上次课后练习答案上次课后练习答案1. 一长直载流导线，沿空间直角坐标一长直载流导线，沿空间直角坐标 OY 轴放置，电流沿轴放置，电流沿Y 轴方轴方向。在原点向。在原点 O 处取一电流元处取一电流元 ，则该电流元在，则该电流元在 (a，0，0) 点点 处的磁感应强度的大小为处的磁感应强度的大小为 ，方向为，方向为 。(z 轴反方向轴反方向)3. 半径为半径为 R 的均匀带电圆盘，电荷面密度为的均匀带电圆盘，电荷面密度为 s s。若圆盘以角速度若圆盘以角速度 绕垂直于圆盘的中心轴旋，绕垂直于圆盘的中心轴旋， 则此旋转圆盘的磁矩则此旋转圆盘的磁矩 = ，中，中心点心点 O 的磁感应强度的磁感应强度 = 。ORs s 2. 如图所示，在无限长载流直导线附近，如图所示，在无限长载流直导线附近，闭合球面闭合球面 S 向导线靠近，则穿过球面向导线靠近，则穿过球面 S 的的磁磁通通量将量将 ，面上各点的磁感应强，面上各点的磁感应强度的大小将度的大小将 。不变不变增大增大IV4. 周长相等的平面圆线圈和正方形线圈，载有相同大小的电流。周长相等的平面圆线圈和正方形线圈，载有相同大小的电流。今把这两个线圈放入同一均匀磁场中，则圆线圈与正方形线圈今把这两个线圈放入同一均匀磁场中，则圆线圈与正方形线圈所受最大磁力矩之比为所受最大磁力矩之比为 _。4/ / 5. 将一个通过电流强度为将一个通过电流强度为 I 的闭合回路置于均匀磁场中，回路所的闭合回路置于均匀磁场中，回路所围面积的法线方向与磁场方向的夹角为围面积的法线方向与磁场方向的夹角为 。若均匀磁场通过此若均匀磁场通过此回路的磁通量为回路的磁通量为 F F，则回路所受力矩的大小为，则回路所受力矩的大小为 。I F Fm tg 6. 一面积为一面积为 S，载有电流，载有电流 I 的平面闭合线圈置于磁感应强度为的平面闭合线圈置于磁感应强度为 的均匀磁场中，此线圈受到的最大磁力矩的大小为的均匀磁场中，此线圈受到的最大磁力矩的大小为 ，此时通过线圈的磁通量为此时通过线圈的磁通量为 。当此线圈受到最小的磁力。当此线圈受到最小的磁力矩作用时，线圈的磁通量为矩作用时，线圈的磁通量为 。ISB0SBaI7. 有一半径为有一半径为 a，通有稳恒电流通有稳恒电流 I 的四分的四分 之一圆弧形载流导线之一圆弧形载流导线 CB，处于均匀磁，处于均匀磁 场场 中，则该载流导线所受安培力的中，则该载流导线所受安培力的 大小为大小为 ，方向为，方向为 。CBaOIaB垂直纸面向里垂直纸面向里上次课后练习答案上次课后练习答案一、载流线圈在均匀磁场中受到的力矩一、载流线圈在均匀磁场中受到的力矩I1.载流线圈的磁矩载流线圈的磁矩 (Magnetic Dipole Moment)定义：定义：2. 力矩力矩 (1) 对线圈的作用对线圈的作用合力为零合力为零合力矩为零合力矩为零方向：与电流成右方向：与电流成右手螺旋关系手螺旋关系SN 匝：匝：9.5.4 作用在载流线圈上的磁力矩作用在载流线圈上的磁力矩R(2) 的作用的作用合力为零合力为零r 结论：结论：均匀磁场中均匀磁场中， 载流线圈所受合外力为零，载流线圈所受合外力为零， 载流线圈所受力矩为载流线圈所受力矩为. = 0M = 0 = / /2Mmax = mB = M = 0大小大小.作用效果：作用效果： 使线圈磁矩的方向转向外磁场方向使线圈磁矩的方向转向外磁场方向二、磁感应强度矢量二、磁感应强度矢量 的另一种定义的另一种定义试验载流线圈：试验载流线圈：1. 几何线度小，面积小，在线圈范围内磁场性质处几何线度小，面积小，在线圈范围内磁场性质处处相同；处相同；2. 电流小，不影响原磁场。电流小，不影响原磁场。定义：定义：大小：大小：方向：试验载流线圈稳方向：试验载流线圈稳定平衡时，线圈定平衡时，线圈的法线方向；的法线方向；具有单位磁矩的载流线具有单位磁矩的载流线圈所受的最大磁力矩。圈所受的最大磁力矩。例例 半径为半径为 R 的四分之一圆弧的四分之一圆弧 ab，处于均匀磁场中，处于均匀磁场中，可绕可绕 z 轴转动轴转动，其中通有电流，其中通有电流 I，求：求：1) ) 如图位置时，如图位置时，ab 弧所受弧所受的磁场力的磁场力；2) ) ab 弧所受的力矩。弧所受的力矩。 解解：1) ) 2) ) b大小为零大小为零 bxyzOaIR xyO例例 如图在均匀磁场中，半径为如图在均匀磁场中，半径为 R 的薄圆盘以角速度的薄圆盘以角速度 绕中心垂绕中心垂直轴转动，圆盘面电荷密度为直轴转动，圆盘面电荷密度为 s s，求它的磁矩，求它的磁矩、所受的磁力矩、所受的磁力矩以及磁矩的势能。以及磁矩的势能。 解：解：取半径为取半径为 r 宽为宽为 dr 的环状面元，环带的环状面元，环带转动时相当于一个载流线圈，其电流：转动时相当于一个载流线圈，其电流：方向向上方向向上OR在考虑物质受磁场的影响或对磁场的影响时，它在考虑物质受磁场的影响或对磁场的影响时，它们被统称为磁介质。们被统称为磁介质。例例 计算电子轨道运动的磁矩。计算电子轨道运动的磁矩。Re- -解解：以以 H 为例：为例： R = 0.5310- -10 m v = 2.2106 m/ /s m = 9.310- -24 A m2电子的自旋磁矩电子的自旋磁矩 mB= 9.27310- -24 A m2玻尔磁子玻尔磁子9.6 磁场磁场中的中的磁介质磁介质( (Magnetic medium) )几种原子的磁矩几种原子的磁矩原子原子磁矩磁矩 (A m2)H9.2710- -24He0Li9.2710- -24O13.910- -24Ne0Na9.2710- -24Fe20.410- -24介质的相对磁导率介质的相对磁导率(relative magnetic permeability) 9.6.1 磁介质的磁化磁介质的磁化电介质极化电介质极化 束缚电荷束缚电荷磁化磁化 束缚电流束缚电流实验表明：实验表明：B = r B0一、一、 磁介质对磁场的磁介质对磁场的影响影响磁介质磁介质附加磁场附加磁场附加磁场附加磁场外磁场外磁场介质磁导率介质磁导率二、二、 磁介质的分类磁介质的分类弱磁质弱磁质1. 顺磁质顺磁质 paramagnetic materials (paramagnet)，B B0，2. 抗磁质抗磁质 diamagnetic materials (diamagnetic) r在在 1左右左右如：如：汞、汞、铜铜、氢氢 3. 铁磁质铁磁质 Ferromagnetic materialsB B0， 强顺磁质，强顺磁质，如：如：铝、铝、铂铂、氧氧 r 1， B B0， r 1顺磁质磁化机理顺磁质磁化机理来自分子的固有磁矩来自分子的固有磁矩有外磁场有外磁场无外磁场无外磁场fmfm抗磁质磁化机理抗磁质磁化机理fefe- - - -无外磁场无外磁场fefe- - - -有外磁场有外磁场 电子轨道运动在外磁场作用下变化电子轨道运动在外磁场作用下变化一、一、 磁场强度磁场强度定义定义与与 点点对应。点点对应。9.5.2 的环路定理的环路定理 二、二、 的环路定理的环路定理1. 1. 真空真空：2. 2. 磁介质：磁介质：I0int ：金属中的传导电流金属中的传导电流和其它由自由电荷和其它由自由电荷的宏观定向移动形的宏观定向移动形成的电流。成的电流。 的环路定理的环路定理对各向同性的均匀抗磁质或顺磁质对各向同性的均匀抗磁质或顺磁质D如图，流出纸面的电流为如图，流出纸面的电流为 2I，流进纸面的电流，流进纸面的电流为为 I，则下述各式中哪一个是正确的，则下述各式中哪一个是正确的? ?( (A) ) 。 ( (B) ) 。 ( (C) ) 。( (D) ) 。I2IL1L3L2L4例例 无限长直螺线管，电流为无限长直螺线管，电流为 I，单位长度的匝数为，单位长度的匝数为 n，管内充满磁导率为管内充满磁导率为 r 的均匀介质，求管内的磁感应强的均匀介质，求管内的磁感应强度度解解： . . . .abdc L由由 的环路定理的环路定理H = nI B = 0 r H = 0 r nI方向如图。方向如图。在有磁介质时，一般根据自由电流的分布求在有磁介质时，一般根据自由电流的分布求 的分布，的分布，再利用再利用 ，求，求 。无限长螺线管外磁场为零无限长螺线管外磁场为零 B外外 = 0，内部磁场与轴线平行，根，内部磁场与轴线平行，根据据 的环路定理，磁场强度沿如图所示矩形回路的积分为的环路定理，磁场强度沿如图所示矩形回路的积分为例例 一一无无限限长长同同轴轴电电缆缆，内内导导体体的的半半径径和和外外导导体体圆圆柱柱面面半半径径分分别别为为 R1 和和 R2，它它们们之之间间充充满满相相对对磁磁导导率率为为 r 的的均均匀匀磁磁介介质质，内内外外导导体体中中均均匀匀地地载载有有大大小小相相等等方方向向相相反反的的电电流流 I，设设导导体体的的 0。求求：( (1) ) 磁磁介介质质内内的的磁磁感感应应强强度度分分布布；( (2) ) 圆圆柱柱体体内内的的 磁场；磁场；( (3) )同轴电缆外的磁场同轴电缆外的磁场。I解解：( (1) ) 由由对对称称性性，轴轴线线等等距距离离的的各各点点 H 应应相相等等，方方向向与与径径向向垂垂直直。作作圆圆形形安安培培 环环路路 L，利利用用 H 的的环环路路定定理理，有有：= IB = 0 r H 磁感线为在与电缆垂直的平面内的一系列同心圆。磁感线为在与电缆垂直的平面内的一系列同心圆。方向与内导体中的电流符合方向与内导体中的电流符合右手螺旋关系。右手螺旋关系。rLr r( (2) )( (3) )静电场静电场稳恒磁场稳恒磁场静电场与稳恒磁场对照静电场与稳恒磁场对照电场强度电场强度磁感应强度磁感应强度电位移矢量电位移矢量磁场强度磁场强度电介常数电介常数 0， = 0 r磁导率磁导率 0， = 0 r电通量电通量磁通量磁通量电场力电场力( (库仑力库仑力) )磁场力磁场力( (洛仑兹力洛仑兹力) )( (安培力安培力) )均匀电场中电偶极子均匀电场中电偶极子所受的力矩所受的力矩均匀磁场中平面载流线均匀磁场中平面载流线圈所受的力矩圈所受的力矩电矩电矩磁矩磁矩静电场静电场稳恒磁场稳恒磁场电磁学基本定理电磁学基本定理有有源源无无源源无无旋旋有有旋旋点电荷点电荷电场电场电流元电流元磁场磁场无限长无限长直电流直电流IBiB无限大载流平板无限大载流平板无限长无限长带电线带电线s s无限大均匀带电平面无限大均匀带电平面静电场静电场稳恒磁场稳恒磁场补充：电动势补充：电动势 ( (electromotive force ( (emf)1. 非静电力：非静电力：i+使电荷逆着静电场的方向运动使电荷逆着静电场的方向运动2. 电源：电源：提供非静电力的装置提供非静电力的装置3. 电动势电动势 ( (1) ) 定义：定义：只与电源本身的性质有关，只与电源本身的性质有关，与外电路无关。与外电路无关。( (2) ) 方向：电源内部从负极到正极即从低电位指向高电位方向：电源内部从负极到正极即从低电位指向高电位+q- -q( (3) ) 计算：计算：将非静电力的作用看做非静电场的作用将非静电力的作用看做非静电场的作用若非静电力存在于整个回路中若非静电力存在于整个回路中10.1 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律10.2 动生电动势动生电动势10.3 感生电动势感生电动势10.4 自感与互感自感与互感10.5 磁场的能量磁场的能量10.6 麦克斯韦方程组和电磁场麦克斯韦方程组和电磁场第第10章章 电磁感应和电磁场电磁感应和电磁场( (8学时学时) )10.1 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律 (Faraday law of electromagnetic induction)一、现象一、现象闭合导体回路闭合导体回路与磁棒之间有与磁棒之间有相对运动相对运动时时闭合导体回路闭合导体回路在均匀磁场中在均匀磁场中平动平动时时结论：结论：当穿过闭合回路的磁通量发生变化时当穿过闭合回路的磁通量发生变化时，导体回路，导体回路中就会产生电流。这种现象称为中就会产生电流。这种现象称为电磁感应现象。电磁感应现象。闭合导体回路闭合导体回路在均匀磁场中在均匀磁场中转动转动时时B 变变S 变变 与与 夹角夹角 qq 变变变变1. 感应电流感应电流 (induced current) 实验表明：若闭合导体回路所限定的面积的磁通量发生变实验表明：若闭合导体回路所限定的面积的磁通量发生变化，回路中就出现电流。称之为感应电流。化，回路中就出现电流。称之为感应电流。2. 感应电动势感应电动势 (induced electromotive force (emf) 二、感应电流与感应电动势二、感应电流与感应电动势三、法拉第电磁感应定律三、法拉第电磁感应定律感应电动势的大小与通过导体回感应电动势的大小与通过导体回路的磁通量的变化率成正比。路的磁通量的变化率成正比。 约定约定 首先首先任定任定回路的绕行方向回路的绕行方向 规定规定电动势方向与绕行方向一致时为正电动势方向与绕行方向一致时为正 当当磁感线方向与绕行方向成右手螺旋关系时磁感线方向与绕行方向成右手螺旋关系时 规定规定磁通量为正磁通量为正LLF F 0F F 0 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 如均匀磁场如均匀磁场 ，均匀磁场均匀磁场 若若绕行方向绕行方向取取如图所示的回路方向如图所示的回路方向 L按约定按约定磁通量为正磁通量为正 0正号说明正号说明电动势的方向电动势的方向与所设绕行方向一致与所设绕行方向一致两种绕行方向得到的结果相同两种绕行方向得到的结果相同. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 楞次楞次 1804-1865 (Lenz, Heinrich Friedrich Emil) 1. 感应电动势的大小：感应电动势的大小：2. 式中式中“- -”反映感应电动势的方向与磁通反映感应电动势的方向与磁通量变化的关系，是量变化的关系，是楞次定律楞次定律的结果。的结果。 闭合回路中感应闭合回路中感应电流的方向，总是使它所激发的磁场来电流的方向，总是使它所激发的磁场来阻止引起感应电流的磁通量的变化。阻止引起感应电流的磁通量的变化。楞次定律楞次定律 ( (Lenz law) )：3. 单位：单位：F F 和和 Y Y 的单位的单位 ( (SI制制) )：韦伯：韦伯 ( (Wb) )， 的单位是：伏特的单位是：伏特 ( (V) )讨论讨论IL L 楞次定律是楞次定律是能量守恒定律能量守恒定律在电磁感应现在电磁感应现象上的具体体现。象上的具体体现。5. 通过导体回路任一截面的感应电量：通过导体回路任一截面的感应电量：t2 - - t1 内，通过任一横截面的电量内，通过任一横截面的电量考虑绝对值考虑绝对值4. N 匝串联回路匝串联回路：全磁通全磁通若若 F F1 = F F2 = = F FN 时，时，磁磁 链链(magnetic flux linkage)法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律适用于一切产生电动势的适用于一切产生电动势的回路回路在任何电磁感应现象中，只要穿过回路的磁通在任何电磁感应现象中，只要穿过回路的磁通量变化，回路中就一定有感应电动势产生。若量变化，回路中就一定有感应电动势产生。若导体回路是闭合的，感应电动势就会在回路中导体回路是闭合的，感应电动势就会在回路中产生感应电流；若导线回路不是闭合的，回路产生感应电流；若导线回路不是闭合的，回路中仍然有感应电动势，但是不会形成电流。中仍然有感应电动势，但是不会形成电流。楞次定律楞次定律：闭合回路中感应电流的方向，总是使它所激发闭合回路中感应电流的方向，总是使它所激发的磁场来阻止引起感应电流的磁通量的变化。的磁场来阻止引起感应电流的磁通量的变化。感应电动势的大小与通过回路的磁通量的变化感应电动势的大小与通过回路的磁通量的变化率成正比。率成正比。1. 首先首先任定任定回路的绕行方向回路的绕行方向2. 计算回路面积上的计算回路面积上的磁通量磁通量，当当磁感线方向与绕磁感线方向与绕行方向成右手螺旋关系时，行方向成右手螺旋关系时，规定规定磁通量为正磁通量为正3. 应用定应用定律律计算感应电动势，计算感应电动势，规定规定电动势方向与电动势方向与绕行方向一致时为正绕行方向一致时为正解题步骤解题步骤IL例例NSLNSLdal 例例 直导线通交流电直导线通交流电 I = I0 sin t ( (I0 和和 是正的是正的 常数常数) )，置于磁导率为，置于磁导率为 的的介质中。介质中。 求：与其共面的求：与其共面的 N 匝矩形回路中的感应电动势。匝矩形回路中的感应电动势。解解：设当：设当 I 0 时，电流方向如图时，电流方向如图设回路设回路 L 方向如图方向如图，建坐标系如图，建坐标系如图任取一面元矢量任取一面元矢量 0， 的方向与的方向与 L 的正向相同，否则相反的正向相同，否则相反ILOx 0， r，如图所示。若大线，如图所示。若大线圈通有电流圈通有电流 I，线圈匝数为，线圈匝数为 N1，而小线圈未通电，而小线圈未通电流，线圈匝数为流，线圈匝数为 N2。当小线圈沿。当小线圈沿 x 轴正向以速度轴正向以速度 v 运动到运动到 x R 的区域时，试求小线圈回路中所的区域时，试求小线圈回路中所产生的感应电动势随产生的感应电动势随 x 变化的关系。变化的关系。x RR r选择回路正绕行方向为与选择回路正绕行方向为与 x 轴正轴正向成右手螺旋关系，向成右手螺旋关系， 与与 x 轴正向成右手螺旋关系。轴正向成右手螺旋关系。 解解 例例 如图所示，在马蹄形磁铁的中间如图所示，在马蹄形磁铁的中间 A 点处放置一半点处放置一半径径 r = 1 cm、匝数、匝数 N = 10 匝、电阻匝、电阻 R = 10 的的小线圈，且线圈平面法线平行于小线圈，且线圈平面法线平行于 A 点的磁感应强点的磁感应强度。今将此线圈移到足够远处，在这期间若线圈度。今将此线圈移到足够远处，在这期间若线圈中流过的总电量中流过的总电量 Q = 10- -6 C， 试求试求 A 点处的点处的磁感应强度。磁感应强度。 解解 始末磁链为始末磁链为可得可得NSF F1 = NB r2 = RQ由公式由公式F F1 = NB r2， F F2 = 0所以所以A练习题练习题1. 在磁感应强度为在磁感应强度为 的均匀磁场中，的均匀磁场中，作一半径为作一半径为 r 的半球面的半球面 S。S 边线所边线所在平面的法线方向单位矢量在平面的法线方向单位矢量 与与 的夹角为的夹角为 。则通过。则通过半球面半球面 S 的的磁磁通通量量 F Fm = 。通过通过封闭封闭曲面的曲面的磁磁通通量量 F Fm = 。 s2. 磁场中某点处的磁场中某点处的磁感应强度磁感应强度 ，一，一电子以速度电子以速度 通过该点，通过该点，则作用于该电子的洛仑兹力则作用于该电子的洛仑兹力 。 4. 真空中稳恒电流真空中稳恒电流 I 流过两个分别半径为流过两个分别半径为 R1、R2 的同心半圆形导线，两半圆形导线间由沿直径的的同心半圆形导线，两半圆形导线间由沿直径的直导线连接，电流沿直导线流入。如果两个半圆直导线连接，电流沿直导线流入。如果两个半圆面正交，圆心面正交，圆心 O 点的磁感应强度点的磁感应强度 的大小为的大小为 ， 的方向与的方向与 y 轴的夹角为轴的夹角为 。3. 将同样的几根导线焊成立方体，并在其顶角将同样的几根导线焊成立方体，并在其顶角 A、B 上接上电源，则立方体框架中的电流在其中上接上电源，则立方体框架中的电流在其中心处所产生的磁感应强度等于心处所产生的磁感应强度等于 _ 。ABOxzOyII5. 用均匀细金属丝构成一半径为用均匀细金属丝构成一半径为 R 的圆环，电的圆环，电流流 I 由导线由导线 CA 流入圆环流入圆环 A 点，而后由圆环点，而后由圆环 B 点流出，进入导线点流出，进入导线 BD。设导线。设导线 CA和导线和导线 BD 与圆环共面，则环心与圆环共面，则环心 O 处的磁感应强度大处的磁感应强度大小为小为 ，方向，方向 。OA CBD 作业作业： 9-19，9-22， 9-30，9-32