第四节第四节 无穷小与无穷大无穷小与无穷大一、无穷小的概念一、无穷小的概念1.定义定义:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.例如例如,注意注意1.无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数.二二.无穷小的运算性质无穷小的运算性质性质性质1 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和有限个无穷小的代数和仍是无穷小仍是无穷小.证证注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. .性质性质2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证证推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小都是无穷小三三.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:证证 必要性必要性充分性充分性这个定理也可表述为：这个定理也可表述为：意义意义将一般极限问题转化为特殊极限问题将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷无穷小小);四、无穷大四、无穷大绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大注意注意1.无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;3. 无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.证证不是无穷大不是无穷大无界，无界，无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系定理定理 在同一极限过程中在同一极限过程中, ,无穷大的倒数为无穷无穷大的倒数为无穷小小; ;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. .证证意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小都可归结为关于无穷小的讨论的讨论.四、小结四、小结1、主要内容、主要内容:2、几点注意、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1） 无穷小（无穷小（ 大）是变量大）是变量,不能与很小（大）的数混不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；淆，零是唯一的无穷小的数；（2 2）无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. .（3） 无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.