第二章第二章 逻辑函数及其简化逻辑函数及其简化 2.1.1 2.1.1 基本逻辑函数基本逻辑函数与逻辑举例：与逻辑举例：设设1 1表示开关闭合或灯亮；表示开关闭合或灯亮；0 0表示开关不表示开关不闭合或灯不亮，闭合或灯不亮，则得则得真值表真值表。 若用逻辑表达式若用逻辑表达式来描述，则可写为来描述，则可写为与运算与运算只有当决定一件事情的条件全部具备之后，这件事情只有当决定一件事情的条件全部具备之后，这件事情才会发生。我们把这种因果关系称为才会发生。我们把这种因果关系称为与逻辑与逻辑。1 1与运算与运算2 2或运算或运算当决定一件事情的几个条件中，只要有一个或一个以当决定一件事情的几个条件中，只要有一个或一个以上条件具备，这件事情就发生。我们把这种因果关系称为或逻辑。上条件具备，这件事情就发生。我们把这种因果关系称为或逻辑。 或逻辑举例：或逻辑举例： 若用逻辑表达式若用逻辑表达式来描述，则可写为：来描述，则可写为： L LA A+ +B B 3 3非非运运算算某某事事情情发发生生与与否否，仅仅取取决决于于一一个个条条件件，而而且且是是对对该该条条件件的的否否定定。即即条条件件具具备备时时事事情情不不发发生生；条条件不具备时事情才发生。件不具备时事情才发生。非逻辑举例：非逻辑举例： 若用逻辑表达式来描述，若用逻辑表达式来描述，则可写为：则可写为： AL =AL=5 5或非或非 由或运算和非运算组合而成。由或运算和非运算组合而成。 4 4与非与非 由与运算和非运算组合而成。由与运算和非运算组合而成。6 6异或异或 异或是一种异或是一种二变量二变量逻辑运算，逻辑运算，当两个变量取值相同时，逻辑函数值为当两个变量取值相同时，逻辑函数值为0 0；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为1 1。 异或的逻辑表达式为：异或的逻辑表达式为：1100(b)BA0A B10101(a)01L=A=1+AB+ B7.7.同或同或 同或是异或的非运算，即同或是异或的非运算，即当两个变量取值相同时，逻辑函数值当两个变量取值相同时，逻辑函数值为为1 1；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为0 0。 同或的逻辑表达式为：同或的逻辑表达式为：2.1.2 2.1.2 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法解：解：第一步：设置自变量和因变量。第一步：设置自变量和因变量。 第二步：第二步：状态赋值。状态赋值。 对于自变量对于自变量A A、B B、C C设：设： 同意为逻辑同意为逻辑“1 1”， 不同意为逻辑不同意为逻辑“0 0”。 对于因变量对于因变量L L设：设： 事情通过为逻辑事情通过为逻辑“1 1”， 没通过为逻辑没通过为逻辑“0 0”。一、逻辑函数的建立一、逻辑函数的建立例例1 1 三个人表决一件事情，结果按三个人表决一件事情，结果按“ “少数服从多数少数服从多数” ”的原则决定，的原则决定，试建立该逻辑函数。试建立该逻辑函数。第三步：第三步：根据题义及上述规定根据题义及上述规定 列出函数的真值表如表。列出函数的真值表如表。 一一般般地地说说，若若输输入入逻逻辑辑变变量量A A、B B、C C的的取取值值确确定定以以后后，输输出出逻逻辑辑变变量量L L的的值值也也唯唯一一地地确确定定了了，就就称称L L是是A A、B B、C C的的逻逻辑辑函数，写作：函数，写作： L L= =f（A A，B B，C C） 逻逻辑辑函函数数与与普普通通代代数数中中的的函函数数相相比比较较，有有两两个个突出的特点：突出的特点：（1 1）逻辑变量和逻辑函数只能取两个值）逻辑变量和逻辑函数只能取两个值0 0和和1 1。（2 2）函函数数和和变变量量之之间间的的关关系系是是由由“与与”、“或或”、“非非”三种基本运算决定的。三种基本运算决定的。 二、逻辑函数的表示方法二、逻辑函数的表示方法例例2 2 列出下列函数的真值表：列出下列函数的真值表： 1 1真值表真值表将输入逻辑变量的各种可能取值和相应的函数值排列将输入逻辑变量的各种可能取值和相应的函数值排列在一起而组成的表格。在一起而组成的表格。 2 2函数表达式函数表达式由逻辑变量和由逻辑变量和“ “与与” ”、“ “或或” ”、“ “非非” ”三种运算三种运算符所构成的表达式。符所构成的表达式。 由由真真值值表表可可以以转转换换为为函函数数表表达达式式。例例如如，由由“ “三三人人表表决决” ”函函数数的的真真值表可写出值表可写出逻辑表达式：逻辑表达式： 反之，由函数表达式也可以转换成真值表。反之，由函数表达式也可以转换成真值表。解：解：该函数有两个变量，有该函数有两个变量，有4 4种取值的种取值的可能组合，将他们按顺序排列起来即可能组合，将他们按顺序排列起来即得真值表。得真值表。 3 3逻辑图逻辑图逻辑图是由逻辑符号及它们之间的连线而构成的图形逻辑图是由逻辑符号及它们之间的连线而构成的图形。由逻辑图也可以写出其相应由逻辑图也可以写出其相应的函数表达式。的函数表达式。例例4 4 写出如图所示逻辑图的函数表达式。写出如图所示逻辑图的函数表达式。解：解：可由输入至输出逐步可由输入至输出逐步写出逻辑表达式：写出逻辑表达式：由函数表达式可以画出其相应的逻辑图。由函数表达式可以画出其相应的逻辑图。例例3 3 画出下列函数的逻辑图：画出下列函数的逻辑图：解：解：可用两个非门、两个与门可用两个非门、两个与门和一个或门组成。和一个或门组成。2.1.3 2.1.3 逻辑函数相等的概念逻辑函数相等的概念对于逻辑函数对于逻辑函数和和如果变量如果变量的任意一组状态组合，其函数值都相等，则称的任意一组状态组合，其函数值都相等，则称函数函数F和和G相等。相等。 其意义在于可以通过真值表验证函其意义在于可以通过真值表验证函数是否相等。数是否相等。2.1.4 2.1.4 逻辑代数的基本公式及定律逻辑代数的基本公式及定律 一、逻辑代数的基本公式一、逻辑代数的基本公式公式的证明方法：公式的证明方法：（2 2）用真值表证明，即检验等式两边函数的真值表是否一致。）用真值表证明，即检验等式两边函数的真值表是否一致。例例2 2 用真值表证明反演律用真值表证明反演律（1 1）用简单的公式证明略为复杂的公式。）用简单的公式证明略为复杂的公式。例例1 证明吸收律证明吸收律 证： 二、逻辑代数的基本规则二、逻辑代数的基本规则 对对偶偶规规则则的的基基本本内内容容是是：如如果果两两个个逻逻辑辑函函数数表表达式相等，那么它们的对偶式也一定相等。达式相等，那么它们的对偶式也一定相等。1 .代入规则代入规则 对于任何一个逻辑等式，以某个逻辑变量或逻辑函数同时取代等对于任何一个逻辑等式，以某个逻辑变量或逻辑函数同时取代等式两端任何一个逻辑变量后，等式依然成立。式两端任何一个逻辑变量后，等式依然成立。 例如，在反演律中用例如，在反演律中用BC去代替等式中的去代替等式中的B，则新的等式仍成立：，则新的等式仍成立：2 .对偶规则对偶规则 将一个逻辑函数将一个逻辑函数L进行下列变换：进行下列变换： ， 0 1，1 0所得新函数表达式叫做所得新函数表达式叫做L的的对偶式对偶式，用，用L*表示。表示。3 .反演规则反演规则 将一个逻辑函数将一个逻辑函数L进行下列变换：进行下列变换： ， ； 0 1，1 0 ； 原变量原变量 反变量，反变量， 反变量反变量 原变量。原变量。所得新函数表达式叫做所得新函数表达式叫做L的的反函数反函数，用，用 表示。表示。 在应用反演规则求反函数时要注意以下两点：在应用反演规则求反函数时要注意以下两点：（1）保持运算的优先顺序不变，必要时加括号表明，如例）保持运算的优先顺序不变，必要时加括号表明，如例3。（2）变变换换中中，几几个个变变量量（一一个个以以上上）的的公公共共非非号号保保持持不不变变，如例如例4。 利用反演规则，可以非常方便地求得一个函数的反函数利用反演规则，可以非常方便地求得一个函数的反函数 例例3 求以下函数的反函数：求以下函数的反函数：解：解：例例4 求以下函数的反函数：求以下函数的反函数：解：解：2.2 逻辑函数的简化逻辑函数的简化其中，与其中，与或表达式是逻辑函数的最基本表达形式。或表达式是逻辑函数的最基本表达形式。2 2逻辑函数的最简逻辑函数的最简“与与或表达式或表达式” 的标准的标准 （1 1）与项最少，即表达式中）与项最少，即表达式中“+ +”号最少。号最少。 （2 2）每个与项中的变量数最少，即表达式中）每个与项中的变量数最少，即表达式中“ ”号最少。号最少。1 1逻辑函数式的常见形式逻辑函数式的常见形式 一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形式，并且一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形式，并且能互相转换。例如：能互相转换。例如：2.2.1 逻辑函数的代数简化法 3 3用代数法化简逻辑函数用代数法化简逻辑函数（4）配项法。）配项法。 （1）并项法。）并项法。（2）吸收法。）吸收法。（3）消去法。）消去法。运用公式运用公式 ，将两项合并为一项，消去一个变量。如，将两项合并为一项，消去一个变量。如运用吸收律运用吸收律 A+AB=A，消去多余的与项。如消去多余的与项。如 在化简逻辑函数时，要灵活运用上述方法，才能将逻在化简逻辑函数时，要灵活运用上述方法，才能将逻辑函数化为最简。辑函数化为最简。 再举几个例子：再举几个例子： 解：解：例例6 化简逻辑函数：化简逻辑函数： （利用 ）（利用A+AB=A）（利用 ） 解：解：例例7 化简逻辑函数化简逻辑函数（利用反演律 ） （利用 ） （配项法） （利用A+AB=A）（利用A+AB=A）（利用 ）由上例可知，逻辑函数的化简结果不是唯一的。由上例可知，逻辑函数的化简结果不是唯一的。代数化简法的优点是不受变量数目的限制。代数化简法的优点是不受变量数目的限制。缺缺点点是是：没没有有固固定定的的步步骤骤可可循循；需需要要熟熟练练运运用用各各种种公公式式和和定定理理；在在化化简简一一些些较较为为复复杂杂的的逻逻辑辑函函数数时时还还需需要要一一定的技巧和经验；有时很难判定化简结果是否最简。定的技巧和经验；有时很难判定化简结果是否最简。 解法解法1： 解法解法2：例例8 化简逻辑函数：化简逻辑函数： 2.2.2 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法 一、一、 最小项的定义与性质最小项的定义与性质 最小项的定义最小项的定义 n个变量的逻辑函数中，包含全部变量的乘积项称为个变量的逻辑函数中，包含全部变量的乘积项称为最小项最小项。n变量逻辑函数的全部最小项共有变量逻辑函数的全部最小项共有2n个。个。 二、逻辑函数的最小项表达式二、逻辑函数的最小项表达式 任何一个逻辑函数表达式都可以转换为一组最小项之任何一个逻辑函数表达式都可以转换为一组最小项之和，称为和，称为最小项表达式最小项表达式。 例例1：将以下逻辑函数转换成最小项表达式：将以下逻辑函数转换成最小项表达式： 解：解： 解：解： =m7+m6+m3+m1 例例2 将下列逻辑函数转换成最小项表达式：将下列逻辑函数转换成最小项表达式： =m7+m6+m3+m5=m（3,5,6,7） 三、卡诺图三、卡诺图 2 .2 .卡诺图卡诺图 用用小小方方格格来来表表示示最最小小项项，一一个个小小方方格格代代表表一一个个最最小小项项，然然后后将将这这些些最最小小项项按按照照相相邻邻性性排排列列起起来来。即即用用小小方方格格几几何何位位置置上上的的相相邻性来表示最小项逻辑上的相邻性。邻性来表示最小项逻辑上的相邻性。 1相邻最小项相邻最小项 如果两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量均如果两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量均相同，则称这两个最小项为逻辑相邻，简称相同，则称这两个最小项为逻辑相邻，简称相邻项相邻项。 例如，最小项例如，最小项ABCABC和和 就是相邻最小项。就是相邻最小项。 如果两个相邻最小项出现在同一个逻辑函数中，可以合并为如果两个相邻最小项出现在同一个逻辑函数中，可以合并为一项，同时消去互为反变量的那个量。如一项，同时消去互为反变量的那个量。如3卡诺图的结构卡诺图的结构（2）三变量卡诺图）三变量卡诺图 （1）二变量卡诺图）二变量卡诺图（3）四变量卡诺图）四变量卡诺图仔细观察可以发现，仔细观察可以发现，卡诺图具有很强的相邻性：卡诺图具有很强的相邻性：（1）直直观观相相邻邻性性，只只要要小小方方格格在在几几何何位位置置上上相相邻邻（不不管管上上下下左左右右），它代表的最小项在逻辑上一定是相邻的。它代表的最小项在逻辑上一定是相邻的。（2）对对边边相相邻邻性性，即即与与中中心心轴轴对对称称的的左左右右两两边边和和上上下下两两边边的的小小方方格格也也具有相邻性具有相邻性。 四、用卡诺图表示逻辑函数四、用卡诺图表示逻辑函数 1 1从真值表到卡诺图从真值表到卡诺图例例3 某逻辑函数的真值表如下表所示，用卡诺图表示该逻辑函数某逻辑函数的真值表如下表所示，用卡诺图表示该逻辑函数。解解： 该该函函数数为为三三变变量量，先先画画出出三三变变量量卡卡诺诺图图，然然后后根根据据真真值值表表将将8个个最最小项小项L的取值的取值0或者或者1填入卡诺图中对应的填入卡诺图中对应的8个小方格中即可。个小方格中即可。2从逻辑表达式到卡诺图从逻辑表达式到卡诺图（2）如如表表达达式式不不是是最最小小项项表表达达式式，但但是是“与与或或表表达达式式”，可可将将其其先先化化成成最最小小项项表表达达式式，再再填填入入卡诺图。也可直接填入。卡诺图。也可直接填入。 例例5 用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数（1）如果表达式为最小项表达式，则可直接填入卡诺图。）如果表达式为最小项表达式，则可直接填入卡诺图。 例例4 用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数:解：解： 写成简化形式：写成简化形式：然后填入卡诺图：然后填入卡诺图：解：解：直接填入：直接填入： 五、逻辑函数的卡诺图化简法五、逻辑函数的卡诺图化简法 1卡诺图化简逻辑函数的原理卡诺图化简逻辑函数的原理 :（1）2个相邻的最小项结合，可以消去个相邻的最小项结合，可以消去1个取值不同的变量而合并为个取值不同的变量而合并为l项。项。（2）4个相邻的最小项结合，可以消去个相邻的最小项结合，可以消去2个取值不同的变量而合并为个取值不同的变量而合并为l项。项。 （3）8个相邻的最小项结合，可以消去个相邻的最小项结合，可以消去3个取值不同的变量而合并为个取值不同的变量而合并为l项。项。 总之，总之，2n个相邻的最小项结合，可以消去个相邻的最小项结合，可以消去n个取个取值不同的变量而合并为值不同的变量而合并为l项。项。 2用卡诺图合并最小项的原则（画圈的原则）用卡诺图合并最小项的原则（画圈的原则） （1）尽量画大圈，但每个圈内只能含有）尽量画大圈，但每个圈内只能含有2n（n=0,1,2,3）个相邻项。）个相邻项。要特别注意对边相邻性和四角相邻性。要特别注意对边相邻性和四角相邻性。 （2）圈的个数尽量少。）圈的个数尽量少。 （3）卡卡诺诺图图中中所所有有取取值值为为1的的方方格格均均要要被被圈圈过过，即即不不能能漏漏下下取取值值为为1的的最最小项。小项。 （4）在新画的包围圈中至少要含有）在新画的包围圈中至少要含有1个末被圈过的个末被圈过的1方格，否则该包围圈方格，否则该包围圈是多余的。是多余的。3用卡诺图化简逻辑函数的步骤：用卡诺图化简逻辑函数的步骤： （1）画出逻辑函数的卡诺图。）画出逻辑函数的卡诺图。 （2）合并相邻的最小项，即根据前述原则画圈。）合并相邻的最小项，即根据前述原则画圈。 （3）写写出出化化简简后后的的表表达达式式。每每一一个个圈圈写写一一个个最最简简与与项项，规规则则是是，取取值值为为l的的变变量量用用原原变变量量表表示示，取取值值为为0的的变变量量用用反反变变量量表表示示，将将这这些些变变量量相相与。然后将所有与项进行逻辑加，即得最简与。然后将所有与项进行逻辑加，即得最简与与或表达式或表达式。 例例6 用卡诺图化简逻辑函数：用卡诺图化简逻辑函数：L（A,B,C,D）=m（0,2,3,4,6,7,10,11,13,14,15）解解：（1）由表达式画出卡诺图。）由表达式画出卡诺图。（2）画包围圈，合并最小项，）画包围圈，合并最小项，得简化的与得简化的与或表达式或表达式:解解：（1）由表达式画出卡诺图。）由表达式画出卡诺图。（2）画包围圈合并最小项，）画包围圈合并最小项，得简化的与得简化的与或表达式或表达式:例例7 用卡诺图化简逻辑函数：用卡诺图化简逻辑函数：注意：图中的虚线圈是多余的，应去掉注意：图中的虚线圈是多余的，应去掉 。例例3.2.8 某逻辑函数的真值表如表某逻辑函数的真值表如表3.2.4所示，用卡诺图化简该逻辑函数。所示，用卡诺图化简该逻辑函数。（2）画包围圈合并最小项。）画包围圈合并最小项。有两种画圈的方法：有两种画圈的方法：（a）：写出）：写出表达式：表达式： 解解：（1）由真值表画出卡诺图。）由真值表画出卡诺图。（b）：写出表达式：）：写出表达式： 通过这个例子可以看出，一个逻辑函数的真值表是唯一的，通过这个例子可以看出，一个逻辑函数的真值表是唯一的，通过这个例子可以看出，一个逻辑函数的真值表是唯一的，通过这个例子可以看出，一个逻辑函数的真值表是唯一的，卡诺图也是唯一的，但化简结果有时不是唯一的。卡诺图也是唯一的，但化简结果有时不是唯一的。卡诺图也是唯一的，但化简结果有时不是唯一的。卡诺图也是唯一的，但化简结果有时不是唯一的。 4卡诺图化简逻辑函数的另一种方法卡诺图化简逻辑函数的另一种方法圈圈0法法例例9 已知逻辑函数的卡诺图如图已知逻辑函数的卡诺图如图3.2.13所示，分别用所示，分别用“圈圈1法法”和和“圈圈0法法”写出其最简与写出其最简与或式。或式。解解：（1）用圈）用圈1法画包围圈，得：法画包围圈，得：（2）用圈）用圈0法画包围圈，得：法画包围圈，得： 六、具有无关项的逻辑函数的化简六、具有无关项的逻辑函数的化简 1无关项无关项在有些逻辑函数中，输入变量的某些取值组合不会出现，在有些逻辑函数中，输入变量的某些取值组合不会出现，或者一旦出现，逻辑值可以是任意的。这样的取值组合所对应的最小项或者一旦出现，逻辑值可以是任意的。这样的取值组合所对应的最小项称为无关项、任意项或约束项。称为无关项、任意项或约束项。 例例10：在在十十字字路路口口有有红红绿绿黄黄三三色色交交通通信信号号灯灯，规规定定红红灯灯亮亮停停，绿绿灯灯亮亮行行，黄灯亮等一等，试分析车行与三色信号灯之间逻辑关系。黄灯亮等一等，试分析车行与三色信号灯之间逻辑关系。解：解：设红、绿、黄灯分别用设红、绿、黄灯分别用A、B、C表示，且灯亮为表示，且灯亮为1，灯灭为，灯灭为0。车用车用L表示，车行表示，车行L=1，车停，车停L=0。列出该函数的真值。列出该函数的真值。显显而而易易见见，在在这这个个函函数数中中，有有5个个最小项为无关项。最小项为无关项。带带有有无无关关项项的的逻逻辑辑函函数数的的最最小项表达式为：小项表达式为：L L=m m（ ）+d d（ ）如本例函数可写成如本例函数可写成L L=m m（2 2）+d d（0,3,5,6,70,3,5,6,7）2具有无关项的逻辑函数的化简具有无关项的逻辑函数的化简 化简具有无关项的逻辑函数时，要充分利用无关项可以当化简具有无关项的逻辑函数时，要充分利用无关项可以当0也可以当也可以当1的特点，尽量扩大卡诺圈，使逻辑函数更简。的特点，尽量扩大卡诺圈，使逻辑函数更简。 例例10：不考虑无关项时，表达式为：不考虑无关项时，表达式为：注注意意: :在在考考虑虑无无关关项项时时，哪哪些些无无关关项项当当作作1 1，哪哪些些无无关关项项当当作作0 0，要要以以尽尽量量扩扩大大卡卡诺诺圈圈、减减少少圈圈的的个个数数，使使逻逻辑辑函函数更简为原则。数更简为原则。考虑无关项时，表达式为考虑无关项时，表达式为: 例例1111：某逻辑函数输入是某逻辑函数输入是84218421BCD码，其逻辑表达式为：码，其逻辑表达式为： L（A A, ,B B, ,C, ,D）=m（1,4,5,6,7,91,4,5,6,7,9）+d（10,11,12,13,14,1510,11,12,13,14,15） 用卡诺图法化简该逻辑函数。用卡诺图法化简该逻辑函数。解解：（1 1）画画出出4 4变变量量卡卡诺诺图图。将将1 1、4 4、5 5、6 6、7 7、9 9号号小小方方格格填填入入1 1； 将将1010、1111、1212、1313、1414、1515号小方格填入号小方格填入。（2 2）合合并并最最小小项项，如如图图（a）所所示示。注注意意，1 1方方格格不不能能漏漏。方方格格根据需要，可以圈入，也可以放弃。根据需要，可以圈入，也可以放弃。（3 3）写出逻辑函数的最简与）写出逻辑函数的最简与或表达式或表达式: :如果不考虑无关项，如图（如果不考虑无关项，如图（b）所示，写出表达式为：）所示，写出表达式为：1 1逻辑运算中的三种基本运算是与、或、非运算。逻辑运算中的三种基本运算是与、或、非运算。2 2描描述述逻逻辑辑关关系系的的函函数数称称为为逻逻辑辑函函。逻逻辑辑函函数数中中的的变变量量和和函函数数值都只能取值都只能取0 0或或1 1两个值。两个值。3 3常常用用的的逻逻辑辑函函数数表表示示方方法法有有真真值值表表、函函数数表表达达式式 、逻逻辑辑图图等，它们之间可以任意地相互转换。等，它们之间可以任意地相互转换。4 4逻逻辑辑代代数数是是分分析析和和设设计计逻逻辑辑电电路路的的工工具具。应应熟熟记记基基本本公公式式与与代入、反演、对偶三个基本规则。代入、反演、对偶三个基本规则。5 5可用两种方法化简逻辑函数，公式法和卡诺图法。可用两种方法化简逻辑函数，公式法和卡诺图法。 公公式式法法是是用用逻逻辑辑代代数数的的基基本本公公式式与与规规则则进进行行化化简简，必必须须熟熟记记基本公式和规则并具有一定的运算技巧和经验。基本公式和规则并具有一定的运算技巧和经验。 卡卡诺诺图图法法是是基基于于合合并并相相邻邻最最小小项项的的原原理理进进行行化化简简的的，特特点点是是简单、直观，不易出错，有一定的步骤和方法可循。简单、直观，不易出错，有一定的步骤和方法可循。本章小结