3.63.6空间两直线的相关位置空间两直线的相关位置.空间两直线的相关位置：空间两直线的相关位置：设直线设直线 过点过点 ，其方向矢量为，其方向矢量为直线直线 过点过点 ，其方向矢量为，其方向矢量为 和和 两直线共面的充要条件是：两直线共面的充要条件是： 和和 三个矢量共三个矢量共面面 即：三矢量的混合积为即：三矢量的混合积为0。1。相交：。相交：3。重合：。重合：2。平行：。平行：.4。两直线异面的充要条件是：。两直线异面的充要条件是：两直线的夹角：两直线的夹角：因而，在直角坐标糸中，因而，在直角坐标糸中，即：即：两直线垂直的充要条件是：两直线垂直的充要条件是：.两异面直线的距离两异面直线的距离显然，两相交或重合直线的距离为零。两平行直线的距离显然，两相交或重合直线的距离为零。两平行直线的距离等于其中一直线上的任一点到另一直线的距离。等于其中一直线上的任一点到另一直线的距离。与两异面直线都垂直相交的直线叫做两异面直线的公垂与两异面直线都垂直相交的直线叫做两异面直线的公垂线。两异面直线的距离就等于它们的公垂线夹于两异面线。两异面直线的距离就等于它们的公垂线夹于两异面直线间线段的长。直线间线段的长。空间两直线上点的最短距离叫做两条直线之间的距离。空间两直线上点的最短距离叫做两条直线之间的距离。.因而，两异面直线之间的距离因而，两异面直线之间的距离.两直线的公垂线方程两直线的公垂线方程公垂线公垂线 可以看作由过点可以看作由过点 ，以，以 为方位矢量为方位矢量的平面及过点的平面及过点 ，以，以 为方位矢量的平面的交为方位矢量的平面的交线。线。因而，公垂线因而，公垂线 的方程为：的方程为：.例例1。求通过点。求通过点P1，1，1且与两直线且与两直线都相交的直线的方程。都相交的直线的方程。解：解：过过 ， 过过设所求直线的方向矢量为设所求直线的方向矢量为v=(X,Y,Z),由由可得：可得：X：Y：Z=0：1：2所求直线的方程为：所求直线的方程为：那那么么p.例例2。已知两直线。已知两直线（1证明：两直线为异面直线；证明：两直线为异面直线；（2求两直线间的距离；（求两直线间的距离；（3求两直线的公垂线方程。求两直线的公垂线方程。解：（解：（1）两直线异面两直线异面（2）.（3将数据代入公垂线方程，将数据代入公垂线方程，即即它也可表示为：它也可表示为：这条公垂线的方程就是这条公垂线的方程就是z轴。轴。得得.习题讲解习题讲解P。132 1。 解：解：X轴的方程为：轴的方程为：（*）（1） 当当 不全为不全为0，且，且因而，方程（因而，方程（*）有唯一解，即）有唯一解，即x轴与已知直线相交。轴与已知直线相交。（2当当 且且 不全为不全为0，方程，方程（*）为矛盾方程，无解。因而，）为矛盾方程，无解。因而，x轴与已知直线平行。轴与已知直线平行。（3当当 =0，方程（，方程（*）为恒等式，）为恒等式，方程（方程（*）有无穷多解。因而，）有无穷多解。因而，x轴与已知直线重合。轴与已知直线重合。将它代入已知直线的方程，得：将它代入已知直线的方程，得：此时方程组此时方程组 （*）中）中 只有一个独立方程。只有一个独立方程。.P。133 6。解：解：即即 直线直线 通过原点通过原点O。.P。133 9。（。（1解：解：直线直线1：直线直线2：直线直线2过点过点N0，-3，-4），其方向矢量），其方向矢量设所求直线的方向矢量为设所求直线的方向矢量为v,因因v/ ,所以所以v=8,7,1,它与直线它与直线1的的交点设为交点设为M9，b，39）,注意到注意到NM， 共面，因而共面，因而解之，得解之，得因而，所求直线的方程为：因而，所求直线的方程为：MNvxyzo.P。133 9。（。（2解：解：设所求直线设所求直线L与与 的交点为的交点为P，它所对应的参数为，它所对应的参数为 L与与 的交点为的交点为Q，它所对应的参数为，它所对应的参数为则交点则交点P的坐标为：的坐标为：交点交点Q的坐标为：的坐标为：QP就是所求直线的方向矢量，即：就是所求直线的方向矢量，即：解之，得：解之，得：由此可求出直线由此可求出直线L的方程。的方程。.P.133 10过过P2，1，0作平面垂直已知直线，其方程为：作平面垂直已知直线，其方程为：即：即：直线和平面的交点直线和平面的交点M可由联立方程：可由联立方程：解出，解出，MP为所求直线。为所求直线。所求直线方程为：所求直线方程为：其方向向量为：其方向向量为：得：得：作业：作业：P.132 2.(1); 3.(1),(3); 4; 5.(2);.3.73.7空间直线与点的相关位置空间直线与点的相关位置.Ldv空间直线与点的相关位置：空间直线与点的相关位置：直线直线L：（1点点M在直线在直线L上，即点上，即点M的坐标满足直线的坐标满足直线L的方程；的方程；求点求点M到直线到直线L的距离：的距离：其中：其中：v=X,Y,Z,（2点点M在不直线在不直线L上，即点上，即点M的坐标不满足直线的坐标不满足直线L的方程；的方程；与点与点具体计算公式见具体计算公式见P。1341.习题讲解习题讲解P。134 1。直线。直线通过原点的条件是什么？通过原点的条件是什么？解：解：作业：作业：P。134 2。.3。8平面束平面束.定义：有轴平面束定义：有轴平面束空间中通过同一条直线的所有平面的集合叫做有轴空间中通过同一条直线的所有平面的集合叫做有轴平面束，并称平面束，并称L那条直线为平面束的轴。那条直线为平面束的轴。定理：如果两个平面定理：如果两个平面其中其中 和和 是不全为零的实数证见是不全为零的实数证见P。135136）。）。交于一条直线交于一条直线L，在求解具体问题时，有轴平面束的方程常写成：在求解具体问题时，有轴平面束的方程常写成：那么，以那么，以L为轴的有轴平面束的方程是：为轴的有轴平面束的方程是：.平行平面束平行平面束 空间中平行于同一平面的所有平面的集合叫做平空间中平行于同一平面的所有平面的集合叫做平行平面束。行平面束。（1如果两个平面如果两个平面为平行平面，为平行平面，其中其中 和和 是不全为零的实数是不全为零的实数,且且（否则左端恒为零）（否则左端恒为零）（2由平面由平面所决定的平面束的方程是所决定的平面束的方程是其中其中 为任意实数。（这是常用的形式）为任意实数。（这是常用的形式）那么，平行平面束的方程是：那么，平行平面束的方程是：.空间空间“有轴平面束和有轴平面束和“平行平面束这两个概念，退平行平面束这两个概念，退化到平面上，有化到平面上，有“中心直线束和中心直线束和“平行直线束的概平行直线束的概念：念：中心直线束：中心直线束： 如果给定了平面上的两条直线，如果给定了平面上的两条直线，若两直线相交，那么过交点的所有直线的集合叫做中心直若两直线相交，那么过交点的所有直线的集合叫做中心直线束，那个点叫做直线束的中心。线束，那个点叫做直线束的中心。若两直线平行，所有与它们平行的直线的集合叫做平行直若两直线平行，所有与它们平行的直线的集合叫做平行直线束，这些直线确定的方向叫做直线束的方向。线束，这些直线确定的方向叫做直线束的方向。方程方程当两直线相交时，表示中心直线束，其中当两直线相交时，表示中心直线束，其中 不全为零；不全为零；当两直线平行时，表示平行直线束，其中当两直线平行时，表示平行直线束，其中.下例用下例用“有轴平面束概念来求解是非常方便的。有轴平面束概念来求解是非常方便的。例例1：求通过直线：求通过直线L：且与平面且与平面相垂直的平面方程。相垂直的平面方程。解：解：过直线过直线L的平面束方程为：的平面束方程为：即：即：由于所求平面与已知平面垂直，因而由于所求平面与已知平面垂直，因而即即取取（1）代入代入1），得），得.P.139 4.解：解：L：过直线过直线L的平面束方程为：的平面束方程为：即：即：由于点由于点P4，1，2到所求平面的距离为到所求平面的距离为d=3因而，因而，解之，得解之，得因而，所求平面的方程是：因而，所求平面的方程是：.P。139 8。直线方程直线方程L：的糸数应满足什么条件才能使该直线在坐标平面的糸数应满足什么条件才能使该直线在坐标平面xoz内内？解：解：如果直线如果直线L在坐标面在坐标面xoz内，那么：坐标面内，那么：坐标面xoz一定是在过直线一定是在过直线L的平面束上。的平面束上。过过L的平面束方程为：的平面束方程为：即：即：坐标面坐标面xoz的方程为：的方程为：y=0即：即：所以，所以，.如果直线以对称式方程表示：如果直线以对称式方程表示： 那么，如前所述，两那么，如前所述，两直线共面的充要条件是：直线共面的充要条件是：如直线以一般方程表示：如直线以一般方程表示： 我们将证明，两直线共我们将证明，两直线共面的充要条件是：面的充要条件是：.证明：证明：通过直线通过直线 的任意平面可表示为：的任意平面可表示为：通过直线通过直线 的任意平面可表示为：的任意平面可表示为：要使两直线共面，就是说存在不全为零的实数要使两直线共面，就是说存在不全为零的实数 使上使上面两个平面代表同一平面。面两个平面代表同一平面。经整理得到一个以经整理得到一个以 为变量的如为变量的如P。138 所示的四元所示的四元一次线性方程组。一次线性方程组。注意到注意到 不全为零，即要求四元一次线性方程组不全为零，即要求四元一次线性方程组有非零解，因而，糸数行列式必须为零，命题得证。有非零解，因而，糸数行列式必须为零，命题得证。也就是说，存在不等于零的实数也就是说，存在不等于零的实数m,使下列恒等式成立：使下列恒等式成立：作业作业 P。139 2；3；6.