正正 交交 试试 验验 设设 计计 1.1 1.1 正交试验设计的基本概念正交试验设计的基本概念 正交试验设计是利用正交表来安排与分析多因素正交试验设计是利用正交表来安排与分析多因素试验的一种设计方法。它是由试验因素的全部水平组合中，试验的一种设计方法。它是由试验因素的全部水平组合中，挑选部分有代表性的水平组合进行试验的，通过对这部分挑选部分有代表性的水平组合进行试验的，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况，找出最优的水平组试验结果的分析了解全面试验的情况，找出最优的水平组合。合。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 1 1 正交试验设计的概念及原理正交试验设计的概念及原理正交试验设计的概念及原理正交试验设计的概念及原理 例如：设计一个三因素、例如：设计一个三因素、3 3水平的试验水平的试验 A A因素，设因素，设A A1 1、A A2 2、A A3 3 3 3个水平；个水平；B B因素，设因素，设B B1 1、B B2 2、B B3 3 3 3个水平；个水平；C C因素，设因素，设C C1 1、C C2 2、C C3 3 3 3个水平，各因素的水平之间个水平，各因素的水平之间全部可能组合有全部可能组合有2727种种 。 全面试验：可以分析各因素的效应全面试验：可以分析各因素的效应 ，交互作用，也可选，交互作用，也可选出最优水平组合。但全面试验包含的水平组合数较多（图示出最优水平组合。但全面试验包含的水平组合数较多（图示的的2727个节点），工作量大个节点），工作量大 ，在有些情况下无法完成，在有些情况下无法完成 。 若试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交表若试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交表来设计安排试验。来设计安排试验。下一张 主 页 上一张 全全 面面 试试 验验 法法 示示 意意 图图主 页 下一张 上一张 下一张 主 页 退 出 上一张 三因素、三水平全面试验方案三因素、三水平全面试验方案 正交试验设计的基本特点是：用部分试验来代替全面正交试验设计的基本特点是：用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。况。 正因为正交试验是用部分试验来代替全面试验的，正因为正交试验是用部分试验来代替全面试验的，它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析；当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。分析；当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。虽然正交试验设计有上述不足，但它能通过部分试验找虽然正交试验设计有上述不足，但它能通过部分试验找到最优水平组合到最优水平组合 ，因而很受实际工作者青睐。，因而很受实际工作者青睐。 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 如如对对于于上上述述3 3因因素素3 3水水平平试试验验，若若不不考考虑虑交交互互作作用用，可可利利用用正正交交表表L L9 9(3(34 4) )安安排排，试试验验方方案案仅仅包包含含9 9个个水水平平组组合合，就就能能反反映映试试验验方方案案包包含含2727个个水水平平组组合合的的全全面面试试验验的的情情况况，找找出最佳的生产条件。出最佳的生产条件。1.2 1.2 正交试验设计的基本原理正交试验设计的基本原理 下一张 主 页 上一张 正正交交设设计计就就是是从从选选优优区区全全面面试试验验点点（水水平平组组合合）中中挑挑选选出出有有代代表表性性的的部部分分试试验验点点（水水平平组组合合）来来进进行行试试验验。上上图图中中标标有有试试验验号号的的九九个个“()”“()”，就就是是利利用用正正交交表表L L9 9(3(34 4) )从从2727个试验点中挑选出来的个试验点中挑选出来的9 9个试验点。即：个试验点。即：(1)A(1)A1 1B B1 1C C1 1 (2)A (2)A2 2B B1 1C C2 2 (3)A (3)A3 3B B1 1C C3 3(4)A(4)A1 1B B2 2C C2 2 (5)A (5)A2 2B B2 2C C3 3 (6)A (6)A3 3B B2 2C C1 1(7)A(7)A1 1B B3 3C C3 3 (8)A (8)A2 2B B3 3C C1 1 (9)A (9)A3 3B B3 3C C2 2下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 以以上选择上选择 ，保证了，保证了A A因素的每个水平与因素的每个水平与B B因素、因素、C C因素的因素的各个水平在试验中各搭配一次各个水平在试验中各搭配一次 。对于。对于A A、B B、C 3C 3个因素来个因素来说，说， 是在是在2727个全面试验点中选择个全面试验点中选择9 9个试验点个试验点 ，仅是全面试，仅是全面试验的三分之一。验的三分之一。 从上图中可以看到，从上图中可以看到，9 9个试验点在选优区中分布是均衡个试验点在选优区中分布是均衡的，在立方体的每个平面上，都恰是的，在立方体的每个平面上，都恰是3 3个试验点；在立方体个试验点；在立方体的每条线上也恰有一个试验点。的每条线上也恰有一个试验点。 9 9个试验点均衡地分布于整个立方体内个试验点均衡地分布于整个立方体内 ，有很强的代表，有很强的代表性，能够比较全面地反映选优区内的基本情况。性，能够比较全面地反映选优区内的基本情况。 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 1.3 1.3 正交表及其基本性质正交表及其基本性质1.3.1 1.3.1 正交表正交表 由于正交设计安排试验和分析试验结果都要用正交表，由于正交设计安排试验和分析试验结果都要用正交表，因此，我们先对正交表作一介绍。因此，我们先对正交表作一介绍。 下表是一张正交表，记号为下表是一张正交表，记号为L L8 8(2(27 7) )，其中，其中“L L”代表正代表正交表；交表；L L右下角的数字右下角的数字“8”“8”表示有表示有8 8行行 ，用这张正交表安，用这张正交表安排试验包含排试验包含8 8个处理个处理( (水平组合水平组合) ) ；括号内的底数；括号内的底数“2” “2” 表表示因素的水平数，括号内示因素的水平数，括号内2 2的指数的指数“7”“7”表示有表示有7 7列列 ，用这，用这张正交表最多可以安排张正交表最多可以安排7 7个个2 2水平因素。水平因素。 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 下一张 主 页 退 出 上一张 L L8 8(2(27 7) ) 正正 交交 表表 常常用用的的正正交交表表已已由由数数学学工工作作者者制制定定出出来来，供供进进行行正正交交设设计计时时选选用用。2 2水水平平正正交交表表除除L L8 8(2(27)7)外外，还还有有L L4 4(2(23 3) )、L L1616(2(21515) )等；等；3 3水平正交表有水平正交表有L L9 9(3(34 4) )、L L2727(2(21313)等。等。1.3.2 1.3.2 正交表的基本性质正交表的基本性质 1.3.2.1 1.3.2.1 正交性正交性 （1 1）任一列中，各水平都出现，且出现的次数相等）任一列中，各水平都出现，且出现的次数相等 例：例：L L8 8(2(27 7) )中不同数字只有中不同数字只有1 1和和2 2，它们各出现，它们各出现4 4次；次；L L9 9(3(34 4) )中不同数字有中不同数字有1 1、2 2和和3 3，它们各出现，它们各出现3 3次次 。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 （2 2）任两列之间各种不同水平的所有可能组合都出现，）任两列之间各种不同水平的所有可能组合都出现，且对出现的次数相等且对出现的次数相等 例：例： L L8 8(2(27 7) )中中(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)各出现两次；各出现两次；L L9 9(3(34 4) ) 中中 (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)(2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)各出各出现现1 1次。即每个因素的一个水平与另一因素的各个水平所次。即每个因素的一个水平与另一因素的各个水平所有可能组合次数相等，表明任意两列各个数字之间的搭配有可能组合次数相等，表明任意两列各个数字之间的搭配是均匀的。是均匀的。 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 1.3.2.2 1.3.2.2 1.3.2.2 1.3.2.2 代表性代表性代表性代表性 一方面：一方面：一方面：一方面：（1 1 1 1）任一列的各水平都出现，使得部分试验中包括了所）任一列的各水平都出现，使得部分试验中包括了所）任一列的各水平都出现，使得部分试验中包括了所）任一列的各水平都出现，使得部分试验中包括了所有因素的所有水平；有因素的所有水平；有因素的所有水平；有因素的所有水平；（2 2 2 2）任两列的所有水平组合都出现，使任意两因素间的）任两列的所有水平组合都出现，使任意两因素间的）任两列的所有水平组合都出现，使任意两因素间的）任两列的所有水平组合都出现，使任意两因素间的试验组合为全面试验。试验组合为全面试验。试验组合为全面试验。试验组合为全面试验。 另一方面：另一方面：另一方面：另一方面： 由于正交表的正交性，正交试验的试验点必然均衡地由于正交表的正交性，正交试验的试验点必然均衡地由于正交表的正交性，正交试验的试验点必然均衡地由于正交表的正交性，正交试验的试验点必然均衡地分布在全面试验点中，具有很强的代表性。因此，部分试分布在全面试验点中，具有很强的代表性。因此，部分试分布在全面试验点中，具有很强的代表性。因此，部分试分布在全面试验点中，具有很强的代表性。因此，部分试验寻找的最优条件与全面试验所找的最优条件，应有一致验寻找的最优条件与全面试验所找的最优条件，应有一致验寻找的最优条件与全面试验所找的最优条件，应有一致验寻找的最优条件与全面试验所找的最优条件，应有一致的趋势。的趋势。的趋势。的趋势。下一张 主 页 上一张 1.3.2.3 1.3.2.3 1.3.2.3 1.3.2.3 综合可比性综合可比性综合可比性综合可比性 （1 1 1 1）任一列的各水平出现的次数相等；）任一列的各水平出现的次数相等；）任一列的各水平出现的次数相等；）任一列的各水平出现的次数相等； （2 2 2 2）任两列间所有水平组合出现次数相等，使得任一因素各）任两列间所有水平组合出现次数相等，使得任一因素各）任两列间所有水平组合出现次数相等，使得任一因素各）任两列间所有水平组合出现次数相等，使得任一因素各水平的试验条件相同。这就保证了在每列因素各水平的效果中，水平的试验条件相同。这就保证了在每列因素各水平的效果中，水平的试验条件相同。这就保证了在每列因素各水平的效果中，水平的试验条件相同。这就保证了在每列因素各水平的效果中，最大限度地排除了其他因素的干扰。从而可以综合比较该因素最大限度地排除了其他因素的干扰。从而可以综合比较该因素最大限度地排除了其他因素的干扰。从而可以综合比较该因素最大限度地排除了其他因素的干扰。从而可以综合比较该因素不同水平对试验指标的影响情况。不同水平对试验指标的影响情况。不同水平对试验指标的影响情况。不同水平对试验指标的影响情况。 根据以上特性，我们用正交表安排的试验，具有根据以上特性，我们用正交表安排的试验，具有根据以上特性，我们用正交表安排的试验，具有根据以上特性，我们用正交表安排的试验，具有均衡分散均衡分散均衡分散均衡分散和和和和整齐可比整齐可比整齐可比整齐可比的特点。的特点。的特点。的特点。 所谓均衡分散，是指用正交表挑选出来的各因素水平组合所谓均衡分散，是指用正交表挑选出来的各因素水平组合所谓均衡分散，是指用正交表挑选出来的各因素水平组合所谓均衡分散，是指用正交表挑选出来的各因素水平组合在全部水平组合中的分布是均匀的在全部水平组合中的分布是均匀的在全部水平组合中的分布是均匀的在全部水平组合中的分布是均匀的 。下一张 主 页 上一张 整齐可比是指每一个因素的各水平间具有可比性。因为正整齐可比是指每一个因素的各水平间具有可比性。因为正整齐可比是指每一个因素的各水平间具有可比性。因为正整齐可比是指每一个因素的各水平间具有可比性。因为正交表中每一因素的任一水平下都均衡地包含着另外因素的各个交表中每一因素的任一水平下都均衡地包含着另外因素的各个交表中每一因素的任一水平下都均衡地包含着另外因素的各个交表中每一因素的任一水平下都均衡地包含着另外因素的各个水平水平水平水平 ，当比较某因素不同水平时，其它，当比较某因素不同水平时，其它，当比较某因素不同水平时，其它，当比较某因素不同水平时，其它 因素的效应都彼此抵因素的效应都彼此抵因素的效应都彼此抵因素的效应都彼此抵消。如在消。如在消。如在消。如在A A A A、B B B B、C 3C 3C 3C 3个因素中，个因素中，个因素中，个因素中，A A A A因素的因素的因素的因素的3 3 3 3个水平个水平个水平个水平 A1 A1 A1 A1、A2A2A2A2、A3 A3 A3 A3 条件下各有条件下各有条件下各有条件下各有 B B B B 、C C C C 的的的的 3 3 3 3个不同水平，即：个不同水平，即：个不同水平，即：个不同水平，即： 下一张 主 页 上一张 在这在这9 9个水平组合中，个水平组合中，A A因素各水平下包括了因素各水平下包括了B B、C C因素因素的的3 3个水平，虽然搭配方式不同，但个水平，虽然搭配方式不同，但B B、C C皆处于同等地位，皆处于同等地位，当比较当比较A A因素不同水平时，因素不同水平时，B B因素不同水平的效应相互抵因素不同水平的效应相互抵消，消，C C因素不同水平的效应也相互抵消。所以因素不同水平的效应也相互抵消。所以A A因素因素3 3个水个水平间具有综合可比性。同样，平间具有综合可比性。同样，B B、C C因素因素3 3个水平间亦具有个水平间亦具有综合可比性。综合可比性。 正交表的三个基本性质中，正交性是核心，正交表的三个基本性质中，正交性是核心，是基础，代表性和综合可比性是正交性的必然结是基础，代表性和综合可比性是正交性的必然结果。果。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 1.4 1.4 正交表的类别正交表的类别 1 1、等等水水平平正正交交表表 各各列列水水平平数数相相同同的的正正交交表表称称为为等等水水平平正正交交表表。如如L L4 4(2(23 3) )、L L8 8(2(27 7) )、L L1212(2(21111) )等等各各列列中中的的水水平平为为2 2，称称为为2 2水水平平正正交交表表；L L9 9(3(34 4) )、L L2727(3(31313) )等等各各列列水水平平为为3 3，称称为为3 3水平正交表。水平正交表。 2 2、混混合合水水平平正正交交表表 各各列列水水平平数数不不完完全全相相同同的的正正交交表表称称为为混混合合水水平平正正交交表表。如如L L8 8(42(424 4) )表表中中有有一一列列的的水水平平数数为为4 4，有有4 4列列水水平平数数为为2 2。也也就就是是说说该该表表可可以以安安排排一一个个4 4水水平平因因素素和和4 4个个2 2水水平平因因素素。再再如如L L1616(4(44 4223 3) )，L L1616(42(421212) )等等都都混混合合水平正交表。水平正交表。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 2 2 2 2 正交试验设计的基本程序正交试验设计的基本程序正交试验设计的基本程序正交试验设计的基本程序 对于多因素试验，正交试验设计是简单常用的一种试验对于多因素试验，正交试验设计是简单常用的一种试验设计方法，其设计基本程序如图所示。正交试验设计的基设计方法，其设计基本程序如图所示。正交试验设计的基本程序包括本程序包括试验方案设计试验方案设计及及试验结果分析试验结果分析两部分。两部分。 2.1 2.1 试验方案设计试验方案设计 （1 1） 明确试验目的，确定试验指标明确试验目的，确定试验指标 试验设计前必须明确试验目的，即本次试验要解决什么试验设计前必须明确试验目的，即本次试验要解决什么问题。试验目的确定后，对试验结果如何衡量，即需要确问题。试验目的确定后，对试验结果如何衡量，即需要确定出试验指标。试验指标可为定量指标，也可为定性指标。定出试验指标。试验指标可为定量指标，也可为定性指标。下一张 主 页 上一张 表头设计表头设计表头设计表头设计试验目的与要求试验目的与要求试验目的与要求试验目的与要求试验指标试验指标试验指标试验指标选因素、定水平选因素、定水平选因素、定水平选因素、定水平因素、水平确定因素、水平确定因素、水平确定因素、水平确定选择合适正交表选择合适正交表选择合适正交表选择合适正交表列试验方案列试验方案列试验方案列试验方案试验结果分析试验结果分析试验结果分析试验结果分析试试试试 验验验验 方方方方 案案案案 设设设设 计计计计 流流流流 程程程程下一张 主 页 上一张 进行试验，记录试验结果进行试验，记录试验结果进行试验，记录试验结果进行试验，记录试验结果试验结果极差分析试验结果极差分析试验结果极差分析试验结果极差分析计计计计算算算算KK值值值值计计计计算算算算k k值值值值计计计计算算算算极极极极差差差差R R绘制绘制绘制绘制因素因素因素因素指标指标指标指标趋势趋势趋势趋势图图图图优水平优水平优水平优水平因素主次顺序因素主次顺序因素主次顺序因素主次顺序优组合优组合优组合优组合结结结结 论论论论试试验验结结果果分分析：析：试验结果方差分析试验结果方差分析试验结果方差分析试验结果方差分析列方差分析表，列方差分析表，列方差分析表，列方差分析表，进行进行进行进行F F F F 检验检验检验检验计算各列偏差平方计算各列偏差平方计算各列偏差平方计算各列偏差平方和、自由度和、自由度和、自由度和、自由度分析检验结果，分析检验结果，分析检验结果，分析检验结果，写出结论写出结论写出结论写出结论下一张 主 页 上一张 一般为了便于试验结果的分析，定性指标可按相关的标一般为了便于试验结果的分析，定性指标可按相关的标准打分或模糊数学处理进行数量化，将定性指标定量化。准打分或模糊数学处理进行数量化，将定性指标定量化。 （2 2） 选因素、定水平，列因素水平表选因素、定水平，列因素水平表 根据专业知识、以往的研究结论和经验，从影响试验指根据专业知识、以往的研究结论和经验，从影响试验指标的诸多因素中，通过因果分析筛选出需要考察的试验因素。标的诸多因素中，通过因果分析筛选出需要考察的试验因素。一般确定试验因素时，一般确定试验因素时，应以对试验指标影响大的因素、尚未应以对试验指标影响大的因素、尚未考察过的因素、尚未完全掌握其规律的因素为先考察过的因素、尚未完全掌握其规律的因素为先。试验因素。试验因素选定后，根据所掌握的信息资料和相关知识，选定后，根据所掌握的信息资料和相关知识，确定每个因素确定每个因素的水平，一般以的水平，一般以2-42-4个水平为宜个水平为宜。对主要考察的试验因素，。对主要考察的试验因素，可以多取水平，但不宜过多（可以多取水平，但不宜过多（66），否则试验次数骤增。），否则试验次数骤增。因素的水平间距，应根据专业知识和已有的资料，尽可能把因素的水平间距，应根据专业知识和已有的资料，尽可能把水平值取在理想区域水平值取在理想区域。 下一张 主 页 上一张 四因素、三水平的试验因素水平表四因素、三水平的试验因素水平表水平水平试试 验验 因因 素素ABCD1 23 正交表的选择是正交试验设计的首要问题。确定了因正交表的选择是正交试验设计的首要问题。确定了因素及其水平后，根据因素、水平及需要考察的交互作用的多素及其水平后，根据因素、水平及需要考察的交互作用的多少来选择合适的正交表。少来选择合适的正交表。正交表的选择原则是在能够安排下正交表的选择原则是在能够安排下试验因素和交互作用的前提下，尽可能选用较小的正交表，试验因素和交互作用的前提下，尽可能选用较小的正交表，以减少试验次数。以减少试验次数。 一一般般情情况况下下，试试验验因因素素的的水水平平数数应应等等于于正正交交表表中中的的水水平平数数；因因素素个个数数（包包括括交交互互作作用用）应应不不大大于于正正交交表表的的列列数数；最最低的试验次数低的试验次数( (行数行数) )(每列水平数一每列水平数一1)+l 1)+l （3 3 3 3） 选择合适的正交表选择合适的正交表选择合适的正交表选择合适的正交表下一张 主 页 上一张 La（bc）正交设计正交设计正交设计正交设计试验总次数，行数试验总次数，行数试验总次数，行数试验总次数，行数因素水平数因素水平数因素水平数因素水平数因素个数，列数因素个数，列数因素个数，列数因素个数，列数等等等等 水水水水 平平平平 正正正正 交交交交 表表表表 L L L La a a a（b b b bc c c c）下一张 主 页 上一张 例例：选择一：选择一4 4个个3 3水平因素试验的正交表水平因素试验的正交表 可以选用可以选用L L9 9(3(34 4) )或或L L2727(3(31313) ) （A A）不考察因素间的交互作用，宜选用）不考察因素间的交互作用，宜选用L L9 9（3 34 4）。）。 （B B）考察交互作用，则应选用）考察交互作用，则应选用L L2727(3(31313) )。 课堂练习：课堂练习： 选择一选择一5 5个个3 3水平因子及一个水平因子及一个2 2水平因子试验的正交表水平因子试验的正交表 L L1212(23(235 5) )下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 表头设计表头设计表头设计表头设计，就是把试验因素和要考察的交互作用分别安，就是把试验因素和要考察的交互作用分别安，就是把试验因素和要考察的交互作用分别安，就是把试验因素和要考察的交互作用分别安排到正交表的各列中去的过程。排到正交表的各列中去的过程。排到正交表的各列中去的过程。排到正交表的各列中去的过程。 在不考察交互作用时，各因素可随机安排在各列上；在不考察交互作用时，各因素可随机安排在各列上；在不考察交互作用时，各因素可随机安排在各列上；在不考察交互作用时，各因素可随机安排在各列上；若考察交互作用，就应按所选正交表的交互作用列表安排各若考察交互作用，就应按所选正交表的交互作用列表安排各若考察交互作用，就应按所选正交表的交互作用列表安排各若考察交互作用，就应按所选正交表的交互作用列表安排各因素与交互作用，以防止设计因素与交互作用，以防止设计因素与交互作用，以防止设计因素与交互作用，以防止设计“混杂混杂混杂混杂” ” ” ” 。 例：不考察交互作用，可将因素例：不考察交互作用，可将因素例：不考察交互作用，可将因素例：不考察交互作用，可将因素(A)(A)(A)(A)、(B)(B)(B)(B)和和和和(C)(C)(C)(C)、（、（、（、（D D D D）依次安排在依次安排在依次安排在依次安排在L L L L9 9 9 9(3(3(3(34 4 4 4) ) ) )的第的第的第的第1 1 1 1、2 2 2 2、3 3 3 3、4 4 4 4列上，见下表所示。列上，见下表所示。列上，见下表所示。列上，见下表所示。（4 4 4 4） 表头设计表头设计表头设计表头设计列号列号1234因素因素ABCD表表表表 头头头头 设设设设 计计计计 把正交表中安排各因素的列（不包含欲考察的交互把正交表中安排各因素的列（不包含欲考察的交互作用列）中的每个水平数字换成该因素的实际水平值，作用列）中的每个水平数字换成该因素的实际水平值，便形成了下表中的正交试验方案。便形成了下表中的正交试验方案。 下表说明：试验号并非试验顺序，为了排除误差干下表说明：试验号并非试验顺序，为了排除误差干扰，试验中可随机进行；扰，试验中可随机进行； 安排试验方案时，部分因素的水平可采用随机安排。安排试验方案时，部分因素的水平可采用随机安排。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 （5 5 5 5）编制试验方案，按方案进行试验，记录试验结果。）编制试验方案，按方案进行试验，记录试验结果。）编制试验方案，按方案进行试验，记录试验结果。）编制试验方案，按方案进行试验，记录试验结果。试验方案及试验结果表试验方案及试验结果表试验方案及试验结果表试验方案及试验结果表试验号号因因 素素试验试验结果结果ABCD111112122231333421235223162312731328321393321作作 业业1 1、正交表有哪些类型？它们的核心性质是什么？、正交表有哪些类型？它们的核心性质是什么？2 2、写出正交表的表达式，并简述正交试验设计的基本程序。、写出正交表的表达式，并简述正交试验设计的基本程序。3 3、不考虑交互作用，设计一个、不考虑交互作用，设计一个4 4水平的水平的3 3因素正交试验方案因素正交试验方案2.2 2.2 试验结果分析试验结果分析分清各因素及其交互作用的主次顺序，分清哪个是主要因素，分清各因素及其交互作用的主次顺序，分清哪个是主要因素，哪个是次要因素；哪个是次要因素；判断因素对试验指标影响的显著程度；判断因素对试验指标影响的显著程度；找出试验因素的优水平和试验范围内的最优组合，即试验因找出试验因素的优水平和试验范围内的最优组合，即试验因素各取什么水平时，试验指标最好；素各取什么水平时，试验指标最好；分析因素与试验指标之间的关系，即当因素变化时，试验指分析因素与试验指标之间的关系，即当因素变化时，试验指标是如何变化的。找出指标随因素变化的规律和趋势，为进标是如何变化的。找出指标随因素变化的规律和趋势，为进一步试验指明方向；一步试验指明方向；了解各因素之间的交互作用情况；了解各因素之间的交互作用情况；估计试验误差的大小。估计试验误差的大小。极差分析极差分析方差分析方差分析KKjmjm，k kjmjm 计算简便，直观，简单易懂，是正交试验结果分析计算简便，直观，简单易懂，是正交试验结果分析计算简便，直观，简单易懂，是正交试验结果分析计算简便，直观，简单易懂，是正交试验结果分析最常用方法。以下说明极差分析过程。最常用方法。以下说明极差分析过程。最常用方法。以下说明极差分析过程。最常用方法。以下说明极差分析过程。 3 3 3 3 正交试验的结果分析正交试验的结果分析正交试验的结果分析正交试验的结果分析 3.1 3.1 3.1 3.1 直观分析法极差分析法直观分析法极差分析法直观分析法极差分析法直观分析法极差分析法极差分析法极差分析法极差分析法极差分析法RR法法法法1. 1. 计算计算计算计算2. 2. 判断判断判断判断RRj j因素主次因素主次因素主次因素主次优水平优水平优水平优水平优组合优组合优组合优组合K K K Kjmjmjmjm为第为第为第为第j j j j列因素列因素列因素列因素m m m m水平所对水平所对水平所对水平所对应的试验指标和，应的试验指标和，应的试验指标和，应的试验指标和，k k k kjmjmjmjm为为为为K K K Kjmjmjmjm平均值。由平均值。由平均值。由平均值。由k k k kjmjmjmjm大小可以大小可以大小可以大小可以判断第判断第判断第判断第j j j j列因素优水平和列因素优水平和列因素优水平和列因素优水平和优组合。优组合。优组合。优组合。R R R Rj j j j为第为第为第为第j j j j列因素的极差，反映了第列因素的极差，反映了第列因素的极差，反映了第列因素的极差，反映了第j j j j列因素水平波动时，试验指标的变列因素水平波动时，试验指标的变列因素水平波动时，试验指标的变列因素水平波动时，试验指标的变动幅度。动幅度。动幅度。动幅度。R R R Rj j j j越大，说明该因素对试越大，说明该因素对试越大，说明该因素对试越大，说明该因素对试验指标的影响越大。根据验指标的影响越大。根据验指标的影响越大。根据验指标的影响越大。根据R R R Rj j j j大小，大小，大小，大小，可以判断因素的主次顺序。可以判断因素的主次顺序。可以判断因素的主次顺序。可以判断因素的主次顺序。（1 1 1 1） 确定试验因素的优水平和最优水平组合确定试验因素的优水平和最优水平组合确定试验因素的优水平和最优水平组合确定试验因素的优水平和最优水平组合 分析分析分析分析AA因素各水平对试验指标的影响因素各水平对试验指标的影响因素各水平对试验指标的影响因素各水平对试验指标的影响。 根据正交设计的特性，对根据正交设计的特性，对根据正交设计的特性，对根据正交设计的特性，对A1A1、A2A2、A3A3来说，三组试验的来说，三组试验的来说，三组试验的来说，三组试验的试验条件是完全一样的（综合可比性），可进行直接比较。如试验条件是完全一样的（综合可比性），可进行直接比较。如试验条件是完全一样的（综合可比性），可进行直接比较。如试验条件是完全一样的（综合可比性），可进行直接比较。如果因素果因素果因素果因素AA对试验指标无影响时，那么对试验指标无影响时，那么对试验指标无影响时，那么对试验指标无影响时，那么k kA1A1、k kA2A2、k kA3A3应该相等，应该相等，应该相等，应该相等，不相等时说明，不相等时说明，不相等时说明，不相等时说明，AA因素的水平变动对试验结果有影响。因素的水平变动对试验结果有影响。因素的水平变动对试验结果有影响。因素的水平变动对试验结果有影响。3.1.1 3.1.1 3.1.1 3.1.1 不考察交互作用的试验结果分析不考察交互作用的试验结果分析不考察交互作用的试验结果分析不考察交互作用的试验结果分析 根据根据根据根据k kA1A1、k kA2A2、k kA3A3的大小可以判断的大小可以判断的大小可以判断的大小可以判断A1A1、A2A2、A3A3对试验指标的影响大小。对试验指标的影响大小。对试验指标的影响大小。对试验指标的影响大小。k kAA值愈接近要求值的水平是值愈接近要求值的水平是值愈接近要求值的水平是值愈接近要求值的水平是AA因素的优水平。因素的优水平。因素的优水平。因素的优水平。 同理，可以计算并确定同理，可以计算并确定同理，可以计算并确定同理，可以计算并确定B B B B、C C C C、D D D D因素的优水平。四个因素的优水平。四个因素的优水平。四个因素的优水平。四个因素的优水平组合为试验的最优水平组合。因素的优水平组合为试验的最优水平组合。因素的优水平组合为试验的最优水平组合。因素的优水平组合为试验的最优水平组合。 例例例例1 1 1 1：分析下表中温度、时间、加碱量对转化率影响：分析下表中温度、时间、加碱量对转化率影响：分析下表中温度、时间、加碱量对转化率影响：分析下表中温度、时间、加碱量对转化率影响试验中各条件的最优值和最佳的工艺条件。试验中各条件的最优值和最佳的工艺条件。试验中各条件的最优值和最佳的工艺条件。试验中各条件的最优值和最佳的工艺条件。转转 化化 率率 试试 验验 数数 据据 表表 根据极差根据极差根据极差根据极差R R R Rj j j j的大小，可以判断各因素对试验指标的影的大小，可以判断各因素对试验指标的影的大小，可以判断各因素对试验指标的影的大小，可以判断各因素对试验指标的影响主次。比较各响主次。比较各响主次。比较各响主次。比较各R R R R值大小，值大小，值大小，值大小，R R R R值愈大的表示因素对指标的影值愈大的表示因素对指标的影值愈大的表示因素对指标的影值愈大的表示因素对指标的影响大，响大，响大，响大，因素越重要，因素越重要，因素越重要，因素越重要，R R R R值愈小因素的影响较小。值愈小因素的影响较小。值愈小因素的影响较小。值愈小因素的影响较小。（2 2 2 2） 确定因素的主次顺序确定因素的主次顺序确定因素的主次顺序确定因素的主次顺序 以各因素水平为横坐标，试验指标的平均值（以各因素水平为横坐标，试验指标的平均值（以各因素水平为横坐标，试验指标的平均值（以各因素水平为横坐标，试验指标的平均值（k k k kjmjmjmjm）为）为）为）为纵坐标，绘制因素与指标趋势图。由因素与指标趋势图可纵坐标，绘制因素与指标趋势图。由因素与指标趋势图可纵坐标，绘制因素与指标趋势图。由因素与指标趋势图可纵坐标，绘制因素与指标趋势图。由因素与指标趋势图可以更直观地看出试验指标随着因素水平的变化而变化的趋以更直观地看出试验指标随着因素水平的变化而变化的趋以更直观地看出试验指标随着因素水平的变化而变化的趋以更直观地看出试验指标随着因素水平的变化而变化的趋势，可为进一步试验指明方向。势，可为进一步试验指明方向。势，可为进一步试验指明方向。势，可为进一步试验指明方向。（3 3 3 3） 绘制因素与指标趋势图绘制因素与指标趋势图绘制因素与指标趋势图绘制因素与指标趋势图以上即为正交试验极差分析的基本程序与方法以上即为正交试验极差分析的基本程序与方法以上即为正交试验极差分析的基本程序与方法以上即为正交试验极差分析的基本程序与方法极差极差R R：表示该因素在其取值范围内试验指标变化的幅度。：表示该因素在其取值范围内试验指标变化的幅度。 R = max R = max（KiKi）- min- min（KiKi） 例例2 2：根据转化率试验结果计算极差：根据转化率试验结果计算极差R R，并分析影响转化，并分析影响转化率因素的主次顺序。率因素的主次顺序。 解例：计算的解例：计算的k k值和值和R R值如下表：值如下表： 温度温度 时间时间 加碱量加碱量 各条件的最优值：各条件的最优值：各条件的最优值：各条件的最优值：温度温度温度温度3 3 3 3（90909090），时），时），时），时间间间间2 2 2 2（120120120120分钟），分钟），分钟），分钟），加碱量加碱量加碱量加碱量2 2 2 2（6%6%6%6%）。最）。最）。最）。最佳工艺条件是以上佳工艺条件是以上佳工艺条件是以上佳工艺条件是以上三个最优水平的组三个最优水平的组三个最优水平的组三个最优水平的组合。合。合。合。 对转化率影响最大对转化率影响最大对转化率影响最大对转化率影响最大的因素是温度，其的因素是温度，其的因素是温度，其的因素是温度，其次是加碱量，时间次是加碱量，时间次是加碱量，时间次是加碱量，时间的影响最小。的影响最小。的影响最小。的影响最小。以上计算后分析得到下面的试验结论以上计算后分析得到下面的试验结论以上计算后分析得到下面的试验结论以上计算后分析得到下面的试验结论 温度对转化率影响结果图温度对转化率影响结果图温度对转化率影响结果图温度对转化率影响结果图附附附附1 1 1 1 多指标正交试验极差分析多指标正交试验极差分析多指标正交试验极差分析多指标正交试验极差分析 对于多指标试验，方案设计和实施与单指标试验相同，对于多指标试验，方案设计和实施与单指标试验相同，对于多指标试验，方案设计和实施与单指标试验相同，对于多指标试验，方案设计和实施与单指标试验相同，不同在于每做一次试验，都需要对考察指标一一测试，不同在于每做一次试验，都需要对考察指标一一测试，不同在于每做一次试验，都需要对考察指标一一测试，不同在于每做一次试验，都需要对考察指标一一测试，分别记录。试验结果分析时，也要对考察指标一一分析，分别记录。试验结果分析时，也要对考察指标一一分析，分别记录。试验结果分析时，也要对考察指标一一分析，分别记录。试验结果分析时，也要对考察指标一一分析，然后综合评衡，确定出优条件。然后综合评衡，确定出优条件。然后综合评衡，确定出优条件。然后综合评衡，确定出优条件。（1 1）试验方案设计）试验方案设计）试验方案设计）试验方案设计 确定试验指标确定试验指标确定试验指标确定试验指标XX、Y Y、Z Z 挑因素，选水平，列因素水平表（见下表）挑因素，选水平，列因素水平表（见下表）挑因素，选水平，列因素水平表（见下表）挑因素，选水平，列因素水平表（见下表） 选正交表、设计表头、编制试验方案。选正交表、设计表头、编制试验方案。选正交表、设计表头、编制试验方案。选正交表、设计表头、编制试验方案。下表为四因素下表为四因素下表为四因素下表为四因素三水平试验，不考虑交互作用，选三水平试验，不考虑交互作用，选三水平试验，不考虑交互作用，选三水平试验，不考虑交互作用，选L L L L9 9 9 9（3 3 3 34 4 4 4）安排试验。）安排试验。）安排试验。）安排试验。试验号号因因 素素试验结果试验结果ABCDXYZ111112122231333421235223162312731328321393321（2 2）试验结果分析）试验结果分析 计算各因素各水平下每种试验指标的数据和以及平均值，计算各因素各水平下每种试验指标的数据和以及平均值，并计算极差并计算极差R R。 根据极差大小列出各指标下的因素根据极差大小列出各指标下的因素主主次顺序次顺序次顺序次顺序。 试验指标：试验指标：试验指标：试验指标： 主次顺序主次顺序主次顺序主次顺序 优化水平组合优化水平组合优化水平组合优化水平组合 X ACDB A X ACDB A X ACDB A X ACDB A3 3 3 3B B B B3 3 3 3C C C C1 1 1 1D D D D2 2 2 2 Y CDAB A Y CDAB A Y CDAB A Y CDAB A1 1 1 1B B B B2 2 2 2C C C C1 1 1 1D D D D1 1 1 1 Z ADBC A Z ADBC A Z ADBC A Z ADBC A2 2 2 2B B B B2 2 2 2C C C C2 2 2 2D D D D3 3 3 3 初选优化工艺条件：初选优化工艺条件：初选优化工艺条件：初选优化工艺条件：根据各指标不同水平平均值确定各根据各指标不同水平平均值确定各根据各指标不同水平平均值确定各根据各指标不同水平平均值确定各因素的因素的因素的因素的优化水平组合优化水平组合优化水平组合优化水平组合。综合平衡确定最优工艺条件。综合平衡确定最优工艺条件。综合平衡确定最优工艺条件。综合平衡确定最优工艺条件。以上三指标单独分析出的优以上三指标单独分析出的优以上三指标单独分析出的优以上三指标单独分析出的优化条件不一致，必须根据因素的影响主次，综合考虑，确化条件不一致，必须根据因素的影响主次，综合考虑，确化条件不一致，必须根据因素的影响主次，综合考虑，确化条件不一致，必须根据因素的影响主次，综合考虑，确定最佳工艺条件。定最佳工艺条件。定最佳工艺条件。定最佳工艺条件。 例：如下表数据，例：如下表数据，例：如下表数据，例：如下表数据， 对于因素对于因素对于因素对于因素A A，其对，其对，其对，其对X X影响大小排第一影响大小排第一影响大小排第一影响大小排第一位，此时取位，此时取位，此时取位，此时取A A3 3；其对；其对；其对；其对Z Z影响也排第一位，取影响也排第一位，取影响也排第一位，取影响也排第一位，取A A2 2；而其对；而其对；而其对；而其对Y Y影响排次要第三位，为次要因素，因此影响排次要第三位，为次要因素，因此影响排次要第三位，为次要因素，因此影响排次要第三位，为次要因素，因此A A可取可取可取可取A A2 2或或或或A A3 3，但，但，但，但取取取取A A2 2时，时，时，时，Z Z比取比取比取比取A A3 3减小了减小了减小了减小了14.8%14.8%，而，而，而，而X X增加了增加了增加了增加了12%12%，且由，且由，且由，且由Y Y指标看，取指标看，取指标看，取指标看，取A A2 2比比比比A A3 3的的的的Y Y值高，故值高，故值高，故值高，故A A因素取因素取因素取因素取A A2 2。同理可分析。同理可分析。同理可分析。同理可分析B B取取取取B B2 2，C C取取取取C C1 1，D D取取取取D D3 3。优组合为。优组合为。优组合为。优组合为A A2 2B B2 2C C1 1D D3 3. .K1K2K3X23.621.819.4Y2.62.42.3Z3.42.73.1附附附附2 2 2 2 混合型正交表试验设计与极差分析混合型正交表试验设计与极差分析混合型正交表试验设计与极差分析混合型正交表试验设计与极差分析试验设计与结果分析同前，不同的是将极差试验设计与结果分析同前，不同的是将极差试验设计与结果分析同前，不同的是将极差试验设计与结果分析同前，不同的是将极差R R R R进行调整，用调整后的进行调整，用调整后的进行调整，用调整后的进行调整，用调整后的RRRR进行比较。进行比较。进行比较。进行比较。 r r 为因素每个水平试验重复数为因素每个水平试验重复数为因素每个水平试验重复数为因素每个水平试验重复数 d d 折算系数，与因素水平有关。折算系数，与因素水平有关。折算系数，与因素水平有关。折算系数，与因素水平有关。（1 1 1 1） 交互作用交互作用交互作用交互作用 在多因素试验中，不仅因素对指标有影响，而且因素之在多因素试验中，不仅因素对指标有影响，而且因素之在多因素试验中，不仅因素对指标有影响，而且因素之在多因素试验中，不仅因素对指标有影响，而且因素之间的联合搭配也对指标产生影响。因素间的联合搭配对试验间的联合搭配也对指标产生影响。因素间的联合搭配对试验间的联合搭配也对指标产生影响。因素间的联合搭配对试验间的联合搭配也对指标产生影响。因素间的联合搭配对试验指标产生的影响作用称为指标产生的影响作用称为指标产生的影响作用称为指标产生的影响作用称为交互作用交互作用交互作用交互作用。因素之间的交互作用总。因素之间的交互作用总。因素之间的交互作用总。因素之间的交互作用总是存在的，这是客观存在的普遍现象，只不过交互作用的程是存在的，这是客观存在的普遍现象，只不过交互作用的程是存在的，这是客观存在的普遍现象，只不过交互作用的程是存在的，这是客观存在的普遍现象，只不过交互作用的程度不同而异。一般地，当交互作用很小时，就认为因素间不度不同而异。一般地，当交互作用很小时，就认为因素间不度不同而异。一般地，当交互作用很小时，就认为因素间不度不同而异。一般地，当交互作用很小时，就认为因素间不存在交互作用。对于交互作用，设计时应引起高度重视。存在交互作用。对于交互作用，设计时应引起高度重视。存在交互作用。对于交互作用，设计时应引起高度重视。存在交互作用。对于交互作用，设计时应引起高度重视。 在试验设计中，表示在试验设计中，表示在试验设计中，表示在试验设计中，表示A A A A、B B B B间的交互作用记作间的交互作用记作间的交互作用记作间的交互作用记作ABABABAB，称为，称为，称为，称为1 1 1 1级交互作用；表示因素级交互作用；表示因素级交互作用；表示因素级交互作用；表示因素A A A A、B B B B、C C C C之间的交互作用记作之间的交互作用记作之间的交互作用记作之间的交互作用记作ABCABCABCABC，称为，称为，称为，称为2 2 2 2级交互作用；依此类推，还有级交互作用；依此类推，还有级交互作用；依此类推，还有级交互作用；依此类推，还有3 3 3 3级、级、级、级、4 4 4 4级交互作用等。级交互作用等。级交互作用等。级交互作用等。3.1.2 3.1.2 3.1.2 3.1.2 考察交互作用的试验设计考察交互作用的试验设计考察交互作用的试验设计考察交互作用的试验设计（2 2 2 2）交互作用的处理原则）交互作用的处理原则）交互作用的处理原则）交互作用的处理原则 试验设计中，交互作用一律当作因素看待，这是处理交试验设计中，交互作用一律当作因素看待，这是处理交试验设计中，交互作用一律当作因素看待，这是处理交试验设计中，交互作用一律当作因素看待，这是处理交互作用问题的总原则。作为因素，各级交互作用都可以安排互作用问题的总原则。作为因素，各级交互作用都可以安排互作用问题的总原则。作为因素，各级交互作用都可以安排互作用问题的总原则。作为因素，各级交互作用都可以安排在能考察交互作用的正交表的相应列上，它们对试验指标的在能考察交互作用的正交表的相应列上，它们对试验指标的在能考察交互作用的正交表的相应列上，它们对试验指标的在能考察交互作用的正交表的相应列上，它们对试验指标的影响情况都可以分析清楚，而且计算非常简单。但交互作用影响情况都可以分析清楚，而且计算非常简单。但交互作用影响情况都可以分析清楚，而且计算非常简单。但交互作用影响情况都可以分析清楚，而且计算非常简单。但交互作用又与因素不同，表现在：又与因素不同，表现在：又与因素不同，表现在：又与因素不同，表现在： 用于考察交互作用的列不影响试验方案及其实施；用于考察交互作用的列不影响试验方案及其实施；用于考察交互作用的列不影响试验方案及其实施；用于考察交互作用的列不影响试验方案及其实施； 一个交互作用并不一定只占正交表的一列，而是占有一个交互作用并不一定只占正交表的一列，而是占有一个交互作用并不一定只占正交表的一列，而是占有一个交互作用并不一定只占正交表的一列，而是占有（m-1m-1）p p列。表头设计时，交互作用所占列数与因素的列。表头设计时，交互作用所占列数与因素的列。表头设计时，交互作用所占列数与因素的列。表头设计时，交互作用所占列数与因素的水平水平水平水平mm有关，与交互作用级数有关，与交互作用级数有关，与交互作用级数有关，与交互作用级数p p有关。有关。有关。有关。 2 2 2 2水平因素的各级交互作用均占水平因素的各级交互作用均占水平因素的各级交互作用均占水平因素的各级交互作用均占1 1 1 1列；对于列；对于列；对于列；对于3 3 3 3水平因素，水平因素，水平因素，水平因素，一级交互作用占两列，二级交互作用占四列，一级交互作用占两列，二级交互作用占四列，一级交互作用占两列，二级交互作用占四列，一级交互作用占两列，二级交互作用占四列，可见，可见，可见，可见，m m m m和和和和p p p p越大，交互作用所占列数越多。越大，交互作用所占列数越多。越大，交互作用所占列数越多。越大，交互作用所占列数越多。 例：对一个例：对一个例：对一个例：对一个2 2 2 25 5 5 5因素试验，表头设计时，如果考虑所有各因素试验，表头设计时，如果考虑所有各因素试验，表头设计时，如果考虑所有各因素试验，表头设计时，如果考虑所有各级交互作用，那么连同因素本身，总计应占列数为：级交互作用，那么连同因素本身，总计应占列数为：级交互作用，那么连同因素本身，总计应占列数为：级交互作用，那么连同因素本身，总计应占列数为： C C C C5 5 5 51 1 1 1 + C + C + C + C5 5 5 52 2 2 2 +C +C +C +C5 5 5 53 3 3 3 +C +C +C +C5 5 5 54 4 4 4 +C +C +C +C5 5 5 55 5 5 5 5+10+10+5+15+10+10+5+15+10+10+5+15+10+10+5+131313131， 那么此试验必选那么此试验必选那么此试验必选那么此试验必选L L L L32323232（2 2 2 25 5 5 5）正交表进行设计。一般对于多因）正交表进行设计。一般对于多因）正交表进行设计。一般对于多因）正交表进行设计。一般对于多因素试验，在满足试验要求的条件下，要有选择地、合理地考素试验，在满足试验要求的条件下，要有选择地、合理地考素试验，在满足试验要求的条件下，要有选择地、合理地考素试验，在满足试验要求的条件下，要有选择地、合理地考察某些交互作用。察某些交互作用。察某些交互作用。察某些交互作用。 综合考虑试验目的、专业知识、以往的经验及现有试验综合考虑试验目的、专业知识、以往的经验及现有试验综合考虑试验目的、专业知识、以往的经验及现有试验综合考虑试验目的、专业知识、以往的经验及现有试验条件等多方面情况进行交互作用选择。一般原则是：条件等多方面情况进行交互作用选择。一般原则是：条件等多方面情况进行交互作用选择。一般原则是：条件等多方面情况进行交互作用选择。一般原则是： 忽略高级交互作用忽略高级交互作用忽略高级交互作用忽略高级交互作用 有选择地考察一级交互作用。通常只考察那些作用有选择地考察一级交互作用。通常只考察那些作用有选择地考察一级交互作用。通常只考察那些作用有选择地考察一级交互作用。通常只考察那些作用效果较明显的，或试验要求必须考察的。效果较明显的，或试验要求必须考察的。效果较明显的，或试验要求必须考察的。效果较明显的，或试验要求必须考察的。 试验允许的条件下，试验因素尽量取试验允许的条件下，试验因素尽量取试验允许的条件下，试验因素尽量取试验允许的条件下，试验因素尽量取2 2水平。水平。水平。水平。（3 3）有交互作用的试验表头设计）有交互作用的试验表头设计）有交互作用的试验表头设计）有交互作用的试验表头设计 表头设计时，各因素及其交互作用不能任意安排，必须表头设计时，各因素及其交互作用不能任意安排，必须表头设计时，各因素及其交互作用不能任意安排，必须表头设计时，各因素及其交互作用不能任意安排，必须严格按交互作用列表进行安排。这是有交互作用正交试验严格按交互作用列表进行安排。这是有交互作用正交试验严格按交互作用列表进行安排。这是有交互作用正交试验严格按交互作用列表进行安排。这是有交互作用正交试验设计的一个重要特点，也是关键的一步。设计的一个重要特点，也是关键的一步。设计的一个重要特点，也是关键的一步。设计的一个重要特点，也是关键的一步。 在表头设计中，为了避免混杂，那些主要因素，重点要在表头设计中，为了避免混杂，那些主要因素，重点要在表头设计中，为了避免混杂，那些主要因素，重点要在表头设计中，为了避免混杂，那些主要因素，重点要考察的因素，涉及交互作用较多的因素，应该优先安排，次考察的因素，涉及交互作用较多的因素，应该优先安排，次考察的因素，涉及交互作用较多的因素，应该优先安排，次考察的因素，涉及交互作用较多的因素，应该优先安排，次要因素，不涉及交互作用的因素后安排。要因素，不涉及交互作用的因素后安排。要因素，不涉及交互作用的因素后安排。要因素，不涉及交互作用的因素后安排。 所谓所谓所谓所谓混杂混杂混杂混杂，就是指在正交表的同列中，安排了两个或两，就是指在正交表的同列中，安排了两个或两，就是指在正交表的同列中，安排了两个或两，就是指在正交表的同列中，安排了两个或两个以上的因素或交互作用，这样，就无法区分同一列中这些个以上的因素或交互作用，这样，就无法区分同一列中这些个以上的因素或交互作用，这样，就无法区分同一列中这些个以上的因素或交互作用，这样，就无法区分同一列中这些不同因素或交互作用对试验指标的影响效果。不同因素或交互作用对试验指标的影响效果。不同因素或交互作用对试验指标的影响效果。不同因素或交互作用对试验指标的影响效果。（4 4 4 4）有交互作用的正交设计）有交互作用的正交设计）有交互作用的正交设计）有交互作用的正交设计 在实际研究中，有时试验因素之间存在交互作用。对在实际研究中，有时试验因素之间存在交互作用。对于既考察因素主效应又考察因素间交互作用的正交设计，于既考察因素主效应又考察因素间交互作用的正交设计，除表头设计和结果分析与前面介绍略有不同外，其它基除表头设计和结果分析与前面介绍略有不同外，其它基本相同。本相同。1 1、右表是、右表是一正交试验一正交试验方案和结果方案和结果表，请用极表，请用极差分析法对差分析法对试验结果进试验结果进行分析，确行分析，确定各因素对定各因素对指标指标Y Y的影的影响大小和优响大小和优水平，明确水平，明确最优的工艺最优的工艺组合。组合。作作 业业 极差分析法简单明了，通俗易懂，计算工作量少。但这极差分析法简单明了，通俗易懂，计算工作量少。但这种方法种方法不能将试验中由于试验条件改变引起的数据波动同试不能将试验中由于试验条件改变引起的数据波动同试验误差引起的数据波动区分开来，验误差引起的数据波动区分开来，也就是说，不能区分因素也就是说，不能区分因素各水平间对应的试验结果的差异究竟是由于因素水平不同引各水平间对应的试验结果的差异究竟是由于因素水平不同引起的，还是由于试验误差引起的，起的，还是由于试验误差引起的，无法估计试验误差的大小无法估计试验误差的大小。此外，各因素对试验结果的影响大小无法给以精确的数量估此外，各因素对试验结果的影响大小无法给以精确的数量估计，不能提出一个标准来判断所考察因素作用是否显著。为计，不能提出一个标准来判断所考察因素作用是否显著。为了弥补极差分析的缺陷，可采用了弥补极差分析的缺陷，可采用方差分析方差分析。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 3.2 3.2 3.2 3.2 正交试验结果的方差分析正交试验结果的方差分析正交试验结果的方差分析正交试验结果的方差分析 3.2.1 3.2.1 3.2.1 3.2.1 正交试验结果的方差分析正交试验结果的方差分析正交试验结果的方差分析正交试验结果的方差分析 方差分析基本思想是将数据的总变异分解成因素引起方差分析基本思想是将数据的总变异分解成因素引起方差分析基本思想是将数据的总变异分解成因素引起方差分析基本思想是将数据的总变异分解成因素引起的变异和误差引起的变异两部分，构造的变异和误差引起的变异两部分，构造的变异和误差引起的变异两部分，构造的变异和误差引起的变异两部分，构造F F F F统计量，作统计量，作统计量，作统计量，作F F F F检验，检验，检验，检验，即可判断因素作用是否显著。即可判断因素作用是否显著。即可判断因素作用是否显著。即可判断因素作用是否显著。（1 1）偏差平方和分解：）偏差平方和分解：）偏差平方和分解：）偏差平方和分解：总偏差平方和各列因素偏差平方和总偏差平方和各列因素偏差平方和总偏差平方和各列因素偏差平方和总偏差平方和各列因素偏差平方和+误差偏差平方和误差偏差平方和误差偏差平方和误差偏差平方和（2 2）自由度分解：）自由度分解：）自由度分解：）自由度分解： 若计算出的若计算出的若计算出的若计算出的F F F F值值值值F F F F0 0 0 0FFFFa a a a，则拒绝原假设，认为该因素或，则拒绝原假设，认为该因素或，则拒绝原假设，认为该因素或，则拒绝原假设，认为该因素或交互作用对试验结果有显著影响；若交互作用对试验结果有显著影响；若交互作用对试验结果有显著影响；若交互作用对试验结果有显著影响；若F F F F0 0 0 0 F F F Fa a a a，则认为该因，则认为该因，则认为该因，则认为该因素或交互作用对试验结果无显著影响。素或交互作用对试验结果无显著影响。素或交互作用对试验结果无显著影响。素或交互作用对试验结果无显著影响。（4 4 4 4）构造）构造）构造）构造F F F F统计量：统计量：统计量：统计量： （5 5 5 5）列方差分析表，作）列方差分析表，作）列方差分析表，作）列方差分析表，作F F F F检验检验检验检验（3 3 3 3）方差：）方差：）方差：）方差：（6 6 6 6）正交试验方差分析说明）正交试验方差分析说明）正交试验方差分析说明）正交试验方差分析说明 由于进行由于进行F F检验时，要用误差偏差平方和检验时，要用误差偏差平方和SSSSe e及其自由度及其自由度dfdfe e，因此，为进行方差分析，所选正交表应留出一定空列。当，因此，为进行方差分析，所选正交表应留出一定空列。当无空列时，应进行重复试验，以估计试验误差。无空列时，应进行重复试验，以估计试验误差。 误差自由度一般不应小于误差自由度一般不应小于误差自由度一般不应小于误差自由度一般不应小于2 2 2 2，dfdfdfdfe e e e很小，很小，很小，很小，F F F F检验灵敏度很低，检验灵敏度很低，检验灵敏度很低，检验灵敏度很低，有时即使因素对试验指标有影响，用有时即使因素对试验指标有影响，用有时即使因素对试验指标有影响，用有时即使因素对试验指标有影响，用F F F F检验也判断不出来。检验也判断不出来。检验也判断不出来。检验也判断不出来。 为了增大为了增大为了增大为了增大dfdfdfdfe e e e，提高，提高，提高，提高F F F F检验的灵敏度，在进行显著性检验之检验的灵敏度，在进行显著性检验之检验的灵敏度，在进行显著性检验之检验的灵敏度，在进行显著性检验之前，先将各因素和交互作用的方差与误差方差比较，若前，先将各因素和交互作用的方差与误差方差比较，若前，先将各因素和交互作用的方差与误差方差比较，若前，先将各因素和交互作用的方差与误差方差比较，若MSMSMSMS因因因因（MSMSMSMS交交交交）2MS2MS2MS2MSe e e e，可将这些因素或交互作用的偏差平方和、自，可将这些因素或交互作用的偏差平方和、自，可将这些因素或交互作用的偏差平方和、自，可将这些因素或交互作用的偏差平方和、自由度并入误差的偏差平方和、自由度，这样使误差的偏差平由度并入误差的偏差平方和、自由度，这样使误差的偏差平由度并入误差的偏差平方和、自由度，这样使误差的偏差平由度并入误差的偏差平方和、自由度，这样使误差的偏差平方和和自由度增大，提高了方和和自由度增大，提高了方和和自由度增大，提高了方和和自由度增大，提高了F F F F检验的灵敏度。检验的灵敏度。检验的灵敏度。检验的灵敏度。L L L L9 9 9 9(3(3(3(34 4 4 4) ) ) ) 正正正正 交交交交 表表表表处理号处理号 第第1 1列（列（A A） 第第2 2列列 第第3 3列列 第第4 4列列 试验结果试验结果yiyi1 11 11 11 11 1y1y12 21 12 22 22 2y2y23 31 13 33 33 3y3y34 42 21 12 23 3y4y45 52 22 23 31 1y5y56 62 23 31 12 2y6y67 73 31 13 32 2y7y78 83 32 21 13 3y8y89 93 33 32 21 1y9y9分析第分析第分析第分析第1 1 1 1列因素时，其它列暂不考虑，将其看做条件因列因素时，其它列暂不考虑，将其看做条件因列因素时，其它列暂不考虑，将其看做条件因列因素时，其它列暂不考虑，将其看做条件因素。素。素。素。因素因素因素因素AA第第第第1 1水平水平水平水平3 3次次次次重复测定重复测定重复测定重复测定值值值值因素因素因素因素AA第第第第2 2水平水平水平水平3 3次重次重次重次重复测定值复测定值复测定值复测定值因素因素因素因素AA第第第第3 3水平水平水平水平3 3次重次重次重次重复测定值复测定值复测定值复测定值因素因素重复重复1 1重复重复2 2重复重复3 3A A1 1y1y1y2y2y3y3A A2 2y4y4y5y5y6y6A A3 3y7y7y8y8y9y9单因素单因素试验数试验数据资料据资料格式格式和和y1+y2+y3y1+y2+y3K K1 1y4+y5+y6y4+y5+y6K K2 2y7+y8+y9y7+y8+y9K K3 3表头设计表头设计A AB B试验数据试验数据列号列号1 12 2k kx xi ix xi i2 2试验号试验号1 11 1x x1 1x x1 12 22 21 1x x2 2x x2 22 2n nm mx xn nx xn n2 2K K1j1jK K1111K K1212K K1k1kK K2j2jK K2121K K2222K K2k2kK KmjmjK Km1m1K Km2m2K KmkmkK K1j1j2 2K K11112 2K K12122 2K K1k1k2 2K K2j2j2 2K K21212 2K K22222 2K K2k2k2 2K Kmjmj2 2K Km1m12 2K Km2m22 2K Kmkmk2 2SSSSj jSSSS1 1SSSS2 2SSSSk kL Ln n（mmk k）正交表及计算表格）正交表及计算表格）正交表及计算表格）正交表及计算表格总偏差平方和：总偏差平方和：总偏差平方和：总偏差平方和：列偏差平方和：列偏差平方和：列偏差平方和：列偏差平方和： 试验总次数为试验总次数为试验总次数为试验总次数为n n n n，每个因素水平数为，每个因素水平数为，每个因素水平数为，每个因素水平数为m m m m个，每个个，每个个，每个个，每个水平作水平作水平作水平作r r r r次重复次重复次重复次重复 r r r rn/mn/mn/mn/m。总自由度总自由度总自由度总自由度：因素自由度因素自由度因素自由度因素自由度：当当当当m m m m2 2 2 2时时时时，3.2.2 3.2.2 3.2.2 3.2.2 不考虑交互作用等水平正交试验方差分析不考虑交互作用等水平正交试验方差分析不考虑交互作用等水平正交试验方差分析不考虑交互作用等水平正交试验方差分析 下表是一下表是一下表是一下表是一三因素三水平正交试验方案和结果分析表，三因素三水平正交试验方案和结果分析表，三因素三水平正交试验方案和结果分析表，三因素三水平正交试验方案和结果分析表，试对试验结果进行方差分析。试对试验结果进行方差分析。试对试验结果进行方差分析。试对试验结果进行方差分析。处理号处理号 A AB BC C空列空列试验结果试验结果1 1 1 1 1 1 1 11 16.256.252 2 1 1 2 2 2 22 24.974.973 3 1 1 3 3 3 33 34.544.544 4 2 2 1 1 2 23 37.537.535 5 2 2 2 2 3 31 15.545.546 6 2 2 3 3 1 12 25.55.57 7 3 3 1 1 3 32 211.411.48 8 3 3 2 2 1 13 310.910.99 9 3 3 3 3 2 21 18.958.95K K1j1j15.76 15.76 25.18 25.18 22.65 22.65 20.74 20.74 K K2j2j18.57 18.57 21.41 21.41 21.45 21.45 21.87 21.87 K K3j3j31.25 31.25 18.99 18.99 21.48 21.48 22.97 22.97 K K1j1j2 2248.38 248.38 634.03 634.03 513.02 513.02 430.15 430.15 K K2j2j2 2344.84 344.84 458.39 458.39 460.10 460.10 478.30 478.30 K K3j3j2 2976.56 976.56 360.62 360.62 461.39 461.39 527.62 527.62 试验方案及结果分析表试验方案及结果分析表试验方案及结果分析表试验方案及结果分析表（1 1 1 1）计算）计算）计算）计算计算各列各水平的计算各列各水平的计算各列各水平的计算各列各水平的K K K K值值值值 计算各列各水平对应数据之和计算各列各水平对应数据之和计算各列各水平对应数据之和计算各列各水平对应数据之和K K K K1j1j1j1j、K K K K2j2j2j2j、K K K K3j3j3j3j及其平及其平及其平及其平方方方方K K K K1j1j1j1j2 2 2 2、K K K K2j2j2j2j2 2 2 2、K K K K3j3j3j3j2 2 2 2。计算各列偏差平方和及自由度计算各列偏差平方和及自由度计算各列偏差平方和及自由度计算各列偏差平方和及自由度同理，同理，同理，同理，SSSSSSSSB B B B=6.49=6.49=6.49=6.49，SSSSSSSSC C C C=0.31 =0.31 =0.31 =0.31 SSeSSeSSeSSe=0.83=0.83=0.83=0.83（空列）（空列）（空列）（空列）自由度：自由度：自由度：自由度：dfdfdfdfA A A AdfdfdfdfB B B BdfdfdfdfC C C Cdfdfdfdfe e e e3-1=23-1=23-1=23-1=2计算方差：计算方差：计算方差：计算方差：（2 2 2 2）显著性检验）显著性检验）显著性检验）显著性检验 根据以上计算，进行显著性检验，列出方差分析表，根据以上计算，进行显著性检验，列出方差分析表，根据以上计算，进行显著性检验，列出方差分析表，根据以上计算，进行显著性检验，列出方差分析表，结果见下表结果见下表结果见下表结果见下表变异来源变异来源 平方和平方和 自由度自由度 均方均方 F F值值 Fa显著水平显著水平 A45.4045.402 222.7022.7079.6F0.05(2,4) =6.94*B6.496.492 23.243.2411.4F0.01(2,4)=18.0*C0.310.312 20.160.16误差误差e0.830.832 20.410.41误差误差e 1.141.144 40.2850.285总和总和 53.0353.03方方方方 差差差差 分分分分 析析析析 表表表表结结结结 论论论论 因素因素因素因素A A A A高度显著，因素高度显著，因素高度显著，因素高度显著，因素B B B B显著，因素显著，因素显著，因素显著，因素C C C C不显著。因素主不显著。因素主不显著。因素主不显著。因素主次顺序次顺序次顺序次顺序A-B-CA-B-CA-B-CA-B-C。（3 3 3 3）优化工艺条件的确定）优化工艺条件的确定）优化工艺条件的确定）优化工艺条件的确定 本试验指标越大越好。对因素本试验指标越大越好。对因素本试验指标越大越好。对因素本试验指标越大越好。对因素AA、BB分析，确定优水分析，确定优水分析，确定优水分析，确定优水平为平为平为平为AA3 3、BB1 1；因素；因素；因素；因素C C的水平改变对试验结果几乎无影响，的水平改变对试验结果几乎无影响，的水平改变对试验结果几乎无影响，的水平改变对试验结果几乎无影响，可从经济、操作等角度考虑取值，选可从经济、操作等角度考虑取值，选可从经济、操作等角度考虑取值，选可从经济、操作等角度考虑取值，选C C1 1。优水平组合为。优水平组合为。优水平组合为。优水平组合为AA3 3BB1 1C C1 1。 3.2.3 3.2.3 3.2.3 3.2.3 考虑交互作用正交试验方差分析考虑交互作用正交试验方差分析考虑交互作用正交试验方差分析考虑交互作用正交试验方差分析 例：例：例：例： 用石墨炉原子吸收分光光度法测定锌锭中的铅，为用石墨炉原子吸收分光光度法测定锌锭中的铅，为用石墨炉原子吸收分光光度法测定锌锭中的铅，为用石墨炉原子吸收分光光度法测定锌锭中的铅，为了提高测定灵敏度，希望吸光度越大越好，现研究影响吸了提高测定灵敏度，希望吸光度越大越好，现研究影响吸了提高测定灵敏度，希望吸光度越大越好，现研究影响吸了提高测定灵敏度，希望吸光度越大越好，现研究影响吸光度的因素，确定最佳测定条件。光度的因素，确定最佳测定条件。光度的因素，确定最佳测定条件。光度的因素，确定最佳测定条件。（1 1 1 1）计算）计算）计算）计算 计算各列各水平对应数据之和计算各列各水平对应数据之和计算各列各水平对应数据之和计算各列各水平对应数据之和KK1j1j、KK2j2j及（及（及（及（KK1j1j- -KK2j2j）；）；）；）；计算各列偏差平方和及自由度（见吸光度测定试验方案及计算各列偏差平方和及自由度（见吸光度测定试验方案及计算各列偏差平方和及自由度（见吸光度测定试验方案及计算各列偏差平方和及自由度（见吸光度测定试验方案及结果分析表）。结果分析表）。结果分析表）。结果分析表）。（2 2 2 2）显著性检验）显著性检验）显著性检验）显著性检验 根据根据根据根据方差分析表，方差分析表，方差分析表，方差分析表，因素因素因素因素B B B B高度显著，因素高度显著，因素高度显著，因素高度显著，因素A A A A、C C C C及交互作及交互作及交互作及交互作用用用用ABABABAB、ACACACAC、BCBCBCBC均不显著。各因素对试验结果影响的均不显著。各因素对试验结果影响的均不显著。各因素对试验结果影响的均不显著。各因素对试验结果影响的主次顺序为：主次顺序为：主次顺序为：主次顺序为：B B B B、A A A A、ACACACAC、C C C C、ABABABAB、BCBCBCBC。吸光度测定试验方案及结果分析表吸光度测定试验方案及结果分析表吸光度测定试验方案及结果分析表吸光度测定试验方案及结果分析表试验号试验号A AB BABABC CACACBCBC空列空列吸光度吸光度1 11 11 11 11 11 11 11 12.422.422 21 11 11 12 22 22 22 22.242.243 31 12 22 21 11 12 22 22.662.664 41 12 22 22 22 21 11 12.582.585 52 21 12 21 12 21 12 22.362.366 62 21 12 22 21 12 21 12.42.47 72 22 21 11 12 22 21 12.792.798 82 22 21 12 21 11 12 22.762.76K1j9.99.99.429.4210.2110.2110.2310.2310.2410.2410.1210.1210.1910.19K2j10.3110.3110.7910.7910109.989.989.979.9710.0910.0910.0210.02K1j-K2j-0.41-0.41-1.37-1.370.210.210.250.250.270.270.030.030.170.17SSj0.0210.0210.2350.2350.00550.00550.00780.00780.00910.00910.00010.00010.00360.0036变异变异来源来源 平方和平方和 自由度自由度 均方均方 F F值值 临界值临界值FaFa显著水平显著水平 A0.0210 0.0210 1 10.021 0.021 6.82 F0.05(1,3)=10.13B0.2346 0.2346 1 10.235 0.235 76.19F0.01(1,3)=34.12*AB0.0055 0.0055 1 10.006 0.006 C0.0078 0.0078 1 10.008 0.008 2.53AC0.0091 0.0091 1 10.009 0.009 2.96BC 0.0001 0.0001 1 10.000 0.000 误差误差e0.0036 0.0036 1 10.004 0.004 误差误差e 0.0923 0.0923 3 30.00308 0.00308 总总 和和 0.2818 0.2818 方方方方 差差差差 分分分分 析析析析 表表表表（3 3 3 3）优化条件确定）优化条件确定）优化条件确定）优化条件确定 根据方差分析表判断，试验中各因素的根据方差分析表判断，试验中各因素的根据方差分析表判断，试验中各因素的根据方差分析表判断，试验中各因素的交互作用均不交互作用均不交互作用均不交互作用均不显著，确定因素的优水平时可以不考虑交互作用的影响。显著，确定因素的优水平时可以不考虑交互作用的影响。显著，确定因素的优水平时可以不考虑交互作用的影响。显著，确定因素的优水平时可以不考虑交互作用的影响。对显著因素对显著因素对显著因素对显著因素B B B B，通过比较，通过比较，通过比较，通过比较K K K K1B1B1B1B和和和和K K K K2B2B2B2B的大小确定优水平为的大小确定优水平为的大小确定优水平为的大小确定优水平为B B B B2 2 2 2；同理同理同理同理A A A A取取取取A A A A2 2 2 2，C C C C取取取取C C C C1 1 1 1或或或或C C C C2 2 2 2。优组合为。优组合为。优组合为。优组合为A A A A2 2 2 2B B B B2 2 2 2C C C C1 1 1 1或或或或A A A A2 2 2 2B B B B2 2 2 2C C C C2 2 2 2。 方差分析可以分析出试验误差的大小，从而知道试验精方差分析可以分析出试验误差的大小，从而知道试验精度；不仅可给出各因素及交互作用对试验指标影响的主次度；不仅可给出各因素及交互作用对试验指标影响的主次顺序，而且可分析出哪些因素影响显著，哪些影响不显著。顺序，而且可分析出哪些因素影响显著，哪些影响不显著。对于显著因素，选取优水平并在试验中加以严格控制；对对于显著因素，选取优水平并在试验中加以严格控制；对不显著因素，可视具体情况确定优水平。但极差分析不能不显著因素，可视具体情况确定优水平。但极差分析不能对各因素的主要程度给予精确的数量估计。对各因素的主要程度给予精确的数量估计。作作作作 业业业业试对以下试对以下试对以下试对以下转化率试验结果进行方差分析，判断各因素对转化率试验结果进行方差分析，判断各因素对转化率产影响程度，确定最优的工艺组合转化率产影响程度，确定最优的工艺组合处理号处理号 温度温度时间时间加碱量加碱量空列空列转化率转化率（% %）1 1 1 1 1 1 1 11 1312 2 1 1 2 2 2 22 2543 3 1 1 3 3 3 33 3384 4 2 2 1 1 2 23 3535 5 2 2 2 2 3 31 1496 6 2 2 3 3 1 12427 7 3 3 1 1 3 32 2578 8 3 3 2 2 1 13 3629 9 3 3 3 3 2 21 164K K1j1j123141135144K K2j2j144165171153K K3j3j183144144153 K K1j1j2 215129198811822520736K K2j2j2 220736272252924123409K K3j3j2 233489207362073623409SSSSj j61811423418T=450T=450T=450T=450CT=TCT=TCT=TCT=T2 2 2 2/n/n/n/n =22500 =22500 =22500 =22500变异来源变异来源 平方和平方和 自由度自由度 均方均方 F F值值 Fa显著水平显著水平 温度温度6182 230934.3F0.05(2,2) =19*时间时间1142 2576.3F0.01(2,2)=99加碱量加碱量2342 211713误差误差e182 29总和总和 984结论结论结论结论：温度对转化率的影响显著，时间和加碱量的影响不：温度对转化率的影响显著，时间和加碱量的影响不：温度对转化率的影响显著，时间和加碱量的影响不：温度对转化率的影响显著，时间和加碱量的影响不显著，因素主次顺序温度显著，因素主次顺序温度显著，因素主次顺序温度显著，因素主次顺序温度- - - -加碱量加碱量加碱量加碱量- - - -时间。时间。时间。时间。转转转转化率越大越好。对温度进行分析，确定优水平为化率越大越好。对温度进行分析，确定优水平为化率越大越好。对温度进行分析，确定优水平为化率越大越好。对温度进行分析，确定优水平为A A A A3 3 3 3（120120120120）；时间和加碱量对转化率的影响较小，可选择取）；时间和加碱量对转化率的影响较小，可选择取）；时间和加碱量对转化率的影响较小，可选择取）；时间和加碱量对转化率的影响较小，可选择取值值值值B B B B2 2 2 2（120120120120分钟）、分钟）、分钟）、分钟）、C C C C2 2 2 2（6%6%6%6%）；优水平组合为）；优水平组合为）；优水平组合为）；优水平组合为A A A A3 3 3 3B B B B2 2 2 2C C C C2 2 2 2。