流体力学流体力学第七章第七章 不可压缩流体动力学基础不可压缩流体动力学基础 参数不仅在流动方向上发生变化，而且在垂直于参数不仅在流动方向上发生变化，而且在垂直于流动方向的横截面上也要发生变化。要研究此类问题，流动方向的横截面上也要发生变化。要研究此类问题，就要用多维流的分析方法。本章主要讨论理想流体多就要用多维流的分析方法。本章主要讨论理想流体多维流动的基本规律，为解决工程实际中类似的问题提维流动的基本规律，为解决工程实际中类似的问题提供理论依据，也为进一步研究粘性流体多维流动奠定供理论依据，也为进一步研究粘性流体多维流动奠定必要的基础。必要的基础。 流体力学流体力学第一节流体微团运动的分解第一节流体微团运动的分解刚体的运动速度刚体的运动速度刚体任意参考点的平移速度刚体任意参考点的平移速度绕参考点的旋转速度绕参考点的旋转速度一、物理模型一、物理模型流体任一质点速度流体任一质点速度质点上任意参考点的平移速度质点上任意参考点的平移速度绕通过该点的瞬时轴旋转速度绕通过该点的瞬时轴旋转速度变形速度变形速度流体力学流体力学流体微团的运动流体微团的运动移动移动转动转动变形运动变形运动流体力学流体力学各点速度关系各点速度关系: :AMDCByx0M M点速度点速度: :C C点速度点速度: :B B点速度点速度: :流体力学流体力学二、物理意义（二、物理意义（以平面流动进行分析以平面流动进行分析）1.平移运动平移运动向左移动向左移动向上移动向上移动流体力学流体力学2.线变形运动线变形运动每秒内单位长度的伸长（或缩短）量称为线应变速度每秒内单位长度的伸长（或缩短）量称为线应变速度BDAC同理同理y向线变形速度：向线变形速度：B、C在在x方向有速度差方向有速度差经过经过dt时间时间BC边伸长边伸长单位时间单位长度的伸长：单位时间单位长度的伸长：流体力学流体力学3.角变形运动角变形运动B、C在在y方向有速度差：方向有速度差：在在dt时间内时间内BC线段将旋转：线段将旋转：ACB同理，同理，AB在在dt时间线段将旋转：时间线段将旋转：流体力学流体力学单位时间内直角单位时间内直角ABC变成锐角变成锐角ABC，变形速度为：，变形速度为：定义定义XY平面的剪切变形率为：平面的剪切变形率为：同理可得：同理可得：流体力学流体力学4.旋转运动旋转运动流体微团的旋转角速度的定义流体微团的旋转角速度的定义为为每秒内绕同一转轴的两条互每秒内绕同一转轴的两条互相垂直的微元线段旋转角度的相垂直的微元线段旋转角度的平均值。平均值。规定逆时针旋转角度为正：规定逆时针旋转角度为正：ACBBC边旋转的角度为：边旋转的角度为：BA边旋转的角度为：边旋转的角度为：流体力学流体力学轴旋转角速度为两个互相垂直边旋转角速度的一半：轴旋转角速度为两个互相垂直边旋转角速度的一半：流体力学流体力学移动移动 线变形运动线变形运动角变形运动角变形运动旋转运动旋转运动流体质点速度表达为：流体质点速度表达为：Y Y和和Z Z方向的速度由同学们自己分析！方向的速度由同学们自己分析！流体力学流体力学 根据流体微团在流动中是否旋转，可将流体的流动分根据流体微团在流动中是否旋转，可将流体的流动分为两类：有旋流动和无旋流动。为两类：有旋流动和无旋流动。第二节第二节 有旋运动有旋运动数学条件：数学条件： 当当 当当 无旋流动无旋流动 有旋流动有旋流动 在笛卡儿坐标系中：在笛卡儿坐标系中： 流体力学流体力学即当流场速度同时满足：即当流场速度同时满足： 时流动无旋 需要指出的是，需要指出的是，有旋流动和无旋流动仅由流体微团本身是有旋流动和无旋流动仅由流体微团本身是否发生旋转来决定，而与流体微团本身的运动轨迹无关。否发生旋转来决定，而与流体微团本身的运动轨迹无关。流体力学1.1.涡量场涡量场涡量连续性方程的表示：涡量连续性方程的表示：流体力学流体力学2.2.涡管涡管 涡束涡束在给定瞬时，在涡量场中任取在给定瞬时，在涡量场中任取一不是涡线的封闭曲线，通过一不是涡线的封闭曲线，通过封闭曲线上每一点作涡线，这封闭曲线上每一点作涡线，这些涡线形成一个管状表面，称些涡线形成一个管状表面，称为为涡管涡管。涡管中充满着作旋转。涡管中充满着作旋转运动的流体，称为运动的流体，称为涡束涡束。涡管涡管流体力学流体力学3.3.涡通量涡通量旋转角速度的值旋转角速度的值与垂直于角速与垂直于角速度方向的微元涡管横截面积度方向的微元涡管横截面积dAdA的的乘积的两倍称为微元涡管的涡通乘积的两倍称为微元涡管的涡通量量( (也称涡管强度也称涡管强度) )。涡通量涡通量有限截面涡管的涡通量有限截面涡管的涡通量流体力学流体力学4. 4. 速度环量速度环量u 涡通量和流体微团的角速度不能直接测得。涡通量和流体微团的角速度不能直接测得。u 实际观察发现，在有旋流动中流体环绕某一核心旋实际观察发现，在有旋流动中流体环绕某一核心旋转，涡通量越大，旋转速度越快，旋转范围越扩大。转，涡通量越大，旋转速度越快，旋转范围越扩大。u 可以推测，涡通量与环绕核心的流体中的速度分布有密可以推测，涡通量与环绕核心的流体中的速度分布有密切关系。切关系。流体力学流体力学 速度环量速度环量：速度在某一封闭周线切线上：速度在某一封闭周线切线上的分量沿该封闭周线的线积分。的分量沿该封闭周线的线积分。 速度环量是一代数量，它的正负与速度的方向和线积分速度环量是一代数量，它的正负与速度的方向和线积分的绕行方向有关。的绕行方向有关。对非定常流动，速度环量是一个瞬时的概对非定常流动，速度环量是一个瞬时的概念，应根据同一瞬时曲线上各点的速度计算念，应根据同一瞬时曲线上各点的速度计算. .流体力学流体力学 规定沿封闭周线绕行的正方向为规定沿封闭周线绕行的正方向为逆时针方向逆时针方向，即封闭，即封闭周线所包围的面积总在前进方向的左侧；被包围面积的法周线所包围的面积总在前进方向的左侧；被包围面积的法线的正方向应与绕行的正方向形成线的正方向应与绕行的正方向形成右手螺旋系统右手螺旋系统。速度环量速度环量流体力学流体力学5.5.斯托克斯定理斯托克斯定理 当封闭周线内有涡束时，则沿封闭周线的速当封闭周线内有涡束时，则沿封闭周线的速度环量等于该封闭周线内所有涡束的涡通量之和。度环量等于该封闭周线内所有涡束的涡通量之和。 斯托克斯定理适用于微元涡束、有限单斯托克斯定理适用于微元涡束、有限单连通区域、空间曲面。连通区域、空间曲面。流体力学流体力学6.6.汤姆孙（汤姆孙（W. ThomsonW. Thomson）定理：）定理： 对于非粘性的不可压缩流体和可压缩正压流体，在对于非粘性的不可压缩流体和可压缩正压流体，在有势质量力作用下速度环量和旋涡都是不能自行产生、有势质量力作用下速度环量和旋涡都是不能自行产生、也是不能自行消灭的。也是不能自行消灭的。 正压性的理想流体在有势的质量力作用下沿任何由流体正压性的理想流体在有势的质量力作用下沿任何由流体质点所组成的封闭周线的速度环量不随时间而变化。质点所组成的封闭周线的速度环量不随时间而变化。斯托克斯定理和汤姆孙定理表明，理想正压性流体在有势的斯托克斯定理和汤姆孙定理表明，理想正压性流体在有势的质量力作用下，涡旋不会自行产生，也不会自行消失。质量力作用下，涡旋不会自行产生，也不会自行消失。流体力学流体力学第三节第三节 微分形式的连续性方程微分形式的连续性方程 当当把把流流体体的的流流动动看看作作是是连连续续介介质质的的流流动动，它它必必然然遵遵守守质质量量守守恒恒定定律律。对对于于一一定定的的控控制制体体，必必须须满满足足输输运运公公式式。它它表表示示在在控控制制体体内内由由于于流流体体密密度度变变化化所所引引起起的的流流体体质质量量随随时时间间的的变变化化率率等于单位时间内通过控制体的流体质量的净通量。等于单位时间内通过控制体的流体质量的净通量。 选取一微元体，中心点为选取一微元体，中心点为M（x，y，z），密度为），密度为，边长分别为边长分别为x，y，z，且分，且分别平行于别平行于x，y，z轴。轴。M点速度：点速度：N点点x方向速度分量：方向速度分量：N点坐标：点坐标：N点密度：点密度：DAN. .BCGFEM. .HO. .XZYDAN. .BCGFEM. .HO. .XZY通过以通过以N点为中心点为中心流入流入微元体的质量流量微元体的质量流量x方向速度分量：方向速度分量：通过以通过以O点为中心流出微元体的质量流量点为中心流出微元体的质量流量O点坐标：点坐标：O点密度：点密度：DAN. .BCGFEM. .HO. .XZY净流入流入流出净流入流入流出同理同理y方向：净流入方向：净流入z方向：净流入方向：净流入净流入微元体质量流量净流入微元体质量流量净流入微元体质量流量流体质量增长率净流入微元体质量流量流体质量增长率根据质量守恒定律：根据质量守恒定律：单位时间微元体流体质量增长率：单位时间微元体流体质量增长率：将引入得流体力学流体力学代入上式代入上式得 直角坐标系下连续性方程的一般形式。（很多工程上问题可看成不可压缩流体，因此在很多推导中会用到此结果）（很多工程上问题可看成不可压缩流体，因此在很多推导中会用到此结果）讨论：讨论：（表明对恒定流动，相同时间里流进和流出微元体质量相等）（表明对恒定流动，相同时间里流进和流出微元体质量相等）2） 对不可压缩流体流动对不可压缩流体流动或(流速矢量的散度)1） 对恒定流动对恒定流动例 三维不可压缩流场，已知 且已知 试求流场中Vz的表达示。解：对不可压缩流场而代入上式得即处流体力学流体力学流体力学流体力学代入条件得流体力学流体力学第四节第四节 以应力表示的粘性流体运动微分方程以应力表示的粘性流体运动微分方程一、黏性流体的内应力一、黏性流体的内应力(应力状态应力状态)流体力学u静止状态静止状态流体力学u粘性流体运动状态粘性流体运动状态流体力学流体力学二、以应力表示的运动微分方程二、以应力表示的运动微分方程dydzdx第一个下标表示第一个下标表示应力所在平面的应力所在平面的法线方向。法线方向。第二个下标第二个下标表示应力本表示应力本身的方向。身的方向。流体力学流体力学流体力学流体力学第五节第五节 应力和变形速度的关系应力和变形速度的关系三元流牛顿内摩擦定律，由一元流牛顿内摩擦定律推广得：三元流牛顿内摩擦定律，由一元流牛顿内摩擦定律推广得：一、切应力和角应变速度的关系一、切应力和角应变速度的关系假若流体的粘度假若流体的粘度在个方向上都是在个方向上都是相同的可得相同的可得流体力学流体力学在粘性流体中，由于粘性的影响，流体微团除发生角变形以外，同时也在粘性流体中，由于粘性的影响，流体微团除发生角变形以外，同时也发生线变形（对不可压缩流体推导的结果如下）。发生线变形（对不可压缩流体推导的结果如下）。二、法应力和线变形速度的关系二、法应力和线变形速度的关系对可压缩流体推导的结果如下：对可压缩流体推导的结果如下：流体力学流体力学第六节第六节 纳维纳维斯托克斯方程斯托克斯方程 现将切向应力和法向应力的关系式代入平衡方程式现将切向应力和法向应力的关系式代入平衡方程式, ,化简化简可得不可压缩粘性流体的运动微分方程：可得不可压缩粘性流体的运动微分方程： 纳维纳维-斯托克斯（斯托克斯（Navier-Stokes）方程）方程流体力学流体力学N-S方程的另一种形式为（不可压缩流体的运动）：方程的另一种形式为（不可压缩流体的运动）：流体力学流体力学以上三式加上不可压缩流体的连续方程：以上三式加上不可压缩流体的连续方程：共有四个方程，原则上可以求解不可压缩粘性流体运动问题中共有四个方程，原则上可以求解不可压缩粘性流体运动问题中的四个未知数的四个未知数 和和p。但是，实际上由于流体流动。但是，实际上由于流体流动现象很复杂，要利用这四个方程去求解一般可压缩粘性流体的现象很复杂，要利用这四个方程去求解一般可压缩粘性流体的运动问题，在数学上还是很困难的。所以，求解纳维运动问题，在数学上还是很困难的。所以，求解纳维-斯托克斯托克斯方程，仍然是流体力学的一项重要任务。斯方程，仍然是流体力学的一项重要任务。流体力学流体力学第七节第七节 理想流体的运动微分方程及其积分理想流体的运动微分方程及其积分一、运动微分方程一、运动微分方程当流体为理想流体时，运动黏度 ，N-S方程简化为：流体力学流体力学将加速度的表达式代入将加速度的表达式代入其矢量式为其矢量式为 ：公式为理想流体运动微分方程式，物理上表示了作用在单位质量流体上公式为理想流体运动微分方程式，物理上表示了作用在单位质量流体上的质量力、表面力和惯性力相平衡。该式推导过程中对流体的压缩性没的质量力、表面力和惯性力相平衡。该式推导过程中对流体的压缩性没加限制，故可适用于理想的可压流体和不可压缩流体，适用于有旋流动加限制，故可适用于理想的可压流体和不可压缩流体，适用于有旋流动和无旋流动。和无旋流动。流体力学如果流体处于静止状态，则上式简化为：如果流体处于静止状态，则上式简化为：此即欧拉平衡方程此即欧拉平衡方程流体平衡微分方程。流体平衡微分方程。流体力学流体力学一、一、定解条件定解条件方程组的封闭问题方程组的封闭问题连续方程连续方程 1个个运动方程运动方程 3个个4个个未知量未知量5个个还需要增添一个方程，使方程组封闭，才能求解。还需要增添一个方程，使方程组封闭，才能求解。对于不可压缩流体，对于不可压缩流体，对于密度仅是压强的函数的流体对于密度仅是压强的函数的流体第八节 流体运动的初始条件及边界条件流体力学流体力学方程组的定解条件方程组的定解条件定解条件初始条件边界条件流体力学流体力学1、初始条件、初始条件 初始条件是指在起始瞬时初始条件是指在起始瞬时t0所给定的流场中每一点的所给定的流场中每一点的流动参数。流动参数。 也就是说，求得的解在也就是说，求得的解在t0时所应分别满足的时所应分别满足的预先给定的坐标函数。预先给定的坐标函数。定常流动不需要给定初始条件。定常流动不需要给定初始条件。流体力学流体力学2、边界条件、边界条件 边界条件是指任一瞬时运动流体所占边界条件是指任一瞬时运动流体所占空间的边界上必须满足的条件。空间的边界上必须满足的条件。 边界条件边界条件运动学条件：边界上速度运动学条件：边界上速度动力学条件：边界上的力（压强）动力学条件：边界上的力（压强）流体力学流体力学u固体壁面固体壁面 流体既不能穿透壁面，也不能脱离壁面而形成空隙，即流体与流体既不能穿透壁面，也不能脱离壁面而形成空隙，即流体与壁面在法线方向的相对分速度应等于零。即：壁面在法线方向的相对分速度应等于零。即：若固壁是静止的：若固壁是静止的：在两种不同流体交界面上：在两种不同流体交界面上：u流体交界面流体交界面u无穷远处无穷远处 一般给定无穷远处流体的速度、压强和密度。一般给定无穷远处流体的速度、压强和密度。u流道进、出口处流道进、出口处 一般给定进、出口处的速度分布、温度、压力等。一般给定进、出口处的速度分布、温度、压力等。