专题一 集合、常用逻辑用语、向量、复数、算法、合情推理、不等式第一讲 集合、常用逻辑用语一、主干知识一、主干知识1.1.集合的基本运算：集合的基本运算：(1)AB=_.(1)AB=_.(2)AB=_.(2)AB=_.(3) A=x|xU,(3) A=x|xU,且且x x A.A.2.2.充分条件、必要条件与充要条件：充分条件、必要条件与充要条件：(1)(1)若若p pq q，则，则p p是是q q的的_，q q是是p p的的_._.(2)(2)若若p pq q，则，则p p与与q q互为互为_._.x|xAx|xA，或，或xBxBx|xA,x|xA,且且xBxB充分条件充分条件必要条件必要条件充要条件充要条件3.pq3.pq，pqpq， p p命题的真假：命题的真假：(1)pq(1)pq命题中命题中_时，该命题为真时，该命题为真. .(2)pq(2)pq命题中命题中_时，该命题为真时，该命题为真. .(3)(3)p p命题中命题中_时，该命题为真时，该命题为真. .4.4.含有一个量词的命题的否定：含有一个量词的命题的否定：(1)(1)全称命题的否定全称命题的否定xM,p(xxM,p(x) )的否定为的否定为_. .(2)(2)存在性命题的否定存在性命题的否定xM,p(xxM,p(x) )的否定为的否定为_. .至少有一个命题为真至少有一个命题为真当且仅当当且仅当p p，q q都真都真当命题当命题p p假假xMxM, , p(xp(x) )xMxM, , p(xp(x) )二、必记公式二、必记公式1.1.集合的子集个数：集合的子集个数：若集合若集合A A的元素有的元素有n n个，则个，则A A的子集个数是的子集个数是_，真子集个数是，真子集个数是_，非空真子集的个数是，非空真子集的个数是_._.2.2.两个重要结论：两个重要结论：(1)AB=A(1)AB=A_._.(2)AB=A(2)AB=A_._.2 2n n2 2n n1 12 2n n2 2A AB BB BA A1 1(2013(2013扬州模拟扬州模拟) )已知集合已知集合A=1A=1，22，B=2B=2，33，则，则AB=AB=_._.【解析解析】因为因为A=1A=1，22，B=2B=2，33，所以，所以AB=1AB=1，2 2，3.3.答案：答案：11，2 2，332.(20132.(2013山山 东东 高高 考考 改改 编编 ) )设设 集集 合合 A=0,1,2,A=0,1,2,则则 集集 合合 B=x-B=x-y|xA, yA y|xA, yA 中元素共有中元素共有_个个. .【解析解析】x-yx-y的取值分别为的取值分别为-2-2，-1,0,1,2.-1,0,1,2.所以所以B B中元素共有中元素共有5 5个个. .答案：答案：5 53.(20133.(2013启启东东模模拟拟) )若若命命题题“xRxR，使使得得x x2 2+(a-1)x+10+(a-1)x+10”为假命题，则实数为假命题，则实数a a的范围为的范围为_._.【解解析析】因因为为“ xRxR，使使得得x x2 2+(a-1)x+10+(a-1)x+10”为为假假命命题题，所所以以x x2 2+(a-1)x+10+(a-1)x+10恒成立，因此恒成立，因此=(a-1)=(a-1)2 2-40-40，解上式得：，解上式得：-1a3.-1a3.答案：答案：-1a3-1a34 4(2013(2013德州模拟德州模拟) )设设a a，bRbR，则，则“a1a1且且b1b1”是是“a+b2a+b2”的的_条件条件( (从从“充分不必要充分不必要”“”“必要不充必要不充分分”“”“充要充要”和和“既不充分也不必要既不充分也不必要”中选填中选填).).【解析解析】若若a1a1且且b1b1，则，则a+b2.a+b2.若若a+b2a+b2，当，当a=5a=5，b= b= 时时有有a+b2a+b2成立，但成立，但b b1 1，所以，所以“a1a1且且b1b1”是是“a+b2a+b2”的的充分不必要条件充分不必要条件. .答案：答案：充分不必要充分不必要热点考向热点考向 1 1 集合的概念及运算集合的概念及运算【典例典例1 1】(1)(2013(1)(2013浙江模拟浙江模拟) )设集合设集合A=A=y|yy|y=sin =sin x,xRx,xR ，集合集合B=B=x|yx|y= =lglg x x，则，则( A)B=_.( A)B=_.(2)(2013(2)(2013浙江高考改编浙江高考改编) )设集合设集合S=S=x|xx|x-2-2，T=x|xT=x|x2 2+3x-+3x-4040，则，则( S)T=_.( S)T=_.(3)(3)已知已知A A0,10,1，aa，B Baa2 2，bb，且，且ABAB11，ABAB0,1,2,40,1,2,4，则，则logloga ab b_._.【解题探究解题探究】(1)(1)集合集合A A，B B的元素分别是什么？的元素分别是什么？提示：提示：A A的元素是三角函数的值域的元素是三角函数的值域y y，B B的元素是对数函数的自的元素是对数函数的自变量变量x.x.(2)(2)集合集合S S，T T是用什么方法表示的集合？如何求是用什么方法表示的集合？如何求 S S与与T T的并的并集？集？提示：提示：集合集合S S，T T都是用描述法表示的集合，求都是用描述法表示的集合，求 S S与与T T的并集的并集可画数轴，在数轴上直接看出可画数轴，在数轴上直接看出. .(3)(3)由由AB=1AB=1针对集合针对集合B B可得到什么表达式？可得到什么表达式？提示：提示：可由可由ABAB11，得出，得出a a2 2=1=1或或b=1.b=1.【解解析析】(1)(1)由由集集合合A A中中的的函函数数y=sin y=sin x,xR,x,xR,得得到到yy- -1,11,1, ,所以所以A=A=-1,1-1,1, ,所以所以 A=(-,-1)(1,+).A=(-,-1)(1,+).由集合由集合B B中的函数中的函数y=lg x,y=lg x,得到得到x x0,0,所以所以B=(0,+),B=(0,+),则则( A)B=(1,+).( A)B=(1,+).答案：答案：(1,+)(1,+)(2)(2)因为因为T=x|-4x1, S=x|x-2T=x|-4x1, S=x|x-2，所以，所以( ( S)T=x|x1.S)T=x|x1.答案：答案：x|x1x|x1(3)(3)因为因为A A0,10,1，aa，B Baa2 2，bb，且，且ABAB11，所以所以B B中必有一个元素为中必有一个元素为1.1.当当a a2 2=1=1，即即a=a=1 1时时，若若a=1,a=1,集集合合A A中中有有两两个个元元素素为为1 1，这这与与集集合合元元素素的的互互异异性性相相矛矛盾盾，所所以以a=1a=1不不成成立立；若若a=-1a=-1，则则A A0,10,1，-1-1，B=1,bB=1,b，又又因因为为ABAB0,1,2,40,1,2,4，并并集集中中不不含含-1-1，故故a=-1a=-1不成立不成立. .当当 b=1b=1时时 ， 因因 为为 ABAB 0,1,2,40,1,2,4， 所所 以以 a=2a=2， 此此 时时logloga ab=logb=log2 21=0.1=0.答案：答案：0 0【方法总结方法总结】1.1.解答集合问题的思路解答集合问题的思路先正确理解各个集合的含义先正确理解各个集合的含义, ,认清集合元素的属性、代表的意认清集合元素的属性、代表的意义义, ,再根据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求再根据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解解. .若给定的集合是不等式的解集若给定的集合是不等式的解集, ,用数轴求解用数轴求解; ;若给定的集合是点集若给定的集合是点集, ,用数形结合法求解用数形结合法求解; ;若给定的集合是抽象集合或是用列举法表示的集合若给定的集合是抽象集合或是用列举法表示的集合, ,用用VennVenn图求解图求解. .2.2.几个等价关系几个等价关系( A)B=B( A)B=BB B A;AB=BA;AB=BA A B;B; (AB)=( A)( B); (AB)=( A)( B) (AB)=( A)( B); (AB)=( A)( B)等等. .【变式式训练】(2013(2013 江江苏高考高考) )集合集合-1,0,1-1,0,1共有共有个子个子集集. .【解析解析】集合集合-1,0,1-1,0,1的子集中有的子集中有0 0个元素的有个元素的有1 1个个,1,1个元素的个元素的有有3 3个个,2,2个元素的有个元素的有3 3个个,3,3个元素的有个元素的有1 1个个, ,共有共有8 8个个. .答案答案: :8 8热点考向热点考向 2 2 命题真假的判断与否定命题真假的判断与否定 【典例典例2 2】(1)(2013(1)(2013 四川高考改编四川高考改编) )设设xZxZ, ,集合集合A A是奇数集是奇数集, ,集合集合B B是偶数集是偶数集. .若命题若命题p:p:xA,2xB,xA,2xB,则则 p p为为. .(2)(2)命题命题p:p:若若x x2 22,2,则则 则则p p的否命题是的否命题是; ;命题命题“ p p”是是. .(3)p:aa,b,c,q:a(3)p:aa,b,c,q:aa,b,c,a,b,c,则则“p p且且q q”为为( (真真, ,假假) )命命题题. . 【解题探究解题探究】(1)(1)对全称命题如何否定对全称命题如何否定? ?提示提示: :将全称量词改为存在量词将全称量词改为存在量词, ,且对命题的结论否定且对命题的结论否定. .(2)(2)命题命题p p的条件和结论分别是什么的条件和结论分别是什么? ?“ ”的否定是什么的否定是什么? ?提示提示: :命题命题p p的条件是的条件是:x:x2 22,2,结论是结论是: : “ ”的否定是的否定是“”. .(3)p(3)p且且q q何时为真何时为真? ?何时为假何时为假? ?提示提示: :当当p,qp,q两个命题都真时两个命题都真时,p,p且且q q为真为真; ;p,qp,q两个命题至少有一两个命题至少有一个为假时个为假时,p,p且且q q为假为假. . 【解析解析】(1)(1)根据题意可知命题根据题意可知命题p:p: xA,2xBxA,2xB的否定是的否定是 p: p: xA,2xxA,2x B.B.答案答案: : xA,2xxA,2x B B(2)(2)因为命题的否命题是对其条件和结论的否定因为命题的否命题是对其条件和结论的否定, ,所以该命题的所以该命题的否命题为否命题为: :若若x x2 22,2,则则因为命题的否定是对结论的否定因为命题的否定是对结论的否定, ,所以该命题的否定为所以该命题的否定为: :若若x x2 22,2,则则答案答案: :若若x x2 22,2,则则若若x x2 22, xAxA, ,使使p(xp(x) )真真否定否定不是不是不都不都是是一个一个也没也没有有至少至少有两有两个个 x x0 0A,A,使使p(xp(x0 0) )假假【变式备选变式备选】(2013(2013南通模拟南通模拟) )已知函数已知函数f(xf(x)=4|a|x-2a+1.)=4|a|x-2a+1.若若命题命题“x(0,1),x(0,1),使使f(xf(x)=0)=0”是真命题是真命题, ,则实数则实数a a的取值范围的取值范围为为. .【解析解析】依题意知依题意知:f(0):f(0)f(1)0,f(1)0,即即(-2a+1)(4|a|-2a+1)0,(-2a+1)(4|a|-2a+1)0-3x0”是是“x4x4”的的条件条件. .(2)(2013(2)(2013枣庄模拟枣庄模拟) )“nNnN* *,2a,2an+1n+1=a=an n+a+an+2n+2”是是“数列数列aan n 为等差数列为等差数列”的的条件条件. .(3)(2013(3)(2013上海模上海模拟拟) )已知已知f(xf(x)=x)=x2 2-2x+3,g(x)=kx-1,-2x+3,g(x)=kx-1,则则“|k|2|k|2”是是“f(x)g(xf(x)g(x) )在在R R上恒成立上恒成立”的的条件条件. . 【解题探究解题探究】(1)(1)判断判断A A是是B B的充要条件的求解思路的充要条件的求解思路: :由由“x x2 2-3x0-3x0”得出得出: :_; ;由由“x4x4”能否得出能否得出“x x2 2-3x0-3x0”? ?提示提示: :能能. .由由“x x2 2-3x0-3x0”能否得出能否得出“x4x4”? ?提示提示: :不能不能. . x3x3或或x0x0-3x0得得x3x3或或x0.x3x3或或x0x4,x4,而由而由x4x4能推出能推出x3x3成立成立, ,即即x3x3或或x0x0-3x0是是x4x4的必要不充分条件的必要不充分条件. .答案答案: :必要不充分必要不充分(2)(2)由由 nNnN* *,2a,2an+1n+1=a=an n+a+an+2n+2得得, ,a an+1n+1-a-an n=a=an+2n+2-a-an+1n+1, ,即任意相邻的两项之差相等即任意相邻的两项之差相等, ,所以数列所以数列aan n 为为等差数列等差数列, ,当数列当数列aan n 是等差数列时是等差数列时, ,由等差中项定义可知由等差中项定义可知2a2an+1n+1=a=an n+a+an+2n+2. .所以所以“ nNnN* *,2a,2an+1n+1=a=an n+a+an+2n+2”是是“数列数列aan n 为等差数列为等差数列”的充的充要条件要条件. .答案答案: :充要充要(3)f(x)g(x)(3)f(x)g(x)x x2 2-2x+3kx-1-2x+3kx-1x x2 2-(2+k)x+40,-(2+k)x+40,此式对任意实数此式对任意实数x x都成立都成立=(2+k)=(2+k)2 2-160-160-4k+24-4k+24 -6k2,-6k2,而而“|k|2|k|2”是是“-6k2-6k2”的充分的充分不必要条件不必要条件. .答案答案: :充分不必要充分不必要【方法总结方法总结】1.1.充分、必要条件的判断方法充分、必要条件的判断方法先判断先判断p p q q与与q q p p是否成立是否成立, ,然后再确定然后再确定p p是是q q的什么条件的什么条件. .2.2.判断充分、必要条件时的关注点判断充分、必要条件时的关注点(1)(1)要弄清先后顺序要弄清先后顺序: :“A A的充分不必要条件是的充分不必要条件是B B”是指是指B B能推出能推出A,A,且且A A不能推出不能推出B;B;而而“A A是是B B的充分不必要条件的充分不必要条件”则是指则是指A A能推出能推出B,B,且且B B不能推出不能推出A.A.(2)(2)要善于举出反例要善于举出反例: :如果从正面判断或证明一个命题的正确或如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时错误不易进行时, ,可以尝试通过举出恰当的反例来说明可以尝试通过举出恰当的反例来说明. .(3)(3)要注意转化要注意转化: :若若p p是是q q的必要不充分条件的必要不充分条件, ,则则p p是是q q的充分的充分不必要条件不必要条件; ;若若p p是是q q的充要条件的充要条件, ,那么那么p p是是q q的充要条件的充要条件. .【变式训练变式训练】1.(20131.(2013青岛模拟青岛模拟) )在在ABCABC中中, ,“ABAB”是是“tanAtanA tanBtanB”的的条件条件. .【解析解析】因为函数因为函数y=y=tanxtanx在在(0,)(0,)上不是单调函数上不是单调函数, ,所以所以“ABAB”是是“tanAtanA tanBtanB”的既不充分也不必要条件的既不充分也不必要条件. .答案答案: :既不充分也不必要既不充分也不必要2.(20132.(2013 潍坊模拟潍坊模拟) )已知已知p:x1,q:xp:x1,q:x2 2-x0,-x0,则则p p是是 q q成立的成立的条件条件. .【解析解析】由由x x2 2-x0-x0得得,x0,x1,x1,所以所以 q:0x1,q:0x1,所以所以p p是是 q q成立的必要不充分条件成立的必要不充分条件. .答案答案: :必要不充分必要不充分 利用命题的真假求参数的取值范围利用命题的真假求参数的取值范围 【典例典例】(1)(1)已知命题已知命题p:p:x1,2,xx1,2,x2 2-a0,-a0,命题命题q:q:xR,xxR,x2 2+2ax+2-a=0,+2ax+2-a=0,若若“p p且且q q”为真命题为真命题, ,则实数则实数a a的取值的取值范围是范围是. .(2)(2)设命题设命题p:p:函数函数f(xf(x)=(a- )=(a- )x x是是R R上的减函数上的减函数; ;命题命题q:q:函数函数f(xf(x)=x)=x2 2-4x+3-4x+3在在0,a0,a上的值域为上的值域为-1,3,-1,3,若若“p p且且q q”为假命为假命题题, ,“p p或或q q”为真命题为真命题, ,则则a a的取值范围是的取值范围是. .【解题探究解题探究】(1)(1)“p p且且q q”为真命题说明为真命题说明p,qp,q的真假性如何的真假性如何? ?提示提示: :“p p且且q q”为真命题说明命题为真命题说明命题p,qp,q都为真命题都为真命题. .(2)(2)“p p且且q q”为假命题为假命题, ,“p p或或q q”为真命题说明什么为真命题说明什么? ?提示提示: :“p p且且q q”为假命题为假命题, ,“p p或或q q”为真命题说明了为真命题说明了p,qp,q两个命两个命题一真一假题一真一假. .【解析】【解析】(1)(1)因为命题因为命题p:p: x1,2,xx1,2,x2 2-a0,-a0,所以所以1x1x2 24,4,由由axax2 2, ,所以所以a1.a1. 因为命题因为命题q:q: xR,xxR,x2 2+2ax+2-a=0,+2ax+2-a=0,所以所以=4a=4a2 2-4(2-a)0,-4(2-a)0,所以所以a1a1或或a-2.a-2. 因为因为“p p且且q q”为真命题为真命题, ,所以所以p p与与q q都为真命题都为真命题, ,所以由所以由可得可得a=1a=1或或a-2.a-2.答案答案: :a=1a=1或或a-2a-2(2)(2)因为函数因为函数 是是R R上的减函数上的减函数, ,所以所以 所以所以因为因为f(x)=(x-2)f(x)=(x-2)2 2-1-1在在0,a0,a上的值域为上的值域为-1,3,-1,3,则则2a4.2a4.因为因为“p p且且q q”为假为假, ,“p p或或q q”为真为真, ,所以所以p,qp,q为一真一假为一真一假, ,若若p p真真q q假假, ,得得 若若p p假假q q真真, ,得得综上可知综上可知:a:a的取值范围是的取值范围是 或或答案答案: : 或或【方法总结方法总结】利用命题的真假求参数的取值范围的三个关注点利用命题的真假求参数的取值范围的三个关注点(1)(1)对命题进行合理转化对命题进行合理转化, ,求出命题为真时参数的范围求出命题为真时参数的范围. .(2)(2)根据真值表确定命题的真假根据真值表确定命题的真假, ,从而确定相应参数的范围从而确定相应参数的范围. .(3)(3)参数范围的确定最终归结到集合的交、并、补运算参数范围的确定最终归结到集合的交、并、补运算, ,应注意应注意区别区别. .【变式式备选】(2013(2013 黄石模黄石模拟) )已知已知p:f(x)= p:f(x)= 且且|f(a)|2;q:|f(a)|2;q:集合集合A=x|xA=x|x2 2+(a+2)x+1=0,xR,+(a+2)x+1=0,xR,且且AA . .若若pqpq为真命真命题,pq,pq为假命假命题, ,求求实数数a a的取的取值范范围. .【解析解析】若若| |f(af(a)|= 2)|= 2成立成立, ,则则-61-a6,-61-a6,即当即当-5a7-5a7时时p p是真命题是真命题; ;若若AA , ,则方程则方程x x2 2+(a+2)x+1=0+(a+2)x+1=0有实数根有实数根, ,由由=(a+2)=(a+2)2 2-40,-40,解得解得a-4a-4或或a0,a0,即当即当a-4a-4或或a0a0时时q q是真是真命题命题. .由于由于pqpq为真命题为真命题, ,pqpq为假命题为假命题, ,所以所以p p与与q q一真一假一真一假, ,故知所求故知所求a a的取值范围是的取值范围是a-5a-5或或-4a0-4a01+x0得得x-1,x-1,即即P=x|x-1;P=x|x-1;Q=Q=y|yy|y00 , ,因此结合题意得因此结合题意得, ,题中阴影部分表示的是集合题中阴影部分表示的是集合P( Q)=x|-1x0,xR.P( Q)=x|-1x0,xR.答案答案: :x|-1x0,xRx|-1x0,0,所以所以 P=P=y|yy|y1,1,画出数轴如图画出数轴如图. .所以所以 P P Q.Q.答案答案: : P P Q Q2.2.已知已知M,NM,N为集合为集合I I的非空真子集的非空真子集, ,且且M,NM,N不相等不相等, ,若若N M=N M= , ,则则MN=MN=. .【解析解析】由由VennVenn图可知图可知N N M,M,所以所以MN=M.MN=M.答案答案: :M M3.3.如如图, ,有四个半径都有四个半径都为1 1的的圆, ,其其圆心分心分别为O O1 1(0,0),O(0,0),O2 2(2,0),O(2,0),O3 3(0,2),O(0,2),O4 4(2,2).(2,2).记集合集合M=OM=Oi i|i=1,2,3,4,|i=1,2,3,4,若若A,BA,B为M M的的非空子集非空子集, ,且且A A中的任何一个中的任何一个圆与与B B中的任中的任何一个何一个圆均无公共点均无公共点, ,则称称(A,B)(A,B)为一个一个“有序集合有序集合对”( (当当ABAB时,(A,B),(A,B)和和(B,A)(B,A)为不同的有序集合不同的有序集合对),),那么那么M M中中“有序集合有序集合对”(A,B)(A,B)的个数是的个数是. .【解析解析】注意到注意到O O1 1与与O O4 4无公共点无公共点,O,O2 2与与O O3 3无公共点无公共点, ,又当又当ABAB时时,(A,B),(A,B)和和(B,A)(B,A)为不同的有序集合对为不同的有序集合对, ,则满足题意的则满足题意的“有有序集合对序集合对”(A,B)(A,B)的个数是的个数是4.4.答案答案: :4 44.4.集合集合U=(x,y)|xR,yR, M=(x,y)|x|+|y|a, U=(x,y)|xR,yR, M=(x,y)|x|+|y|a, P=(x,y)|y=f(x),P=(x,y)|y=f(x),现给出下列函数出下列函数:f(x)=a:f(x)=ax x;f(x)=log;f(x)=loga ax;f(x)=sin(x+a);f(x)=cosax.x;f(x)=sin(x+a);f(x)=cosax.若若0a10a1时, ,恒有恒有P( M)=P,P( M)=P,则所有所有满足条件的函数足条件的函数f(x)f(x)的的编号是号是. .【解析解析】集合集合U U为坐标平面上的所有点组成的集合为坐标平面上的所有点组成的集合, ,集合集合M M为坐为坐标平面上的一个正方形区域标平面上的一个正方形区域, ,集合集合P P是函数图象上的点组成的集是函数图象上的点组成的集合合.P( M)=P.P( M)=P等价于等价于PM=PM= , ,如图如图, ,由于由于y=ay=ax x(0a1)(0a1)单调递减且过点单调递减且过点(0,1),(0,1),故其图象与区域故其图象与区域M M无公无公共点共点; ;同理同理y=logy=loga ax(0a1)x(0a1)也与区域也与区域M M无公共点无公共点; ;函数函数y=sin(x+a)y=sin(x+a)与与y y轴的交点坐标是轴的交点坐标是(0,sina),(0,sina),当当0a10a1时时,sinaa,sinaa,所以函数所以函数y=sin(x+a)y=sin(x+a)的图象与区域的图象与区域M M存在公共点存在公共点; ;函数函数y=cosaxy=cosax离区域离区域M M最最接近的与接近的与x x轴的两个交点坐标是轴的两个交点坐标是 由于由于 故两个点不在区域故两个点不在区域M M内内, ,函数函数y=cosaxy=cosax的图象的图象与与y y轴的交点坐标为轴的交点坐标为(0,1),(0,1),这个点也不在区域这个点也不在区域M M内内, ,结合余弦函结合余弦函数图象的特征可知函数数图象的特征可知函数y=cosaxy=cosax的图象与区域的图象与区域M M无公共点无公共点. .答案答案: :