圆的参数方程圆的参数方程 一、复习引入一、复习引入一、复习引入 2.2.2.2.圆的一般方程：圆的一般方程：圆的一般方程：圆的一般方程：1. 1. 圆的标准方程圆的标准方程圆的标准方程圆的标准方程： 著名数学家柯西说：著名数学家柯西说：著名数学家柯西说：著名数学家柯西说：“ “给我五个系数，我将画出一个给我五个系数，我将画出一个给我五个系数，我将画出一个给我五个系数，我将画出一个大象，给我六个系数，大象将会摇动尾巴。大象，给我六个系数，大象将会摇动尾巴。大象，给我六个系数，大象将会摇动尾巴。大象，给我六个系数，大象将会摇动尾巴。” ” 柯西说的第柯西说的第柯西说的第柯西说的第六个系数就是参数及参数方程。六个系数就是参数及参数方程。六个系数就是参数及参数方程。六个系数就是参数及参数方程。 12.1012.10圆的参数方程圆的参数方程 满足条件满足条件 的方程的方程已知定圆已知定圆已知定圆已知定圆OO： ，定点定点定点定点A A（3R3R，0 0），），），），P P是圆是圆是圆是圆OO上任意上任意上任意上任意一点，求线段一点，求线段一点，求线段一点，求线段PAPA的中点的中点的中点的中点MM的轨迹方程。的轨迹方程。的轨迹方程。的轨迹方程。移项可得移项可得移项可得移项可得： 两式平方相加得两式平方相加得两式平方相加得两式平方相加得： 因此所求方程是因此所求方程是因此所求方程是因此所求方程是： 参数参数参数参数沟通了已知与未知间的联系，激活了数学问题。沟通了已知与未知间的联系，激活了数学问题。沟通了已知与未知间的联系，激活了数学问题。沟通了已知与未知间的联系，激活了数学问题。3.3.3.3.举例举例举例举例解：解：解：解：设点设点设点设点M M M M（x,y) x,y) x,y) x,y) 设设设设 由中点公式得由中点公式得由中点公式得由中点公式得(Rcos, Rsin)则点则点则点则点P P P P的坐标是的坐标是的坐标是的坐标是(Rcos,Rsin(Rcos,Rsin(Rcos,Rsin(Rcos,Rsin） 由图示可知，圆上任意一点的坐标由图示可知，圆上任意一点的坐标由图示可知，圆上任意一点的坐标由图示可知，圆上任意一点的坐标X X X X，Y Y Y Y都是都是都是都是的函数的函数的函数的函数 (1)(1)1. 1.分析圆上任一点与旋转角分析圆上任一点与旋转角分析圆上任一点与旋转角分析圆上任一点与旋转角 的关系的关系的关系的关系方程组（）叫做圆的参数方程，方程组（）叫做圆的参数方程，方程组（）叫做圆的参数方程，方程组（）叫做圆的参数方程，叫做参数叫做参数叫做参数叫做参数 两式平方后得两式平方后得两式平方后得两式平方后得 利用三角公式利用三角公式利用三角公式利用三角公式 两式相加得两式相加得两式相加得两式相加得 rsinrcos一、圆心坐标是一、圆心坐标是一、圆心坐标是一、圆心坐标是O (0,0)O (0,0)O (0,0)O (0,0)，半径是，半径是，半径是，半径是r r r r的圆的参数方程的圆的参数方程的圆的参数方程的圆的参数方程 2. 2.举例：举例：举例：举例： 以坐标原点为圆心，以以坐标原点为圆心，以以坐标原点为圆心，以以坐标原点为圆心，以2 2为半径的为半径的为半径的为半径的 圆圆圆圆此例说明：此例说明：此例说明：此例说明：参数参数参数参数 的范围，确定了曲线的范围。的范围，确定了曲线的范围。的范围，确定了曲线的范围。的范围，确定了曲线的范围。3. 3. 圆的参数方程圆的参数方程圆的参数方程圆的参数方程 表示从表示从表示从表示从XX轴正向起逆时针旋转的角轴正向起逆时针旋转的角轴正向起逆时针旋转的角轴正向起逆时针旋转的角(1)(1)(1)(1)方程组方程组方程组方程组 表示的曲线形状是表示的曲线形状是表示的曲线形状是表示的曲线形状是 以原点为圆心，以以原点为圆心，以以原点为圆心，以以原点为圆心，以 为半径的圆为半径的圆为半径的圆为半径的圆 (2)(2)(2)(2)方程组方程组方程组方程组表示的曲线形状是表示的曲线形状是表示的曲线形状是表示的曲线形状是(3)(3)(3)(3)方程组方程组方程组方程组表示的曲线形状是表示的曲线形状是表示的曲线形状是表示的曲线形状是以坐标原点为圆心，以以坐标原点为圆心，以以坐标原点为圆心，以以坐标原点为圆心，以2 2为半径的为半径的为半径的为半径的左半左半左半左半 圆圆圆圆参数参数参数参数 的几何意义是的几何意义是的几何意义是的几何意义是: : 1 1 1 11 1参参参参参参数数数数数数方方方方方方程程程程程程定定定定定定义义义义义义：在在在在在在直直直直直直角角角角角角坐坐坐坐坐坐标标标标标标系系系系系系中中中中中中，如如如如如如果果果果果果曲曲曲曲曲曲线线线线线线上上上上上上任任任任任任意意意意意意一一一一一一点点点点点点的的的的的的坐坐坐坐坐坐标标标标标标、，都是某个变量，都是某个变量，都是某个变量，都是某个变量，都是某个变量，都是某个变量 t t t t t t 的函数的函数的函数的函数的函数的函数(2)(2)并并并并并并且且且且且且对对对对对对于于于于于于 t t t t t t 的的的的的的每每每每每每一一一一一一个个个个个个允允允允允允许许许许许许值值值值值值，由由由由由由方方方方方方程程程程程程组组组组组组（）所所所所所所确确确确确确定定定定定定的的的的的的点点点点点点（X X X XX X，Y Y Y YY Y）都都都都都都在在在在在在这这这这这这条条条条条条曲曲曲曲曲曲线线线线线线上上上上上上，那那那那那那么么么么么么方方方方方方程程程程程程组组组组组组（2 2 2 22 2）就就就就就就叫叫叫叫叫叫做做做做做做这这这这这这条条条条条条曲曲曲曲曲曲线线线线线线的的的的的的参参参参参参数数数数数数方方方方方方程程程程程程，联联联联联联系系系系系系X X X XX X、Y Y Y YY Y之之之之之之间间间间间间关关关关关关系系系系系系的的的的的的变变变变变变量量量量量量 t t t t t t 叫做参变量，简称参数。叫做参变量，简称参数。叫做参变量，简称参数。叫做参变量，简称参数。叫做参变量，简称参数。叫做参变量，简称参数。注意：注意：注意：注意：注意：注意： 定义中关键词：定义中关键词：定义中关键词：定义中关键词：定义中关键词：定义中关键词：“ “、，都是某个变量、，都是某个变量、，都是某个变量、，都是某个变量、，都是某个变量、，都是某个变量 t t t t t t 的函数的函数的函数的函数的函数的函数” ” 参数参数参数参数参数参数 t t t t t t 是联系是联系是联系是联系是联系是联系X X X XX X和和和和和和Y Y Y YY Y的的的的的的“ “桥梁桥梁桥梁桥梁桥梁桥梁” ”（5 5 5 55 5）方程）方程）方程）方程）方程）方程三、概念解释三、概念解释三、概念解释三、概念解释（4 4 4 4）方程组）方程组）方程组）方程组 （、是变量）是变量）是变量）是变量）请记下请记下举例举例举例举例: : : :下面哪些是参数方程下面哪些是参数方程(1)(2)(3)(1)(2)(3)是是是是参数方程参数方程参数方程参数方程（4 4 4 4）不是参数方程。）不是参数方程。）不是参数方程。）不是参数方程。 因为因为因为因为X X X X，Y Y Y Y之间缺少联系的之间缺少联系的之间缺少联系的之间缺少联系的“ “桥梁桥梁桥梁桥梁” ”（5 5 5 55 5）不是参数方程。）不是参数方程。）不是参数方程。）不是参数方程。）不是参数方程。）不是参数方程。 因为、不是因为、不是因为、不是因为、不是因为、不是因为、不是 的函数的函数的函数的函数的函数的函数2 2 2 2普普普普通通通通方方方方程程程程定定定定义义义义：相相相相对对对对于于于于参参参参数数数数方方方方程程程程，在在在在直直直直角角角角坐坐坐坐标标标标系系系系中中中中，如如如如果果果果直直直直接接接接给给给给出出出出曲曲曲曲线线线线上上上上点点点点的的的的坐坐坐坐标标标标X X X X，Y Y Y Y之之之之间间间间的的的的关关关关系的方程叫做曲线的普通方程系的方程叫做曲线的普通方程系的方程叫做曲线的普通方程系的方程叫做曲线的普通方程举例举例举例举例 （2 2 2 2）方程）方程）方程）方程 是圆的普通方程是圆的普通方程是圆的普通方程是圆的普通方程是圆的参数方程是圆的参数方程是圆的参数方程是圆的参数方程（1 1 1 1）方程）方程）方程）方程四、圆心坐标是四、圆心坐标是四、圆心坐标是四、圆心坐标是C (a,b)C (a,b)C (a,b)C (a,b)，半径是，半径是，半径是，半径是r r r r的圆的参数方程的圆的参数方程的圆的参数方程的圆的参数方程 设设设设表表表表示示示示从从从从X X X X轴轴轴轴正正正正方方方方向向向向起起起起逆逆逆逆时时时时针针针针方方方方向向向向旋旋旋旋转转转转的的的的角角角角，P(X,Y)P(X,Y)P(X,Y)P(X,Y)为为为为圆上任意一点圆上任意一点圆上任意一点圆上任意一点 由图示可得由图示可得由图示可得由图示可得 方程组（方程组（4 4）叫做）叫做 圆心是圆心是C (a,b)C (a,b)， 半径是半径是r r的圆的的圆的参数参数参数参数方程方程 （4 4）请记下请记下这幅图这幅图rcosrsinr2.2.2.2.将方程组（将方程组（将方程组（将方程组（4 4 4 4）化为普通方程）化为普通方程）化为普通方程）化为普通方程方程组（方程组（方程组（方程组（方程组（方程组（4 4 4 44 4）移项得）移项得）移项得）移项得）移项得）移项得 两式平方后得两式平方后得两式平方后得两式平方后得两式平方后得两式平方后得 利用三角公式利用三角公式利用三角公式利用三角公式 可得可得可得可得 参数方程化参数方程化为普通方程方法为普通方程方法就是消参数就是消参数两式相加得两式相加得两式相加得两式相加得3 3 3 3、比较圆的参数方程、比较圆的参数方程、比较圆的参数方程、比较圆的参数方程：五、课堂巩固五、课堂巩固五、课堂巩固五、课堂巩固 1.1.1.1.写出下列圆的参数方程写出下列圆的参数方程写出下列圆的参数方程写出下列圆的参数方程 以原点为圆心，以以原点为圆心，以以原点为圆心，以以原点为圆心，以4 4 4 4为半径的圆的参数方程为半径的圆的参数方程为半径的圆的参数方程为半径的圆的参数方程。 以以以以C (-1,2)C (-1,2)C (-1,2)C (-1,2)为圆心，以为圆心，以为圆心，以为圆心，以2 2 2 2为半径的圆的参数方程。为半径的圆的参数方程。为半径的圆的参数方程。为半径的圆的参数方程。2 2 2 2写出下列圆的参数方程的圆心坐标和半径写出下列圆的参数方程的圆心坐标和半径写出下列圆的参数方程的圆心坐标和半径写出下列圆的参数方程的圆心坐标和半径 答：（答：（答：（答：（1 1 1 1）圆心）圆心）圆心）圆心O(0O(0O(0O(0，0)0)0)0)， 半径半径半径半径答：（答：（答：（答：（2 2 2 2）圆心）圆心）圆心）圆心C(0C(0C(0C(0，1)1)1)1)，半径，半径，半径，半径（22）（11） 答：（答：（答：（答：（1 1）的普通方程是答：（）的普通方程是答：（）的普通方程是答：（）的普通方程是答：（2 2）的普通方程是）的普通方程是）的普通方程是）的普通方程是3.3.3.3.将下列参数方程化为普通方程将下列参数方程化为普通方程将下列参数方程化为普通方程将下列参数方程化为普通方程 4.4.参数方程参数方程参数方程参数方程 它表示的曲线形状是。它表示的曲线形状是。它表示的曲线形状是。它表示的曲线形状是。五、课堂巩固五、课堂巩固五、课堂巩固五、课堂巩固 答：以原点为圆心，以答：以原点为圆心，以答：以原点为圆心，以答：以原点为圆心，以2 2 2 2为半径的上半圆为半径的上半圆为半径的上半圆为半径的上半圆6.6.6.6.二次曲线二次曲线二次曲线二次曲线 (是参数）的左焦点坐标是。是参数）的左焦点坐标是。是参数）的左焦点坐标是。是参数）的左焦点坐标是。答：左焦点坐标是（答：左焦点坐标是（答：左焦点坐标是（答：左焦点坐标是（-4-4-4-4，0 0 0 0） 此题是上海市高考试题此题是上海市高考试题此题是上海市高考试题此题是上海市高考试题 5.5.参数方程参数方程参数方程参数方程 化为普通方程的结果是化为普通方程的结果是化为普通方程的结果是化为普通方程的结果是 。 此题是上海市高考试题此题是上海市高考试题此题是上海市高考试题此题是上海市高考试题 六、例题分析六、例题分析六、例题分析 解：（解：（解：（解：（1 11 1）将）将）将）将 代入参数方程得代入参数方程得代入参数方程得代入参数方程得P P P P1 1 1 1点坐标是（点坐标是（点坐标是（点坐标是（ ） P P P P2 2 2 2 点坐标是点坐标是点坐标是点坐标是（ ）（1 1 1 1）分析：圆的参数方程中的每一个参数值，）分析：圆的参数方程中的每一个参数值，）分析：圆的参数方程中的每一个参数值，）分析：圆的参数方程中的每一个参数值，在圆上有确定的一个点与之对应在圆上有确定的一个点与之对应在圆上有确定的一个点与之对应在圆上有确定的一个点与之对应 已知圆已知圆已知圆已知圆O O O O的参数方程是的参数方程是的参数方程是的参数方程是设旋转角设旋转角设旋转角设旋转角 所对应的圆所对应的圆所对应的圆所对应的圆O O O O上的点是上的点是上的点是上的点是将将将将 代入参数方程得代入参数方程得代入参数方程得代入参数方程得（1 1 1 1）已知）已知）已知）已知 求点求点求点求点 P P P P1 1 1 1 与与与与P P P P2 2 2 2 的坐标的坐标的坐标的坐标（2 2 2 2）已知）已知）已知）已知 P P P P3 3 3 3 的坐标是（的坐标是（的坐标是（的坐标是（ ），求），求），求），求3 3 3 3 的值。的值。的值。的值。 六、例题分析六、例题分析 已知圆已知圆已知圆已知圆O O O O的参数方程是的参数方程是的参数方程是的参数方程是设旋转角设旋转角设旋转角设旋转角 所对应的圆所对应的圆所对应的圆所对应的圆O O O O上的点是上的点是上的点是上的点是（1 1 1 1）已知）已知）已知）已知 求点求点求点求点 P P P P1 1 1 1 与与与与P P P P2 2 2 2 的坐标的坐标的坐标的坐标（2 2 2 2）已知）已知）已知）已知 P P P P3 3 3 3 的坐标是（的坐标是（的坐标是（的坐标是（ ），求），求），求），求3 3 3 3 的值。的值。的值。的值。 解：（解：（解：（解：（2 22 2）由于）由于）由于）由于P PP P3 33 3 的坐标是（的坐标是（的坐标是（的坐标是（ ）代入参数方程左边）代入参数方程左边）代入参数方程左边）代入参数方程左边 （2 2 2 2）分析：对于圆上的每一个点，在其参数方程中，有确定的角）分析：对于圆上的每一个点，在其参数方程中，有确定的角）分析：对于圆上的每一个点，在其参数方程中，有确定的角）分析：对于圆上的每一个点，在其参数方程中，有确定的角与之对应与之对应与之对应与之对应 得得得得 因为所以因为所以因为所以因为所以七、归纳小结：七、归纳小结：七、归纳小结：七、归纳小结： 1 11 1形如形如形如形如 其中、都是变量其中、都是变量其中、都是变量其中、都是变量 t t t t 的函数，称为参数方程，的函数，称为参数方程，的函数，称为参数方程，的函数，称为参数方程，t t t t 叫做参数。叫做参数。叫做参数。叫做参数。 2 22 2参数方程组表示圆参数方程组表示圆参数方程组表示圆参数方程组表示圆3. 3. 3. 3. 参数方程组表示圆参数方程组表示圆参数方程组表示圆参数方程组表示圆4.4.4.4.参数方程化为普通方程方法就是消参数。参数方程化为普通方程方法就是消参数。参数方程化为普通方程方法就是消参数。参数方程化为普通方程方法就是消参数。 5.5.5.5.建立参数方程的方法，就是利用第三变量建立参数方程的方法，就是利用第三变量建立参数方程的方法，就是利用第三变量建立参数方程的方法，就是利用第三变量表示曲线上任意一点坐标表示曲线上任意一点坐标表示曲线上任意一点坐标表示曲线上任意一点坐标X X X X、Y Y Y Y。 在圆的参数方程中在圆的参数方程中在圆的参数方程中在圆的参数方程中表示从表示从表示从表示从X XX X轴正方向起逆时针旋转角轴正方向起逆时针旋转角轴正方向起逆时针旋转角轴正方向起逆时针旋转角八、作业：八、作业：八、作业：八、作业： 课本课本课本课本P67P67P67P67练习练习练习练习1.21.21.21.2习题册习题册习题册习题册P15P15P15P15习题六习题六习题六习题六1.21.21.21.2