6统计活动：结婚年龄的变化统计活动：结婚年龄的变化7相关性相关性8最小二乘估计最小二乘估计8最最小小二二乘乘估估计课堂互动讲练课堂互动讲练知能优化训练知能优化训练课前自主学案课前自主学案学习目标学习目标1.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系关系2学会用不同估算方法描述两个变量线性相关学会用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程，知道最小二乘法的思想，能够根据给出的过程，知道最小二乘法的思想，能够根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程的线性回归方程系数公式建立线性回归方程课前自主学案前自主学案1抽样方法有抽样方法有_、_、_2用样本估计总体主要有：用样本的用样本估计总体主要有：用样本的_估估计计总总体体的的频频率率分分布布；用用样样本本的的_估估计计总总体体的的数数字字特特征征3样本的数字特征主要有样本的数字特征主要有_、_、_、_及及_温故夯基温故夯基温故夯基温故夯基简单随机抽样简单随机抽样系统抽样系统抽样分层抽样分层抽样频率分布频率分布数字特征数字特征平均数平均数众数众数中位数中位数方差方差标准差标准差4在现实生活中两个变量之间的函数关系是在现实生活中两个变量之间的函数关系是一种一种_的关系的关系确定确定知新益能知新益能知新益能知新益能1变量间关系变量间关系(1)函数关系：两变量之间的函数关系：两变量之间的 _关系；关系；(2)相关关系：两变量之间的相关关系：两变量之间的_关系关系2散点图散点图在在考考虑虑两两个个量量的的关关系系时时，为为了了对对变变量量之之间间的的关关系系有有一一个个大大致致的的了了解解，人人们们通通常常将将_的的点点描描出出来来，这这些些点点就就组组成成了了变变量量之之间间的的一一个个图图，通常称这种图为变量之间的散点图通常称这种图为变量之间的散点图确定性确定性不确定性不确定性变量所对应变量所对应3曲线拟合曲线拟合从散点图上可以看出，如果变量之间从散点图上可以看出，如果变量之间_，这些点会有一个，这些点会有一个_的的大大致致趋趋势势，这这种种趋趋势势通通常常可可以以用用一一条条_来来近近似似，这这样样近近似似的的过程称为曲线拟合过程称为曲线拟合4相关关系的分类相关关系的分类(1)线线性性相相关关：若若两两个个变变量量x和和y的的散散点点图图中中，所所有有点点看看上上去去都都在在_附附近近波波动，则称变量间是线性相关的动，则称变量间是线性相关的存在着某种关系存在着某种关系集中集中光滑的曲线光滑的曲线一条直线一条直线y1(abx1)2y2(abx2)2yn(abxn)2(2)非非线线性性相相关关：若若散散点点图图上上所所有有点点看看上上去去都都在在某某条条曲曲线线(不不是是一一条条直直线线)附附近近波波动动，则则称称此此相关为非线性相关的此时，可以用相关为非线性相关的此时，可以用_来拟合来拟合5最小二乘法最小二乘法(1)定定义义：如如果果有有n个个点点(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，可可以以用用下下面面的的表表达达式式来来刻刻画画这这些些点与直线点与直线yabx的接近程度：的接近程度：_.使使得得上上式式达达到到_的的直直线线yabx就就是是我我们们所所要要求的直线，这种方法称为最小二乘法求的直线，这种方法称为最小二乘法一条曲线一条曲线最小值最小值(2)应应用用：利利用用最最小小二二乘乘法法估估计计时时，要要先先作作出出数数据据的的_如如果果_呈呈现现出出线线性性关关系系，可可以以用用最最小小二二乘乘法法估估计计出出线线性性回回归归方方程程；如如果果_呈呈现现出出其其他他的的曲曲线线关关系系，我我们们就就要要利利用用其其他他的的工工具具进进行行拟合拟合散点图散点图散点图散点图散点图散点图6线性回归方程线性回归方程b_a_， 这这样样得得到到的的直直线线方方程程yabx称称为为线线性性回回归归方方程程，a，b是是线线性回归方程的性回归方程的_系数系数1函数关系与相关关系有何异同点？函数关系与相关关系有何异同点？问题探究问题探究问题探究问题探究提示：提示：关系关系异同点异同点 函数关系函数关系相关关系相关关系相同点相同点两者均是指两个变量之间的关系两者均是指两个变量之间的关系关系关系异同点异同点 函数关系函数关系相关关系相关关系不同点不同点是一种确定是一种确定性的关系性的关系是一种非确定性的关系是一种非确定性的关系是两个变量是两个变量之间的关系之间的关系一个为变量，另一个为一个为变量，另一个为随机变量；随机变量；两个都是随两个都是随机变量机变量是一种因果是一种因果关系关系不一定是因果关系，也可不一定是因果关系，也可能是伴随关系能是伴随关系是一种理想是一种理想关系模型关系模型是更为一般的情况是更为一般的情况2.如如何何利利用用散散点点图图来来研研究究两两个个变变量量之之间间是是否否存在某种关系？存在某种关系？提提示示：在在研研究究两两个个变变量量之之间间是是否否存存在在某某种种关关系时，结合所画的散点图来判断系时，结合所画的散点图来判断(1)如如果果所所有有的的样样本本点点都都落落在在某某一一函函数数曲曲线线上上，就就用用该该函函数数来来描描述述变变量量之之间间的的关关系系，即即变变量量之间具有函数关系之间具有函数关系(2)如果所有的样本点都落在某一函数曲线附如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间就有相关关系近，变量之间就有相关关系3回归直线方程的应用有哪些？回归直线方程的应用有哪些？提提示示：(1)描描述述两两变变量量之之间间的的依依存存关关系系；利利用用线线性性回回归归方方程程即即可可定定量量描描述述两两个个变变量量间间依依存存的的数数量关系量关系(2)利利用用回回归归方方程程进进行行预预测测或或规规定定y值值的的变变化化，通通过过控控制制x的的范范围围来来实实现现目目标标如如已已经经得得到到了了空空气气中中NO的的浓浓度度和和汽汽车车流流量量间间的的回回归归方方程程，即即可可通通过过控控制制汽汽车车流流量量来来控控制制空空气气中中的的NO的的浓度浓度(3)注意作回归分析要有实际意义，回归分析前，注意作回归分析要有实际意义，回归分析前，最好先作出散点图，确定合适的拟合模型最好先作出散点图，确定合适的拟合模型4“回回归归直直线线”方方程程能能否否按按解解析析几几何何中中求求直直线方程的方法来求？线方程的方法来求？提示：提示：不能求回归直线方程的方法用最小不能求回归直线方程的方法用最小二乘法因为所有数据点都分布在一条直线二乘法因为所有数据点都分布在一条直线附近时，这样的直线可画出许多条，而附近时，这样的直线可画出许多条，而“回回归直线归直线”是这些直线中是这些直线中“最贴近最贴近”已知数据已知数据点的，但不一定过数据中的某个点，故一般点的，但不一定过数据中的某个点，故一般不按解析几何中求直线方程的方法来求不按解析几何中求直线方程的方法来求课堂互堂互动讲练画散点图并判断相关关系画散点图并判断相关关系考点一考点一考点突破考点突破考点突破考点突破在在现现实实生生活活中中存存在在着着大大量量的的相相关关关关系系，如如何何判判断断和和描描述述相相关关关关系系，统统计计学学发发挥挥着着非非常常重重要要的的作作用用由由于于变变量量间间的的相相关关关关系系带带有有不不确确定定性性，这这就就需需要要通通过过收收集集大大量量的的数数据据，对对数数据据进进行行统统计分析，发现规律，从而作出科学的判断计分析，发现规律，从而作出科学的判断下面是水稻产量与施化肥量的一组观下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据：测数据：例例例例1 1施化肥施化肥量量15202530354045水稻产水稻产量量320 330 360 410 460 470 480(1)将上表中的数据制成散点图；将上表中的数据制成散点图；(2)你你能能从从散散点点图图中中发发现现施施化化肥肥量量与与水水稻稻产产量量近近似似成成什什么么关关系系吗吗？水水稻稻产产量量会会一一直直随随施施化化肥量的增加而增长吗？肥量的增加而增长吗？(3)若若近近似似成成线线性性关关系系，请请画画出出一一条条直直线线来来近近似表示这种线性关系似表示这种线性关系【思思路路点点拨拨】以以横横轴轴表表示示施施化化肥肥量量，纵纵轴轴表表示示水水稻稻产产量量，作作出出散散点点图图，若若所所有有点点分分布布在在一一条条直直线线(或或曲曲线线)附附近近，则则水水稻稻产产量量和和施施化肥量之间具有相关关系化肥量之间具有相关关系【解解】(1)散点图如图所示：散点图如图所示：(2)从图中可以发现施化肥量与水稻产量具有线从图中可以发现施化肥量与水稻产量具有线性相关关系，当施化肥量由小到大变化时，水性相关关系，当施化肥量由小到大变化时，水稻产量由小变大，图中的数据点大致分布在一稻产量由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系成线性相关关系但水稻产量只是在一定范围内随着化肥施用但水稻产量只是在一定范围内随着化肥施用量的增加而增长量的增加而增长(3)如上图所示如上图所示【名名师师点点评评】判判断断两两个个变变量量之之间间是是否否具具有有相相关关关关系系有有两两种种方方法法：一一种种方方法法是是直直观观感感觉觉判判断断，这这时时要要用用到到已已有有的的知知识识和和生生活活经经验验等等；另另一一种种方方法法是是根根据据散散点点图图判判断断常常采采用用的的是是第第二二种种方方法法一一般般来来说说判判断断两两个个变变量量之之间间是是否否具具有有相相关关关关系系时时，若若两两个个变变量量具具有有相相关关关关系系，需需要要进进一一步步判判断断是是线线性性相相关关，还还是是非非线线性相关性相关自我挑战自我挑战1某灯泡生产厂家为了提高灯泡的某灯泡生产厂家为了提高灯泡的使用寿命，研究灯丝的精细使用寿命，研究灯丝的精细x(mm)与灯泡的与灯泡的使用寿命使用寿命y(小时小时)之间的关系，得到如下检测之间的关系，得到如下检测数据：数据：编编号号i12345678910xi(mm)0.1000.1050.1100.1150.1200.1250.1300.1350.1400.145yi(h)3170321033503400330034503370350035103620编编号号i11121314151617181920xi(mm)0.1500.1550.1600.1650.1700.1750.1800.1850.1900.195yi(h)3490359036803700357538703620353036803570以横轴表示灯丝的精细以横轴表示灯丝的精细x(mm)，纵轴表示灯泡，纵轴表示灯泡的使用寿命的使用寿命y(小时小时)，根据这些数据作出散点图，根据这些数据作出散点图，并研究它们是否具有一定的相关关系并研究它们是否具有一定的相关关系解：解：这组检测数据的散点图，如图所示：这组检测数据的散点图，如图所示：显显然然，这这些些点点分分布布在在某某条条直直线线附附近近因因此此，这这两两个变量具有一定的相关性个变量具有一定的相关性求回归直线方程求回归直线方程考点二考点二考点二考点二据据最最小小二二乘乘法法思思想想的的公公式式，用用待待定定系系数数法法求求出出a，b，从而确定回归直线方程，从而确定回归直线方程 某某化化工工厂厂的的原原料料中中，有有A和和B两两种种有有效效成成分分，现现随随机机抽抽取取了了10份份原原料料样样品品进进行行抽抽样样检检测测，测得测得A和和B的含量如下表所示：的含量如下表所示：例例例例2 2i123456789 10x 67 54 72 64 39 22 58 43 46 34y 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13其其中中x表表示示成成分分A的的百百分分含含量量x%，y表表示示成成分分B的的百分含量百分含量y%.(1)作出两个变量作出两个变量y与与x的散点图；的散点图；(2)两两个个变变量量y与与x是是否否线线性性相相关关？若若是是线线性性相相关关，求出线性回归方程求出线性回归方程【解解】(1)按按照照y从从小小到到大大的的顺顺序序调调整整表表中中数数据据(这这样样有有利利于于描描点点，如如用用画画图图软软件件则则不不需需要要调调整整表格数据表格数据)，如下表所示：如下表所示：x 22 34 54 43 39 46 64 58 72 67y 11 13 15 16 16 17 19 20 23 24散点图如图所示：散点图如图所示：(2)观察散点图可知，观察散点图可知，y与与x是线性相关关系；是线性相关关系；下面求线性回归方程：下面求线性回归方程：i12345678910合合计计xi22345443394664587267499yi11131516161719202324174xiyi242442 810 688 624 78212161160165616089228x48411562916184915212116409633645184448927175【名名师师点点评评】用用线线性性回回归归方方程程进进行行数数据据拟拟合合的的一一般般步步骤骤是是：(1)把把数数据据列列成成表表格格；(2)作作散散点点图图；(3)判判断断是是否否线线性性相相关关；(4)若若线线性性相相关关，求求出出系系数数b，a的的值值(一一般般也也列列成成表表格格的的形形式式，用用计计算算器器或或计计算算机机计计算算)；(5)写写出出回回归归直直线方程线方程yabx.利利用用回回归归直直线线，我我们们可可以以进进行行预预测测若若回回归归直直线线方方程程为为yabx，则则xx0处处的的估估计计值值为为yabx0.下下表表提提供供了了某某厂厂节节能能降降耗耗技技术术改改造造后后生生产产甲甲产产品品过过程程中中记记录录的的产产量量x(吨吨)与与相相应应的的生生产产能能耗耗y(吨标准煤吨标准煤)的几组对照数据：的几组对照数据：利用回归方程对总体进行估计利用回归方程对总体进行估计考点三考点三考点三考点三例例例例3 3x3456y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图；请画出上表数据的散点图；(2)请请根根据据上上表表提提供供的的数数据据，用用最最小小二二乘乘法法求求出出y关于关于x的线性回归方程的线性回归方程yabx；(3)已已知知该该厂厂技技改改前前100吨吨甲甲产产品品的的生生产产能能耗耗为为90吨吨标标准准煤煤，试试根根据据(2)求求出出的的线线性性回回归归方方程程，预预测测生生产产100吨吨甲甲产产品品的的生生产产能能耗耗比比技技改改前前降降低低了了多少吨标准煤？多少吨标准煤？(参考数值：参考数值：32.5435464.566.5)【解解】(1)由由题题设设所所给给数数据据，可可得得散散点点图图如如图图因此，所求的线性回归方程为因此，所求的线性回归方程为y0.350.7x.(3)由由(2)的的线线性性回回归归方方程程及及技技改改前前生生产产100吨吨甲甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗约为：产品的生产能耗，得降低的生产能耗约为：90(0.350.7100)19.65(吨标准煤吨标准煤)【名名师师点点评评】(1)求求线线性性回回归归方方程程时时，应应注注意意只只有有在在散散点点图图大大致致呈呈线线性性相相关关时时，求求出出的的线线性性回回归归方方程程才才有有实实际际意意义义，因因此此，对对数数据据作作线线性性回回归归分分析析时时，应应先先看看其其散散点点图图是是否否呈呈线线性性相相关关关系关系(2)求求线线性性回回归归方方程程，关关键键在在于于正正确确地地求求出出系系数数a、b，由由于于求求a、b的的计计算算量量较较大大，计计算算时时应应仔仔细细谨谨慎慎、分分步步进进行行，避避免免因因计计算算产产生生失失误误(3)得得到到的的实实验验数数据据不不同同，则则a、b的的结结果果也也不不尽相同尽相同自我挑战自我挑战2要分析学生初中升学的数学成绩要分析学生初中升学的数学成绩对高一年级数学学习有什么影响，在高一年对高一年级数学学习有什么影响，在高一年级学生中随机抽取级学生中随机抽取10名学生，分析他们入学名学生，分析他们入学的数学成绩和高一年级期末数学考试成绩，的数学成绩和高一年级期末数学考试成绩，如下表：如下表：学生编号学生编号123456789 10入学成绩入学成绩x 63 67 45 88 81 71 52 99 58 76高一期末高一期末成绩成绩y65 78 52 82 92 89 73 98 56 75(1)计计算算入入学学成成绩绩x与与高高一一期期末末考考试试成成绩绩y的的相相关关关关系；系；(2)若若某某学学生生入入学学数数学学成成绩绩为为80分分，试试估估计计他他高高一期末数学考试成绩；一期末数学考试成绩；(3)若若事事实实上上该该学学生生期期末末考考试试数数学学为为94分分，如如何何解释？解释？解解：(1)从从入入学学成成绩绩x与与高高一一期期末末考考试试成成绩绩y两两组组变变量量的的散散点点图图可可以以看看出出，这这两两组组变变量量具具有有线性相关关系，线性相关关系，(2)若某学生入学数学成绩为若某学生入学数学成绩为80分，代入上式分，代入上式y0.76556x22.41067可得：可得：y84，即这，即这个学生高一期末数学考试成绩预测值为个学生高一期末数学考试成绩预测值为84分分(3)用样本估计总体时，如果抽样的方法比较用样本估计总体时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样本得到的信息会有偏差样本得到的信息会有偏差方法感悟方法感悟方法感悟方法感悟1判判断断两两个个变变量量之之间间的的关关系系是是否否是是相相关关关关系系，一一方方面面可可根根据据日日常常生生活活的的知知识识和和经经验验进进行行判判断断；另另一一方方面面是是画画出出散散点点图图，根根据据散散点点图图观观察察它它们们的的分分布布是是否否存存在在一一定定的的规规律律，直直观观地地进进行行判判断断2画画散散点点图图时时，平平面面直直角角坐坐标标系系中中两两坐坐标标轴轴的长度单位可以不同的长度单位可以不同3作作出出散散点点图图后后，要要观观察察分分析析散散点点图图中中各各点点的的位位置置关关系系，若若在在一一条条直直线线附附近近波波动动，则则这这两两个变量具有线性相关关系，否则没有个变量具有线性相关关系，否则没有4求求线线性性回回归归方方程程的的前前提提是是先先判判定定线线性性相相关关，这这就就用用到到散散点点图图，在在确确认认其其具具有有线线性性相相关关关关系系后后，再再求求其其线线性性回回归归方方程程，进进而而由由线线性性回回归方程估计总体的性质归方程估计总体的性质5在在求求线线性性回回归归系系数数时时，公公式式不不要要求求记记忆忆，但要明确公式各部分的含义，才能求出但要明确公式各部分的含义，才能求出a，b.