第二章 流体静力学基础作用在流体上的力流体静平衡微分方程静平衡微分方程的应用静止流体的作用力 流体压强的测量作作作作用用用用力力力力质量力质量力质量力质量力表面力表面力表面力表面力2.1 2.1 作用在流体上的力作用在流体上的力作用力的分类：作用力的分类：作用力的分类：作用力的分类：作用于每一个流体质点；作用于每一个流体质点；作用于每一个流体质点；作用于每一个流体质点；与流体体积或质量成正比；与流体体积或质量成正比；与流体体积或质量成正比；与流体体积或质量成正比；与体积以外的流体的存在无关。与体积以外的流体的存在无关。与体积以外的流体的存在无关。与体积以外的流体的存在无关。 如重力、惯性力和哥氏力。如重力、惯性力和哥氏力。如重力、惯性力和哥氏力。如重力、惯性力和哥氏力。一、质量力一、质量力一、质量力一、质量力: : : : 用用 表示作用在单位质量流体上的质量力，表示作用在单位质量流体上的质量力，X X、Y Y、Z Z分别表示其在坐标轴分别表示其在坐标轴x x、y y、z z方向上的分量，即方向上的分量，即 （2-12-1） 式中式中 、 、 分别表示沿坐标轴分别表示沿坐标轴x x、y y、z z上的单位向量。上的单位向量。二、表面力：二、表面力：二、表面力：二、表面力：图图图图2-1 2-1 2-1 2-1 分析表面分析表面分析表面分析表面面力示意图面力示意图面力示意图面力示意图 静止流体静止流体（v=0,dv/dy=0v=0,dv/dy=0）运动的无粘性运动的无粘性流体流体 0 0） 定定义义压压强强（2-22-2）压强定义：压强定义：压强定义：压强定义：作用在流体表面；作用在流体表面；作用在流体表面；作用在流体表面；由相接触的流体或物体作用产生。由相接触的流体或物体作用产生。由相接触的流体或物体作用产生。由相接触的流体或物体作用产生。 包括法向力包括法向力包括法向力包括法向力 和切向力和切向力和切向力和切向力 。压强特性：压强特性：压强特性：压强特性：方向沿着作用面的内法线方向；方向沿着作用面的内法线方向；方向沿着作用面的内法线方向；方向沿着作用面的内法线方向；在静止流体或运动的无粘性流体中，数值在静止流体或运动的无粘性流体中，数值在静止流体或运动的无粘性流体中，数值在静止流体或运动的无粘性流体中，数值与所取作用面的空间方位无关。与所取作用面的空间方位无关。与所取作用面的空间方位无关。与所取作用面的空间方位无关。图图图图2-2 2-2 2-2 2-2 静止或无粘流静止或无粘流静止或无粘流静止或无粘流 体上的表面力体上的表面力体上的表面力体上的表面力静止流体的静止流体的静止流体的静止流体的特性特性特性特性2 2 2 2证明：证明：证明：证明：同理同理: :综上：综上：综上：综上：（2-32-3）1.对运动的无粘流体，差别是动平衡关系式中多了一项惯性力，而惯性力是质量力，也是三阶无限小量，和重力同时略去，可以得出和式2-3相同的结果。2.对于运动的粘性流体，由于产生切应力，一点处的法向应力是随对于运动的无粘性流体，和上面讨论所不同过该点的作用面在空间的方位变化而变化的。这时一点处的压强是由过该点任意3个互相垂直的微元面积上的法向应力的算术平均值确定。注：注：注：注： 2.2 2.2 流体静平衡微分方程流体静平衡微分方程流体静力学平衡微分方程及应用流体静力学平衡微分方程及应用流体静力学平衡微分方程及应用流体静力学平衡微分方程及应用 流体静力学平衡微分方程的证明流体静力学平衡微分方程的证明流体静力学平衡微分方程的证明流体静力学平衡微分方程的证明一、流体静平衡微分方程一、流体静平衡微分方程一、流体静平衡微分方程一、流体静平衡微分方程（2-4）1.1.上式即为流体静平衡微分方程式，也称它为欧拉静上式即为流体静平衡微分方程式，也称它为欧拉静平衡微分方程式。平衡微分方程式。2.2.表明在静止流体中，压强的变化和质量力密切相关。表明在静止流体中，压强的变化和质量力密切相关。压强变化的方向即为质量力不等于零的方向；压强变化的方向即为质量力不等于零的方向； 压压强在垂直于质量力的方向保持不变，即等压面和质强在垂直于质量力的方向保持不变，即等压面和质量力垂直。量力垂直。3.3.它描述了静平衡时压强、密度和单位质量的质量力它描述了静平衡时压强、密度和单位质量的质量力之间的关系。之间的关系。向量形式向量形式向量形式向量形式二、流体静平衡微分方程的证明二、流体静平衡微分方程的证明二、流体静平衡微分方程的证明二、流体静平衡微分方程的证明图图2-3 2-3 推导流体静平衡微分方程推导流体静平衡微分方程表面力体积力表面力体积力表面力体积力表面力体积力0 0 0 0同理：同理：同理：同理：（2-4a2-4a）即即即即（2-4b2-4b）Y Y方向：方向：2.3 2.3 静平衡微分方程的应用静平衡微分方程的应用重力作用下流体内部的压强重力作用下流体内部的压强重力作用下流体内部的压强重力作用下流体内部的压强 大气结构与国际标准大气大气结构与国际标准大气大气结构与国际标准大气大气结构与国际标准大气流体的相对平衡流体的相对平衡流体的相对平衡流体的相对平衡 一、重力作用下流体内部的压强一、重力作用下流体内部的压强一、重力作用下流体内部的压强一、重力作用下流体内部的压强参照图参照图参照图参照图2-32-32-32-3）：）：）：）：X X0 0Y Y0 0Z Zg g（2-52-5）（2-62-6）为常数为常数 图 2-4 静止流体中的压强 液面压强为液面压强为参照图参照图2-42-4）（2-72-7）（2-82-8）二、大气结构与国际标准大气二、大气结构与国际标准大气大气结构大气结构大气结构大气结构国际标准大气国际标准大气国际标准大气国际标准大气1 1 1 1、大气结构、大气结构、大气结构、大气结构层名 高度（km） 参数（P、 T、）运动其它对流层0-11随H而水平、垂直 各种天气现象同温层11-24T不变，平均216.7K 水平也称平流层中间层24-85HT先后电离层85-800HT迅速空气已电离外层800外空气极其稀薄注：现代军用飞机只能在对流层和平流层中飞行。注：现代军用飞机只能在对流层和平流层中飞行。2 2 2 2国际标准大气国际标准大气国际标准大气国际标准大气 国际航空界按照中纬度地区各季节中大气的平均值共同规定国际航空界按照中纬度地区各季节中大气的平均值共同规定了一种国际标准大气：了一种国际标准大气： 1 1空气被看作是完全气体；空气被看作是完全气体； 2 2大气的相对温度为零；大气的相对温度为零； 3 3以海平面高度计算为起点以海平面高度计算为起点H H0 0海平面处：海平面处： 4 4在高度在高度1100011000米以下，米以下， （2-92-9） 5 5在在H=1100024000mH=1100024000m左右，气温保持不变，左右，气温保持不变，T=216.7KT=216.7K。（2-52-5）对流层和平流层压强公式推导对流层和平流层压强公式推导对流层和平流层压强公式推导对流层和平流层压强公式推导对流层：对流层：将将2 29 9）代入积分代入积分平流层：平流层：同理：同理：（2-102-10）（2-112-11）注：注： 有了以上有了以上T T、p p的计算式，就可以制出国际大气表。的计算式，就可以制出国际大气表。 三、流体的相对平衡三、流体的相对平衡 对于等加速运动的流体，选相对坐标系，仍可以用静平衡微对于等加速运动的流体，选相对坐标系，仍可以用静平衡微对于等加速运动的流体，选相对坐标系，仍可以用静平衡微对于等加速运动的流体，选相对坐标系，仍可以用静平衡微分方程式分方程式分方程式分方程式2-42-42-42-4来研究其压力分布规律。下面以两个具体来研究其压力分布规律。下面以两个具体来研究其压力分布规律。下面以两个具体来研究其压力分布规律。下面以两个具体的例子来说明：的例子来说明：的例子来说明：的例子来说明：1 1 1 1、直线等加速运动、直线等加速运动、直线等加速运动、直线等加速运动; ; ; ;2 2 2 2、等角速度旋转容器中液体的平衡。、等角速度旋转容器中液体的平衡。、等角速度旋转容器中液体的平衡。、等角速度旋转容器中液体的平衡。1 1、直线等加速运动、直线等加速运动图图2-5 2-5 直线等加速运动的液体直线等加速运动的液体液体容器如图液体容器如图2-52-5示，示，将坐标系与小车固连有：将坐标系与小车固连有：（2-122-12）（2-42-4）1 1等压面为倾斜平面等压面为倾斜平面对式对式2-122-12分以下几种情况加以分析：分以下几种情况加以分析： 在等压面上，压强为常数，故由式在等压面上，压强为常数，故由式2-122-12可得等压面可得等压面方程为方程为 即等压面斜率为即等压面斜率为 平面平面 。（2-132-13）2 2 2 2自由液面为倾斜平面自由液面为倾斜平面自由液面为倾斜平面自由液面为倾斜平面（2-142-14）（2-152-15）（2-172-17）（2-162-16）自由液面（自由液面（自由液面（自由液面（ ）为等压面，也是倾斜平面。）为等压面，也是倾斜平面。）为等压面，也是倾斜平面。）为等压面，也是倾斜平面。对于过对于过对于过对于过0 0 0 0点的自由液面，则边界条件可写成点的自由液面，则边界条件可写成点的自由液面，则边界条件可写成点的自由液面，则边界条件可写成 ， 代入式代入式代入式代入式2-122-122-122-12可得压强分布为：可得压强分布为：可得压强分布为：可得压强分布为： 图图图图 2-6 2-6 2-6 2-6 自由液面下自由液面下自由液面下自由液面下 方的深度方的深度方的深度方的深度h h h h由上两式得：由上两式得：自由液面自由液面自由液面自由液面图图图图2-7 2-7 2-7 2-7 两种液体的分两种液体的分两种液体的分两种液体的分界面为等压面界面为等压面界面为等压面界面为等压面 3 3 3 3两种不同液体的分界面为等压面两种不同液体的分界面为等压面两种不同液体的分界面为等压面两种不同液体的分界面为等压面 如右图，在分界面上任取相邻两点，如右图，在分界面上任取相邻两点， 设这两点的压强差为设这两点的压强差为dpdp，则有，则有由上两式图由上两式图2-72-7中中 ）可得）可得又：又：即分界面为等压面。即分界面为等压面。 在直线等加速坐标系中，相对静止液体的等压面，自由在直线等加速坐标系中，相对静止液体的等压面，自由液面，分界面均为倾斜的平面，其斜率为液面，分界面均为倾斜的平面，其斜率为 综上所述综上所述综上所述综上所述: : : : 2 2 2 2、等角速度旋转容器中液体的平衡、等角速度旋转容器中液体的平衡、等角速度旋转容器中液体的平衡、等角速度旋转容器中液体的平衡图图图图2-8 2-8 2-8 2-8 旋转容中旋转容中旋转容中旋转容中液体的平衡液体的平衡液体的平衡液体的平衡同分析式同分析式同分析式同分析式2-122-122-122-12类似，由式类似，由式类似，由式类似，由式2-182-182-182-18可得以下结论：可得以下结论：可得以下结论：可得以下结论： 1) 1) 1) 1)等压面为抛物面；等压面为抛物面；等压面为抛物面；等压面为抛物面； 2) 2) 2) 2)自由面为抛物面；自由面为抛物面；自由面为抛物面；自由面为抛物面； 3) 3) 3) 3)液体与液体得分界面为抛物面。液体与液体得分界面为抛物面。液体与液体得分界面为抛物面。液体与液体得分界面为抛物面。（2-182-18）2.42.4静止流体的作用力静止流体的作用力静止流体对物体的作用力静止流体对物体的作用力静止流体对物体的作用力静止流体对物体的作用力静止流体对平面的作用力静止流体对平面的作用力静止流体对平面的作用力静止流体对平面的作用力 静止流体对曲面的作用力静止流体对曲面的作用力静止流体对曲面的作用力静止流体对曲面的作用力一、静止流体对物体的作用力一、静止流体对物体的作用力一、静止流体对物体的作用力一、静止流体对物体的作用力 静止流体对物体的表面力的合力，可以通过对整个表静止流体对物体的表面力的合力，可以通过对整个表面上各面积元表面力的积分而获得，即面上各面积元表面力的积分而获得，即 （2-222-22） 式中式中 是自由液面上的压强，是自由液面上的压强，h h是物体离开自由液面的是物体离开自由液面的深度。深度。二、静止流体对平面的作用力二、静止流体对平面的作用力二、静止流体对平面的作用力二、静止流体对平面的作用力1 1 1 1、水平平板：、水平平板：、水平平板：、水平平板：图图图图2-9 2-9 2-9 2-9 作用于倾斜平板上的力作用于倾斜平板上的力作用于倾斜平板上的力作用于倾斜平板上的力 2 2 2 2、倾斜平板：、倾斜平板：、倾斜平板：、倾斜平板：（2-232-23）（2-242-24）C C C C为形心，为形心，为形心，为形心，D D D D为合力为合力为合力为合力作用点作用点作用点作用点研究合力作用点压力中下心的计算方法研究合力作用点压力中下心的计算方法: :对对对对x x x x轴求矩：轴求矩：轴求矩：轴求矩：代入：代入：令令 有：有： （2-252-25）（2-262-26）（2-272-27）对对对对y y y y轴求矩：轴求矩：轴求矩：轴求矩：对于相对压力中心有： 三、静止流体对曲面的作用力三、静止流体对曲面的作用力三、静止流体对曲面的作用力三、静止流体对曲面的作用力图图 2-13 2-13 作用于曲面上的力作用于曲面上的力在在ABAB上取一微元面积上取一微元面积dAdAb b dldl，dldl为微元长度，为微元长度，b b为高度，则在为高度，则在x x方向有：方向有： （2-28） 为曲面在zoy面上的投影，为 面的几何中心在自由液面下的深度。注：在在y y方向有：方向有：（2-29）注：注：V V为压力体的体积，指具有自由表面和曲面为压力体的体积，指具有自由表面和曲面a-ba-b间所包围的间所包围的 体积，有实体积和虚体积之分：体积，有实体积和虚体积之分： 图2-14 曲面所对应的压力体的体积 （a实压力体 （b虚压力体2.52.5流体压强的测量流体压强的测量液柱式压力计液柱式压力计 单管测压计单管测压计 直接测量直接测量 U U形管测压计形管测压计 微压计微压计 斜管压力计斜管压力计 压电式压电式压力传感器压力传感器 间接测量间接测量 电阻应变式等电阻应变式等选何种形式压力计与测量选何种形式压力计与测量对象和测量精度有关对象和测量精度有关U U形管测压计形管测压计 PLAY PLAY倾斜管测压计倾斜管测压计PLAYPLAY1 1、液柱式压力计：、液柱式压力计：单管压力计：U形管压力计：pa R A 1 . r pa A 1 h R 2 3 r0指示液（2-30）（2-31）不能测量高压可测气体压强，不能与被测液体混合2 2压差计压差计 2 1 z2 z1 r r R3 3 r r0注：U 形压差计的读数R 的大小反映被测两点 间压强之差。（2-32）U形管压差计：微压计双液柱压差计） p1 p2 z1 r r1 z1 R r r2 p1 R p2 a R r0 倾斜式压差计倾斜式压差计略小于略小于（2-33）3、微压计：测量微小的压强差斜管压力计斜管压力计分析：读数放大了 倍，角度越小，高度越大。小 结作用力的分类流体压强及其性质流体静平衡微分方程应用液体对平面的作用力流体对曲面的作用力压强的测量原理