第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系 三年三年8 8考考 高考指数高考指数:1.1.理解空间直线、平面位置关系的定义；理解空间直线、平面位置关系的定义；2.2.了解可以作为推理依据的公理和定理；了解可以作为推理依据的公理和定理；3.3.理解两条异面直线所成的角理解两条异面直线所成的角；4.4.能证明一些空间位置关系的简单命题能证明一些空间位置关系的简单命题. .1 1点、线、面的位置关系是本节的重点，也是高考的热点点、线、面的位置关系是本节的重点，也是高考的热点2.2.从考查形式看，以考查点、线、面的位置关系为主，同时考从考查形式看，以考查点、线、面的位置关系为主，同时考查逻辑推理能力和空间想象能力查逻辑推理能力和空间想象能力. .3 3从考查题型看，多以选择题、填空题的形式考查，有时也出从考查题型看，多以选择题、填空题的形式考查，有时也出现在解答题中，一般难度不大，属低中档题现在解答题中，一般难度不大，属低中档题. .1.1.平面的基本性质平面的基本性质【即时应用【即时应用】（1 1）思考：）思考：三个公理的作用分别是什么？三个公理的作用分别是什么？你能说出公理你能说出公理2 2的几个推论吗？的几个推论吗？提示：提示：公理公理1 1的作用：（的作用：（）判断直线在平面内；（）判断直线在平面内；（）由直）由直线在平面内判断直线上的点在平面内线在平面内判断直线上的点在平面内公理公理2 2的作用：确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为平的作用：确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为平面问题的条件面问题的条件公理公理3 3的作用：（的作用：（）判定两平面相交；（）判定两平面相交；（）作两平面的交线；）作两平面的交线；（）证明点共线）证明点共线公理公理2 2的三个推论为：的三个推论为：（）经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；）经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；（）经过两条相交直线，有且只有一个平面；）经过两条相交直线，有且只有一个平面；（）经过两条平行直线，有且只有一个平面）经过两条平行直线，有且只有一个平面(2)(2)判断下列说法的正误判断下列说法的正误. .（请在括号中填写（请在括号中填写“”或或“”）如果两个不重合的平面如果两个不重合的平面,有一条公共直线有一条公共直线a a，就说平面，就说平面,相交，并记作相交，并记作=a ( )=a ( )两个平面两个平面,有一个公共点有一个公共点A A，就说，就说,相交于过相交于过A A点的任点的任意一条直线意一条直线 ( ( ）两个平面两个平面,有一个公共点有一个公共点A A，就说，就说,相交于相交于A A点，并记点，并记作作=A ( )=A ( )两个平面两个平面ABCABC与与DBCDBC相交于线段相交于线段BC ( BC ( ）【解析【解析】根据平面的性质公理根据平面的性质公理3 3可知可知对；对于对；对于，其错误在于，其错误在于“任意任意”二字上；对于二字上；对于，错误在于，错误在于=A=A上；对于上；对于，应为，应为平面平面ABCABC和平面和平面DBCDBC相交于直线相交于直线BC.BC.答案：答案： （3 3）平面）平面,相交，在相交，在,内各取两点，这四点都不在交内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定线上，这四点能确定_个平面个平面【解析【解析】如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个答案：答案：1 1或或4 42.2.空间中两直线的位置关系空间中两直线的位置关系（1 1）空间两直线的位置关系）空间两直线的位置关系（2 2）平行公理和等角定理）平行公理和等角定理平行公理平行公理平行于平行于_的两条直线平行用符号表示：设的两条直线平行用符号表示：设a,b,ca,b,c为三条直线，若为三条直线，若ab,bcab,bc，则，则acac等角定理等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_同一条直线同一条直线相等或互补相等或互补(3)(3)异面直线所成的角异面直线所成的角定义：已知两条异面直线定义：已知两条异面直线a,ba,b，经过空间中任一点，经过空间中任一点O O作直线作直线aa,bbaa,bb，把，把aa与与bb所成的所成的_叫做异面叫做异面直线所成的角（或夹角）直线所成的角（或夹角）范围：范围：_._.锐角（或直角）锐角（或直角）(0, (0, 【即时应用【即时应用】(1)(1)思考：不相交的两条直线是异面直线吗？不在同一平面内的思考：不相交的两条直线是异面直线吗？不在同一平面内的直线是异面直线吗？直线是异面直线吗？提示：提示：不一定因为两条直线没有公共点，这两直线可能平行不一定因为两条直线没有公共点，这两直线可能平行也可能异面；不一定，因为不同在任何一个平面内的直线为异也可能异面；不一定，因为不同在任何一个平面内的直线为异面直线，故该结论不一定正确面直线，故该结论不一定正确(2)(2)已知已知a a、b b是异面直线，直线是异面直线，直线c c平行于直线平行于直线a a，则下列结论是否，则下列结论是否正确（填正确（填“”或或“”）：）：cc与与b b一定是异面直线；一定是异面直线； ( )( )cc与与b b一定是相交直线；一定是相交直线； ( )( )cc与与b b不可能是平行直线；不可能是平行直线； ( )( )cc与与b b不可能是相交直线不可能是相交直线 ( )( )【解析【解析】c c与与b b可能相交，可能相交，错；错；c c与与b b也可能异面，也可能异面，错；错；c c与与b b不可能是平行直线，否则与条件矛盾，不可能是平行直线，否则与条件矛盾，对对. .答案：答案： 3.3.空间直线与平面、平面与平面的位置关系空间直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言图形语言 符号语言符号语言 公共点公共点直直线线与与平平 面面 相交相交 aa=A =A 个个平行平行 aa 个个在平在平 面内面内 a a 个个 aA A1 10 0无数无数aa平平面面与与平平面面平行平行 个个相交相交 = =l 个个无数无数0 0l图形语言图形语言 符号语言符号语言 公共点公共点【即时应用【即时应用】(1)(1)判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确. .（请在括号中填写（请在括号中填写“”或或“”）经过不同的三点有且只有一个平面经过不同的三点有且只有一个平面 ( )( )分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 ( )( )垂直于同一平面的两直线是平行直线垂直于同一平面的两直线是平行直线 ( )( )垂直于同一平面的两平面是平行平面垂直于同一平面的两平面是平行平面 ( )( )【解析【解析】应为经过不在一条直线上的三点有且只有一个平面，应为经过不在一条直线上的三点有且只有一个平面，错；分别在两个平面内的两条直线可能平行，错；分别在两个平面内的两条直线可能平行，错；错；对；对；垂直于同一平面的两平面可能相交，垂直于同一平面的两平面可能相交，错错. .答案：答案： (2)(2)两个不重合的平面可把空间分成两个不重合的平面可把空间分成_部分部分【解析【解析】当两平面平行时可分为当两平面平行时可分为3 3部分；当两平面相交时分为部分；当两平面相交时分为4 4部分部分答案：答案：3 3或或4 4 【方法点睛【方法点睛】考查平面基本性质的常见题型及解法考查平面基本性质的常见题型及解法(1)(1)判断所给元素（点或直线）是否能确定唯一平面，关键是分判断所给元素（点或直线）是否能确定唯一平面，关键是分析所给元素是否具有确定唯一平面的条件，此时需要利用公理析所给元素是否具有确定唯一平面的条件，此时需要利用公理2 2及其推论及其推论平面的基本性质及其应用平面的基本性质及其应用(2)(2)证明点或线共面问题，一般有两种途径：证明点或线共面问题，一般有两种途径：首先由所给条件首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余的线（或点）中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内；在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合再证两平面重合(3)(3)证明点共线问题，一般有两种途径：证明点共线问题，一般有两种途径：先由两点确定一条直先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；线，再证其他各点都在这条直线上；直接证明这些点都在同直接证明这些点都在同一条特定直线上一条特定直线上(4)(4)证明线共点问题，常用的方法是：先证其中两条直线交于一证明线共点问题，常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点点，再证其他直线经过该点 【例【例1 1】（】（1 1）以下四个命题中）以下四个命题中不共面的四点中，其中任意三点不共线；不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点若点A A、B B、C C、D D共面，点共面，点A A、B B、C C、E E共面，则点共面，则点A A、B B、C C、D D、E E共面；共面；若直线若直线a a、b b共面，直线共面，直线a a、c c共面，则直线共面，则直线b b、c c共面；共面；依次首尾相接的四条线段必共面依次首尾相接的四条线段必共面. .正确命题的个数是正确命题的个数是( )( )（A A）0 0 （B B）1 1 （C C）2 2 （D D）3 3(2)(2)如图，平面如图，平面ABEFABEF平面平面ABCDABCD，四边形，四边形ABEFABEF与与ABCDABCD都是直角梯都是直角梯形，形，BAD=FAB=90BAD=FAB=90，BCADBCAD且且BC= ADBC= AD，BEAFBEAF且且BE= AFBE= AF，G G，H H分别为分别为FAFA，FDFD的中点的中点. .证明：四边形证明：四边形BCHGBCHG是平行四边形；是平行四边形；CC，D D，F F，E E四点是否共面？为什么？四点是否共面？为什么？【解题指南【解题指南】(1)(1)根据确定平面的公理及推论进行判断根据确定平面的公理及推论进行判断. .(2)(2)根据平行四边形的判定方法证明；根据平行四边形的判定方法证明；证明证明EFCHEFCH，由此构成，由此构成平面，再证点平面，再证点D D在该平面上在该平面上【规范解答【规范解答】(1)(1)选选B.B.假设其中有三点共线，则该直线和直线外假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面的另一点确定一个平面. .这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以共线，所以正确正确.从条件看出两平面有三个公共点从条件看出两平面有三个公共点A A、B B、C C，但是若但是若A A、B B、C C共线，则结论不正确；共线，则结论不正确；不正确；不正确；不正确，因为不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形. .(2)(2)由题设知，由题设知，FG=GAFG=GA，FH=HDFH=HD，所以所以GHADGHAD且且GH= AD,GH= AD,又又BCADBCAD且且BC= ADBC= AD，故故GHBCGHBC且且GH=BCGH=BC，所以四边形所以四边形BCHGBCHG是平行四边形是平行四边形CC，D D，F F，E E四点共面理由如下：四点共面理由如下：由由BEAFBEAF且且BE= AFBE= AF，G G是是FAFA的中点知，的中点知，BEGFBEGF且且BE=GFBE=GF，所以四边形所以四边形EFGBEFGB是平行四边形，是平行四边形，所以所以EFBG.EFBG.由由知知BGCHBGCH，所以，所以EFCHEFCH，故故ECEC，FHFH共面共面. .又点又点D D在直线在直线FHFH上，所以上，所以C C，D D，F F，E E四点共面四点共面. .【反思【反思感悟感悟】点共线和线共点问题，都可转化为点在直线上的问题来处理，点共线和线共点问题，都可转化为点在直线上的问题来处理，实质上是利用公理实质上是利用公理3 3，证明点在两平面的交线上，解题时要注意，证明点在两平面的交线上，解题时要注意这种转化思想的运用这种转化思想的运用【方法点睛【方法点睛】判定直线位置关系的方法判定直线位置关系的方法空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用中位线的性质及线面平行的性质；对于垂直关系，往往可利用中位线的性质及线面平行的性质；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决利用线面垂直的性质来解决【提醒【提醒】在空间中两直线的三种位置关系中，验证异面直线及在空间中两直线的三种位置关系中，验证异面直线及其所成角是考查的热点其所成角是考查的热点. . 空间中两直线的位置关系空间中两直线的位置关系【例【例2 2】如图，在四面体】如图，在四面体ABCDABCD中，截面中，截面PQMNPQMN是正方形，则在下列是正方形，则在下列命题中，错误的为命题中，错误的为( )( )(A)ACBD(A)ACBD(B)AC(B)AC截面截面PQMNPQMN(C)AC=BD(C)AC=BD(D)(D)异面直线异面直线PMPM与与BDBD所成的角为所成的角为4545【解题指南【解题指南】结合图形，根据有关的知识逐一进行判断注意本结合图形，根据有关的知识逐一进行判断注意本题选择的是错误选项！题选择的是错误选项！【规范解答【规范解答】选选C.C.因为四边形因为四边形PQMNPQMN为正方形，所以为正方形，所以PQMNPQMN，又，又PQ PQ 平面平面ADCADC，MNMN 平面平面ADCADC，所以，所以PQPQ平面平面ADC.ADC.又平面又平面BACBAC平面平面DAC=ACDAC=AC，所以，所以PQAC.PQAC.同理可证同理可证QMBD.QMBD.由由PQACPQAC，QMBDQMBD，PQQMPQQM可得可得ACBDACBD，故，故A A正确；由正确；由PQACPQAC可得可得ACAC截面截面PQMNPQMN，故，故B B正确；异面直线正确；异面直线PMPM与与BDBD所成的角等于所成的角等于PMPM与与PNPN所成的角，故所成的角，故D D正确；综上知，正确；综上知，C C错误，故错误，故选选C.C.【反思【反思感悟感悟】解决此类问题常出现的错误是不能挖掘题中的条件，不能将问解决此类问题常出现的错误是不能挖掘题中的条件，不能将问题适当地转化；另外，由于图形复杂、空间想象力不够，分析问题适当地转化；另外，由于图形复杂、空间想象力不够，分析问题不到位，感到无从下手，也是常出现的问题题不到位，感到无从下手，也是常出现的问题【方法点睛【方法点睛】1.1.求异面直线所成的角的常用方法求异面直线所成的角的常用方法求异面直线所成的角的常用方法是平移法，一般有三种类型：求异面直线所成的角的常用方法是平移法，一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点（线段的端点或中点）利用图中已有的平行线平移；利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移；补形平移作平行线平移；补形平移2.2.求异面直线所成角的步骤求异面直线所成角的步骤(1)(1)作：通过作平行线，得到相交直线；作：通过作平行线，得到相交直线；(2)(2)证：证明相交直线所成的角为异面直线所成的角；证：证明相交直线所成的角为异面直线所成的角；(3)(3)算：通过解三角形，求出该角算：通过解三角形，求出该角 异面直线的判定及所成的角异面直线的判定及所成的角【例【例3 3】如图所示，在正方体】如图所示，在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，（1 1）求）求A A1 1C C1 1与与B B1 1C C所成角的大小；所成角的大小；（2 2）若）若E E、F F分别为分别为ABAB、ADAD的中点，求的中点，求A A1 1C C1 1与与EFEF所成角的大小所成角的大小. .【解题指南【解题指南】利用正方体中的平行关系，将两异面直线所成的角转利用正方体中的平行关系，将两异面直线所成的角转化成三角形的内角进行求解化成三角形的内角进行求解【规范解答【规范解答】(1)(1)如图，连接如图，连接ACAC、ABAB1 1，由由ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1是正方体，是正方体，知知AAAA1 1C C1 1C C为平行四边形，为平行四边形，所以所以ACAACA1 1C C1 1，从而，从而B B1 1C C与与ACAC所成的角就是所成的角就是A A1 1C C1 1与与B B1 1C C所成的角所成的角. .由由ABAB1 1=AC=B=AC=B1 1C C可知可知B B1 1CA=60CA=60, ,即即A A1 1C C1 1与与B B1 1C C所成角为所成角为6060. .（2 2）如图，连接）如图，连接BDBD，由，由AAAA1 1CCCC1 1，且，且AAAA1 1=CC=CC1 1可知可知A A1 1ACCACC1 1是平行四边是平行四边形，形，ACAACA1 1C C1 1. .ACAC与与EFEF所成的角就是所成的角就是A A1 1C C1 1与与EFEF所成的角所成的角. .EFEF是是ABDABD的中位线，的中位线，EFBD.EFBD.又又ACBD,EFAC,ACBD,EFAC,即所求角为即所求角为9090. .【反思【反思感悟感悟】1.1.求异面直线所成的角时，常采用平行平移的方法，转化为三角求异面直线所成的角时，常采用平行平移的方法，转化为三角形的内角来求解形的内角来求解. .解题时常常借助三角形的中位线来完成角的转解题时常常借助三角形的中位线来完成角的转化化. .2.2.在求异面直线所成的角时常犯的错误是忽视角的范围，如在解在求异面直线所成的角时常犯的错误是忽视角的范围，如在解三角形的过程中求得三角形内角的余弦值为负时，必须转化为三角形的过程中求得三角形内角的余弦值为负时，必须转化为（0 0， 内的角内的角【满分指导【满分指导】【典例】（【典例】（1414分）分）(2011(2011上海高考改编上海高考改编) )已知已知ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1是底是底面边长为面边长为1 1的正四棱柱，高的正四棱柱，高AAAA1 1=2=2，求，求（1 1）异面直线）异面直线BDBD与与ABAB1 1所成角的余弦值；所成角的余弦值；（2 2）四面体）四面体ABAB1 1D D1 1C C的体积的体积. .求异面直线所成角主观题的规范解答求异面直线所成角主观题的规范解答【解题指南【解题指南】（1 1）利用平行平移法得到异面直线所成的角，转）利用平行平移法得到异面直线所成的角，转化为解三角形的问题；（化为解三角形的问题；（2 2）利用割补法求体积即可）利用割补法求体积即可【规范解答【规范解答】（1 1）连）连BDBD，ABAB1 1，B B1 1D D1 1，ADAD1 1.1.1分分BDBBDB1 1D D1 1,异面直线异面直线BDBD与与ABAB1 1所成角为所成角为ABAB1 1D D1 1（或其补角），（或其补角），记记ABAB1 1D D1 1=,.4=,.4分分由已知条件得由已知条件得ABAB1 1=AD=AD1 1= = ，在在ABAB1 1D D1 1中，由余弦定理得中，由余弦定理得coscos= .8= .8分分异面直线异面直线BDBD与与ABAB1 1所成角的余弦值为所成角的余弦值为 .10.10分分（2 2）连接）连接ACAC，CBCB1 1，CDCD1 1，则所求四面体的体积，则所求四面体的体积V= .14V= .14分分【阅卷人点拨【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：得到以下失分警示和备考建议：失失分分警警示示在解答本题时有两点容易造成失分：在解答本题时有两点容易造成失分：（1 1）在用平行平移将异面直线所成的角转化为三角形的内角时，）在用平行平移将异面直线所成的角转化为三角形的内角时，忽视对三角形的内角忽视对三角形的内角“即为两异面直线所成的角（或其补角）即为两异面直线所成的角（或其补角）”的的叙述；叙述；（2 2）在求几何体的体积时，不知将其转化为四棱柱的体积与四个）在求几何体的体积时，不知将其转化为四棱柱的体积与四个三棱锥体积的差三棱锥体积的差 备备考考建建议议解决异面直线所成角的问题时，还有以下几点容易造成失分，在备解决异面直线所成角的问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：考时要高度关注：（1 1）辅助线的作法不灵活，不能利用已知条件中的平行或中点；）辅助线的作法不灵活，不能利用已知条件中的平行或中点；（2 2）对立体几何计算题的解答规范不熟悉，书写不条理；）对立体几何计算题的解答规范不熟悉，书写不条理；（3 3）通过解三角形得到某一内角的余弦值为负值后，忽视角的范）通过解三角形得到某一内角的余弦值为负值后，忽视角的范围，不知将其转化为正值来处理建议在备考中要强化对立体几何围，不知将其转化为正值来处理建议在备考中要强化对立体几何中解答题的训练，这是高考中的考查重点之一中解答题的训练，这是高考中的考查重点之一. .同时要注重解答题同时要注重解答题的规范表达和准确计算的规范表达和准确计算. . 1.(20111.(2011四川高考四川高考) )l1 1, ,l2 2, ,l3 3是空间三条不同的直线，则下列命是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是题正确的是( )( )(A(A)l1 1l2 2, ,l2 2l3 3l1 1l3 3(B)(B)l1 1l2 2, ,l2 2l3 3l1 1l3 3(C)(C)l1 1l2 2，l2 2l3 3l1 1, ,l2 2, ,l3 3共面共面(D)(D)l1 1，l2 2, ,l3 3共点共点l1 1，l2 2, ,l3 3共面共面【解析【解析】选选B.B.对于对于A A：空间中垂直于同一条直线的两条直线不一：空间中垂直于同一条直线的两条直线不一定平行，如图定平行，如图l1 1, ,l3 3可以相交或异面可以相交或异面, ,故命题错误故命题错误. .对于对于B:B:由异面直线所成的角由异面直线所成的角可知，可知，l2 2l3 3, ,则则l1 1与与l3 3所成的角与所成的角与l1 1与与l2 2所成的角相等，故所成的角相等，故l1 1l3 3, ,故命题正确故命题正确. .对于对于C:C:空间中三条互相平行的直线不一定共面，如空间中三条互相平行的直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱不共面三棱柱的三条侧棱不共面, ,故命题错误故命题错误. .对于对于D:D:空间中共点的三条空间中共点的三条直线不一定共面，如三棱锥中共顶点的三条棱不共面直线不一定共面，如三棱锥中共顶点的三条棱不共面. .2.(20112.(2011浙江高考）若直线浙江高考）若直线l不平行于平面不平行于平面，且，且l ，则，则( )( )（A A）内的所有直线与内的所有直线与l异面异面（B B）内不存在与内不存在与l平行的直线平行的直线（C C）内存在唯一的直线与内存在唯一的直线与l平行平行（D D）内的直线与内的直线与l都相交都相交【解析【解析】选选B.B.由题意可得直线由题意可得直线l与平面与平面相交，如图相交，如图: :对对A A，由于，由于内所有不过交点的直线与内所有不过交点的直线与l异面，故异面，故A A错误；对错误；对B B，如，如果果内存在与内存在与l平行的直线，则直线平行的直线，则直线l与与平行，直线不存在，故平行，直线不存在，故B B正确；对正确；对C C，可得直线，可得直线l与与平行，与题设不符，故平行，与题设不符，故C C错误；对错误；对D D，内所有不过交点的直线与内所有不过交点的直线与l异面，故异面，故D D错误错误. .3.(20113.(2011大纲版全国卷大纲版全国卷) )已知正方体已知正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，E E为为C C1 1D D1 1的中点，则异面直线的中点，则异面直线AEAE与与BCBC所成角的余弦值为所成角的余弦值为_._.【解析【解析】取取A A1 1B B1 1的中点的中点M M，连接，连接EM,AM,AEEM,AM,AE，则，则AEMAEM就是异面直就是异面直线线AEAE与与BCBC所成的角所成的角. .设正方体棱长为设正方体棱长为2 2，则在，则在AEMAEM中，中，cosAEMcosAEM= .= .答案：答案：