ，一个数的立，一个数的立方根是方根是1 1，则这个数是，则这个数是 . .5.5.若若 ，则，则x-yx-y的立方根是的立方根是 . .6.6.计算：计算：(1). (2).(1). (2).7.7.求下列方程中的求下列方程中的x x的值：的值：(1). (2).(1). (2).幂的运算法则：幂的运算法则：（1 1）同底数幂的乘法法则）同底数幂的乘法法则a an na am m = = ；（2 2）同底数幂的除法法则）同底数幂的除法法则a an na am m = = ；（3 3）积的乘方法则）积的乘方法则( (a ab)b)n n = = ；（4 4）幂的乘方法则）幂的乘方法则(a(an n) ) m m = = .am+nan-manbnanm1. =1. = ； = = ； = = . .2.(a2.(a4 4) )( ( ) )=a=a8 8；(a(a3 3) )( ( ) )aa2 2=a=a1414； = = . .3.(3.( )m)m2 2=m=m5 5 ；(a(am maan n) )p p= = ； ( ( )a)a3 3(-(-a a2 2)=a)=a5 5. .4.4.当当x x 时，代数式时，代数式(3x+2)(3x+2)0 0 =1=1有意义；有意义； 若代数式若代数式(2x+1)(2x+1)-4-4无意义，则无意义，则x=_x=_5.5.若若3 3n n=27=27，则，则2 21-n 1-n =_=_6.6.已知已知 ，求，求 . .二、混合运算的顺序：二、混合运算的顺序： （1 1）混合运算的一般顺序：先算）混合运算的一般顺序：先算 ，再算再算 ，最后算，最后算 ；如果有；如果有括号，先算括号，先算 里面的，同一级运算里面的，同一级运算按照从按照从 到到 的顺序依次进的顺序依次进行行. .（2 2）混合运算时需注意考虑简便运算）混合运算时需注意考虑简便运算乘方、开方乘方、开方乘、除乘、除加、减加、减括号括号右右左左计算：计算： -12 +巩固训练巩固训练（1）（2） (3) + (-0.125)201182010 三、实数大小的比较：三、实数大小的比较：（1 1） 数轴上两个点表示的数，数轴上两个点表示的数， 的的点表示的数总比点表示的数总比 的点表示的数大的点表示的数大. .（2 2） 正数正数 0 0，负数，负数 0 0，正数，正数 负负数；两个负数比较大小，绝对值大的数；两个负数比较大小，绝对值大的 绝对值小的绝对值小的（3 3）实数比较大小的常用方法：数形结合法、）实数比较大小的常用方法：数形结合法、作差法、作商法、倒数法、平方法作差法、作商法、倒数法、平方法右边右边左边左边1 1 用不等号用不等号“”号填空：号填空：(1)(1) ; (2)-2.1; (2)-2.1的相反数的相反数 -(-2.2);-(-2.2);(2)(2)(3)0(3)0 | |0.01|;(4)0.01|;(4)(+1.15)(+1.15) 的相反数的相反数. .(5)tan60(5)tan600 0 1.732;(6) 1.732;(6) . .2.2.如果如果 a a，则，则a a 0 0；如果；如果 ，则，则a a 0.0.3.3.若若0 0x x1 1，则，则x x， ，0 0，x x的大小关系为的大小关系为 . .例例1.1.用用“”“”定义新运算：定义新运算： 对于任意实数对于任意实数a a、b b，都有，都有a ab b 例如例如7474 1717，那么那么5353 ；当当m m为实数时，为实数时，m m(m m2)2) ；巩固练习巩固练习例例2.2.若正数若正数a a的倒数等于本身，负数的倒数等于本身，负数b b的绝对的绝对值等于值等于3 3，且，且c ca a，c c2 2=36=36 求代数式求代数式2 2（a 2ba 2b2 2）- 5c- 5c的值的值例例3.3.已知已知a a、b b互为相反数，互为相反数，c c、d d互为倒数，互为倒数，m m的绝对值是的绝对值是2 2 求求 的值的值例例4 4某人骑摩托车从家里出发，若规定向东行某人骑摩托车从家里出发，若规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天行驶记录如下：驶为正，向西行驶为负，一天行驶记录如下：（单位：（单位：kmkm）-7-7，+4+4，+8+8，-3-3，+10+10，-3-3，-6-6试回答下列问题：试回答下列问题：（1 1）此人在行驶的过程中，离家的最远距离是）此人在行驶的过程中，离家的最远距离是多少？多少？（2 2）最后一次行驶结束离家里有多远？）最后一次行驶结束离家里有多远？（3 3）若每千米耗油）若每千米耗油0.280.28升，则一天共耗油多少升，则一天共耗油多少升？升？例例5 5设设 的整数部分为，小数部分为，的整数部分为，小数部分为，求求a a2 2 ababb b2 2的值。的值。例例6 6天平的左边挂重为天平的左边挂重为 ，右边，右边挂重为挂重为 ，请你猜一猜，天平，请你猜一猜，天平会倾斜吗？如果出现倾斜，将向那边倾斜会倾斜吗？如果出现倾斜，将向那边倾斜？