第二章第二章行列式是人们从解线性方程组的需要讨论中建立起行列式是人们从解线性方程组的需要讨论中建立起行列式是人们从解线性方程组的需要讨论中建立起行列式是人们从解线性方程组的需要讨论中建立起来的。它是高等代数中的一个基本概念，它不仅是研究来的。它是高等代数中的一个基本概念，它不仅是研究来的。它是高等代数中的一个基本概念，它不仅是研究来的。它是高等代数中的一个基本概念，它不仅是研究线性方程组的重要工具，而且在讨论向量、矩阵和二次线性方程组的重要工具，而且在讨论向量、矩阵和二次线性方程组的重要工具，而且在讨论向量、矩阵和二次线性方程组的重要工具，而且在讨论向量、矩阵和二次型时也有广泛的应用。型时也有广泛的应用。型时也有广泛的应用。型时也有广泛的应用。本章主要内容有：本章主要内容有：本章主要内容有：本章主要内容有：1 11. 排列排列定义定义定义定义1 1 由由由由 组成的一个有序数组称为一个组成的一个有序数组称为一个组成的一个有序数组称为一个组成的一个有序数组称为一个 级排列级排列级排列级排列. . 定义定义定义定义2 2 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数. .排列排列排列排列 的逆序数记为的逆序数记为的逆序数记为的逆序数记为: : 定义定义定义定义3 3 逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列排列称为奇排列排列称为奇排列排列称为奇排列. . 定理定理定理定理1 1 对换改变排列的奇偶性对换改变排列的奇偶性对换改变排列的奇偶性对换改变排列的奇偶性. . 定理定理定理定理2 2任意一个任意一个任意一个任意一个 级排列与排列级排列与排列级排列与排列级排列与排列 都可以经过一系列对换互都可以经过一系列对换互都可以经过一系列对换互都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性变，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性变，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性变，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性. . 在全部在全部在全部在全部 级排列中，奇、偶排列的个数相等，各有级排列中，奇、偶排列的个数相等，各有级排列中，奇、偶排列的个数相等，各有级排列中，奇、偶排列的个数相等，各有 个个个个. .2 22. n级行列式级行列式 定义定义定义定义4 4 级行列式级行列式级行列式级行列式 (1) (1)等于所有取自不同行不同列的等于所有取自不同行不同列的等于所有取自不同行不同列的等于所有取自不同行不同列的 个元素的乘积个元素的乘积个元素的乘积个元素的乘积 (2) (2) 的代数和，这里的代数和，这里的代数和，这里的代数和，这里 是是是是 的一个排列，的一个排列，的一个排列，的一个排列，每一项每一项每一项每一项(2)(2)都按下列规则带有符号：当都按下列规则带有符号：当都按下列规则带有符号：当都按下列规则带有符号：当 是偶排列是偶排列是偶排列是偶排列时，时，时，时，(2)(2)带有正号，当带有正号，当带有正号，当带有正号，当 是奇排列时，是奇排列时，是奇排列时，是奇排列时，(2)(2)带有负号带有负号带有负号带有负号. .这一定义可以写成这一定义可以写成这一定义可以写成这一定义可以写成3 32. n级行列式（续级行列式（续1）l l (3) (3)l l这里这里这里这里 表示对所有表示对所有表示对所有表示对所有 级排列求和级排列求和级排列求和级排列求和. .l l(3)(3)式称为式称为式称为式称为 级行列式的展开式级行列式的展开式级行列式的展开式级行列式的展开式 l l 级行列式还可表示成级行列式还可表示成级行列式还可表示成级行列式还可表示成l l (4) (4)4 42. n级行列式（续级行列式（续2）还可同时应用行、列指标的排列来决定行列式还可同时应用行、列指标的排列来决定行列式还可同时应用行、列指标的排列来决定行列式还可同时应用行、列指标的排列来决定行列式(1)(1)中的中的中的中的项前面所带的正负号：项前面所带的正负号：项前面所带的正负号：项前面所带的正负号：(1)(1)的项的项的项的项 前面所带的符号为前面所带的符号为前面所带的符号为前面所带的符号为一些特殊的行列式：一些特殊的行列式：一些特殊的行列式：一些特殊的行列式：(1)(1)上三角行列式上三角行列式上三角行列式上三角行列式(2)(2)下三角行列式下三角行列式下三角行列式下三角行列式5 53. 行列式的性质行列式的性质性质性质性质性质1 1 行列互换，行列式不变行列互换，行列式不变行列互换，行列式不变行列互换，行列式不变. .即即即即性质性质性质性质2 2 行列式某一行的公因子可以提出来，即行列式某一行的公因子可以提出来，即行列式某一行的公因子可以提出来，即行列式某一行的公因子可以提出来，即6 63. 行列式的性质（续行列式的性质（续1）推论：推论：推论：推论： 如果行列式中一行为如果行列式中一行为如果行列式中一行为如果行列式中一行为0 0，那么行列式为，那么行列式为，那么行列式为，那么行列式为0. 0.性质性质性质性质3 37 73. 行列式的性质（续行列式的性质（续2）性质性质性质性质4 4 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零如果行列式中有两行相同，那么行列式为零如果行列式中有两行相同，那么行列式为零如果行列式中有两行相同，那么行列式为零. .（所（所（所（所谓两行相同就是说两行的对应元素都相等）谓两行相同就是说两行的对应元素都相等）谓两行相同就是说两行的对应元素都相等）谓两行相同就是说两行的对应元素都相等）性质性质性质性质5 5 如果行列式中两行成比例，那么行列式为零如果行列式中两行成比例，那么行列式为零如果行列式中两行成比例，那么行列式为零如果行列式中两行成比例，那么行列式为零. .性质性质性质性质6 6 把一行的倍数加到另一行，行列式不变把一行的倍数加到另一行，行列式不变把一行的倍数加到另一行，行列式不变把一行的倍数加到另一行，行列式不变. .性质性质性质性质7 7 对换行列式中两行的位置，行列式反号对换行列式中两行的位置，行列式反号对换行列式中两行的位置，行列式反号对换行列式中两行的位置，行列式反号. .8 84. 行列式的计算行列式的计算定义定义定义定义5 5 由由由由 个数排成的个数排成的个数排成的个数排成的 行行行行( (横的横的横的横的) )， 列列列列( (纵的纵的纵的纵的) )的表的表的表的表 称为一个称为一个称为一个称为一个 矩阵矩阵矩阵矩阵. .9 94. 行列式的计算（续行列式的计算（续1）定义定义定义定义6 6 所谓数域所谓数域所谓数域所谓数域 上矩阵的初等行变换是指下列三种变换：上矩阵的初等行变换是指下列三种变换：上矩阵的初等行变换是指下列三种变换：上矩阵的初等行变换是指下列三种变换：1) 1) 以以以以 中一个非零的数乘矩阵的一行；中一个非零的数乘矩阵的一行；中一个非零的数乘矩阵的一行；中一个非零的数乘矩阵的一行；2) 2) 把矩阵的某一行的把矩阵的某一行的把矩阵的某一行的把矩阵的某一行的 倍加到另一行，这里倍加到另一行，这里倍加到另一行，这里倍加到另一行，这里 是是是是 中任意一中任意一中任意一中任意一个数；个数；个数；个数；3) 3) 互换矩阵中两行的位置互换矩阵中两行的位置互换矩阵中两行的位置互换矩阵中两行的位置. .10104. 行列式的计算（续行列式的计算（续2）一个一个一个一个 级行列式可看成是由一个级行列式可看成是由一个级行列式可看成是由一个级行列式可看成是由一个 级方阵级方阵级方阵级方阵 决定的，对于决定的，对于决定的，对于决定的，对于矩阵可以作初等行变换，而行列式的性质矩阵可以作初等行变换，而行列式的性质矩阵可以作初等行变换，而行列式的性质矩阵可以作初等行变换，而行列式的性质2 2，6 6，7 7正是说明正是说明正是说明正是说明了方阵的初等行变换对于行列式的值的影响了方阵的初等行变换对于行列式的值的影响了方阵的初等行变换对于行列式的值的影响了方阵的初等行变换对于行列式的值的影响. .每个方阵每个方阵每个方阵每个方阵 总总总总可以经过一系列的初等行变换变成阶梯形方阵可以经过一系列的初等行变换变成阶梯形方阵可以经过一系列的初等行变换变成阶梯形方阵可以经过一系列的初等行变换变成阶梯形方阵 . .由行列式由行列式由行列式由行列式性质性质性质性质2 2，6 6，7 7，对方阵每作一次初等行变换，相应地，行列，对方阵每作一次初等行变换，相应地，行列，对方阵每作一次初等行变换，相应地，行列，对方阵每作一次初等行变换，相应地，行列式或者不变，或者差一非零的倍数，也就是式或者不变，或者差一非零的倍数，也就是式或者不变，或者差一非零的倍数，也就是式或者不变，或者差一非零的倍数，也就是显然，阶梯形方阵都是上三角形的，我们知道一个上三角显然，阶梯形方阵都是上三角形的，我们知道一个上三角显然，阶梯形方阵都是上三角形的，我们知道一个上三角显然，阶梯形方阵都是上三角形的，我们知道一个上三角形行列式的值就等于它的主对角线上元素的乘积形行列式的值就等于它的主对角线上元素的乘积形行列式的值就等于它的主对角线上元素的乘积形行列式的值就等于它的主对角线上元素的乘积. .因此因此因此因此 是是是是容易计算的容易计算的容易计算的容易计算的. .11114. 行列式的计算（续行列式的计算（续3）行列式的计算方法：行列式的计算方法：行列式的计算方法：行列式的计算方法： (1) (1) 简单的行列式按照定义计算简单的行列式按照定义计算简单的行列式按照定义计算简单的行列式按照定义计算 (2) (2) 利用行列式性质化成上三角行列式利用行列式性质化成上三角行列式利用行列式性质化成上三角行列式利用行列式性质化成上三角行列式 (3) (3) 应用一行（列）展开公式应用一行（列）展开公式应用一行（列）展开公式应用一行（列）展开公式 (4) (4) 应用一些已知公式应用一些已知公式应用一些已知公式应用一些已知公式12125. 行列式按一行（列）展开行列式按一行（列）展开定义定义定义定义7 7 在行列式在行列式在行列式在行列式 中划去元素中划去元素中划去元素中划去元素 所在的第所在的第所在的第所在的第 行与第行与第行与第行与第 列，剩下的列，剩下的列，剩下的列，剩下的 个元素个元素个元素个元素按原来的排法构成一个按原来的排法构成一个按原来的排法构成一个按原来的排法构成一个 级的行列式级的行列式级的行列式级的行列式. .13135. 行列式按一行（列）展开（续行列式按一行（列）展开（续1）称为元素称为元素称为元素称为元素 的余子式，记为的余子式，记为的余子式，记为的余子式，记为 令令令令 称为元素称为元素称为元素称为元素 的代数余子式的代数余子式的代数余子式的代数余子式. .14145. 行列式按一行（列）展开（续行列式按一行（列）展开（续2）定理定理定理定理 设设设设 表示元素表示元素表示元素表示元素 的代数余子式的代数余子式的代数余子式的代数余子式 , ,则下列公式成立则下列公式成立则下列公式成立则下列公式成立用连加号简写为用连加号简写为用连加号简写为用连加号简写为15155. 行列式按一行（列）展开（续行列式按一行（列）展开（续3） 级的范德蒙（级的范德蒙（级的范德蒙（级的范德蒙（VandermondeVandermonde）行列式行列式行列式行列式16166. 克拉默法则克拉默法则定理（克拉默法则）定理（克拉默法则）定理（克拉默法则）定理（克拉默法则） 如果线性方程组如果线性方程组如果线性方程组如果线性方程组 (1) (1)的系数矩阵的系数矩阵的系数矩阵的系数矩阵 (2) (2)17176. 克拉默法则（续克拉默法则（续1）的行列式的行列式的行列式的行列式那么线性方程组那么线性方程组那么线性方程组那么线性方程组(1)(1)有解，并且解是唯一的，解可以通有解，并且解是唯一的，解可以通有解，并且解是唯一的，解可以通有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为过系数表为过系数表为过系数表为 (2) (2)其中其中其中其中 是把矩阵是把矩阵是把矩阵是把矩阵 中第中第中第中第 列换成方程组的常数项所成列换成方程组的常数项所成列换成方程组的常数项所成列换成方程组的常数项所成的矩阵的行列式的矩阵的行列式的矩阵的行列式的矩阵的行列式18186. 克拉默法则（续克拉默法则（续2）定理定理定理定理 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组的系数矩阵的行列式的系数矩阵的行列式的系数矩阵的行列式的系数矩阵的行列式 那么它只有零解那么它只有零解那么它只有零解那么它只有零解. .换句话说，换句话说，换句话说，换句话说，如果该方程组有非零解，那么必有如果该方程组有非零解，那么必有如果该方程组有非零解，那么必有如果该方程组有非零解，那么必有推论推论推论推论 齐次线性方程组存在非零解的充分必要条件是系数齐次线性方程组存在非零解的充分必要条件是系数齐次线性方程组存在非零解的充分必要条件是系数齐次线性方程组存在非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式矩阵的行列式矩阵的行列式矩阵的行列式 ；齐次线性方程组只有零解的充分；齐次线性方程组只有零解的充分；齐次线性方程组只有零解的充分；齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式必要条件是系数矩阵的行列式必要条件是系数矩阵的行列式必要条件是系数矩阵的行列式 . .19197. 拉普拉斯定理拉普拉斯定理定理（拉普拉斯定理）定理（拉普拉斯定理）定理（拉普拉斯定理）定理（拉普拉斯定理） 设在行列式设在行列式设在行列式设在行列式 中任意取定了中任意取定了中任意取定了中任意取定了 个个个个 行行行行. .由这由这由这由这 行元素所组成的一切行元素所组成的一切行元素所组成的一切行元素所组成的一切 级级级级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式 . .2020