3.1.2 圆周角1.1.理解圆周角的概念，掌握圆周角的性质理解圆周角的概念，掌握圆周角的性质.(.(重点重点) )2.2.能运用圆周角的性质及相关的结论解决问题能运用圆周角的性质及相关的结论解决问题.(.(重点、重点、难点难点) )1.1.圆周角：顶点在圆周角：顶点在_上，并且两边都与圆上，并且两边都与圆_的角的角. .2.2.圆周角定理：如图，圆周角定理：如图，BOCBOC与与BACBAC分别是分别是 所对的圆心角所对的圆心角和圆周角，圆心和圆周角，圆心O O在圆周角在圆周角BACBAC的一边上的一边上. .因为因为OA=OC,OA=OC,所以所以A=C,A=C,因为因为BOC=A+C,BOC=A+C,所以所以BOC=2A,BOC=2A,所以所以BAC= BOC.BAC= BOC.圆圆相交相交【思考思考】(1)(1)当当圆圆心心O O在在BACBAC的内部的内部时时,BAC,BAC与与BOCBOC的上述关的上述关系是否成立系是否成立? ?为为什么什么? ?提示提示: :成立成立. .理由如下理由如下: :如图如图, ,作直径作直径AD,AD,由图形可知由图形可知:BAD= BOD.:BAD= BOD.同理同理:CAD= COD,:CAD= COD,BAD+CADBAD+CAD= BOD+ COD,= BOD+ COD,即即BAC= BOC.BAC= BOC.(2)(2)当当圆圆心心O O在在BACBAC的外部的外部时时,BAC,BAC与与BOCBOC的上述关系是否成的上述关系是否成立立? ?为为什么什么? ?提示提示: :成立成立. .理由如下理由如下: :如图如图, ,作直径作直径AD,AD,由图形可知由图形可知:BAD= BOD,:BAD= BOD,同理同理:CAD= COD,:CAD= COD,CAD-BAD= COD- BOD,BAC= BOC.CAD-BAD= COD- BOD,BAC= BOC.【总结总结】1.1.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的_. .2.2.在同圆或等圆中在同圆或等圆中, ,同弧或等弧所对的圆周角同弧或等弧所对的圆周角_; ;反之反之, ,_的圆周角所对的弧相等的圆周角所对的弧相等. .3.3.直径直径( (或半圆或半圆) )所对的圆周角是所对的圆周角是_; ;反之反之, ,_的圆周角所对的圆周角所对的弦是直径的弦是直径. .一半一半相等相等相等相等直角直角9090(1)(1)顶点在圆上的角叫做圆周角顶点在圆上的角叫做圆周角. .( )( )(2)(2)一条弧所对的圆心角是圆周角的一半一条弧所对的圆心角是圆周角的一半. .( )( )(3)(3)在同圆或等圆中在同圆或等圆中, ,相等的圆周角所对的弦也相等相等的圆周角所对的弦也相等. .( )( )(4)(4)圆周角相等圆周角相等, ,则圆周角所对的弧相等则圆周角所对的弧相等. .( )( )知识点知识点 1 1 圆周角及圆周角定理圆周角及圆周角定理【例例1 1】(2013(2013湛江中考湛江中考) )如图，如图，ABAB是是O O的直径，的直径，AOC=110AOC=110， 则则D D的度数为的度数为( )( )A.25 B.35 C.55 D.70A.25 B.35 C.55 D.70【思路点拨思路点拨】找出找出D D所对弧，然后确定弧所对的圆心角所对弧，然后确定弧所对的圆心角BOCBOC，结合条件，结合条件AOC=110AOC=110，可知，可知D D所对的弧所对的圆心角所对的弧所对的圆心角BOCBOC的度数，进而确定的度数，进而确定D D的度数的度数. .【自主解答自主解答】选选B.AOC=110,B.AOC=110,BOC=180BOC=180AOC=70,AOC=70,BOCBOC和和D D所对的弧是所对的弧是BDC= BOC=35.BDC= BOC=35.【总结提升总结提升】圆周角与圆心角的区别与联系圆周角与圆心角的区别与联系知识点知识点 2 2 圆周角定理结论的应用圆周角定理结论的应用【例例2 2】(2013(2013黔西南州中考黔西南州中考) )如图所示，如图所示，ABAB是是O O的直径，弦的直径，弦CDABCDAB于点于点E E，点，点P P在在O O上，上，1=C.1=C.(1)(1)求证：求证：CBPD.CBPD.(2)(2)若若BC=3BC=3，sin P= sin P= 求求O O的直径的直径. .【解题探究解题探究】1.11.1与与D D各是什么角？有什么关系？各是什么角？有什么关系？D D与与C C相等吗？相等吗？为什么？为什么？提示：提示：1 1和和D D都是圆周角，它们都是都是圆周角，它们都是 所对的角，所以所对的角，所以1=D1=D，由条件知，由条件知1=C1=C，等量代换得，等量代换得C=D.C=D.2.2.由由1 1知：知：C=DC=D，所以，所以_. .CBPDCBPD3.3.连结连结AC,AC,如图，如图，P P与与CABCAB有什么关系？有什么关系？提示：提示：直径直径ABAB弦弦CDCD，ABAB平分平分 ， P=CAB.P=CAB.4.4.在在ACBACB中，中，ABAB为直径，为直径，ACB=ACB=_，sin P= ,sinCAB=sin P= ,sinCAB=_, ,BC=3, =sinCAB,AB=5.BC=3, =sinCAB,AB=5.9090【互动探究互动探究】问题中的问题中的 相等吗？为什么？相等吗？为什么？提示：提示：直径直径ABCDABCD，【总结提升总结提升】同一圆中证明两角相等、两弧相等的两种方法同一圆中证明两角相等、两弧相等的两种方法1.1.证明两角相等证明两角相等. .(1)(1)同弧或者等弧所对的圆心角相等；同弧或者等弧所对的圆心角相等；(2)(2)同弧或者等弧所对的圆周角相等同弧或者等弧所对的圆周角相等( (在同圆或者等圆中，同弧在同圆或者等圆中，同弧或者等弧所对的圆周角都等于这条弧所对圆心角的一半或者等弧所对的圆周角都等于这条弧所对圆心角的一半).).2.2.证明两弧相等证明两弧相等. .(1)(1)垂径定理及其推论中弧、弦、圆心角三者之间的关系；垂径定理及其推论中弧、弦、圆心角三者之间的关系；(2)(2)在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等. .即由弧找角、由角找弧是证明弧相等或者角相等常用的思维方即由弧找角、由角找弧是证明弧相等或者角相等常用的思维方法法. .题组一：题组一：圆周角及圆周角定理圆周角及圆周角定理1.1.如图，点如图，点A A，B B，C C，D D是是O O上的点，上的点，ACAC与与BDBD相交于点相交于点E E，则图中圆周角的，则图中圆周角的个数为个数为( )( )A.3 B.4A.3 B.4C.8 D.9C.8 D.9【解析解析】选选C.C.以点以点D D为顶点的圆周角为为顶点的圆周角为ADB,BDCADB,BDC和和ADC;ADC;以以点点C C为顶点的圆周角为为顶点的圆周角为ACD,ACBACD,ACB和和DCB,DCB,以点以点A A为顶点的圆为顶点的圆周角是周角是A;A;以点以点B B为顶点的圆周角是为顶点的圆周角是B,B,共共8 8个个. .2.(20132.(2013滨州中考滨州中考) )如图如图, ,在在O O中中, ,圆圆心角心角BOC=78,BOC=78,则圆周角则圆周角BACBAC的大的大小为小为( () )A.156 B.78A.156 B.78C.39C.39 D.12 D.12【解析解析】选选C.C.根据在同圆或等圆中根据在同圆或等圆中, ,同弧或等弧所对的圆周角同弧或等弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半是它所对的圆心角的一半, ,所以所以BAC= BOC=39.BAC= BOC=39.3.(20133.(2013娄底中考娄底中考) )如图如图, ,将直角三角板将直角三角板6060角的顶点放在圆角的顶点放在圆心心O O上上, ,斜边和一直角边分别与斜边和一直角边分别与O O相交于相交于A,BA,B两点两点,P,P是优弧是优弧ABAB上上任意一点任意一点( (与与A,BA,B不重合不重合),),则则APB=APB=. .【解析解析】因为因为APBAPB与与AOBAOB所对的弧都是所对的弧都是 ，根据圆周角，根据圆周角定理知：定理知：APB= AOBAPB= AOB，因为，因为AOB=60AOB=60，所以，所以APB=30.APB=30.答案：答案：30304.AB4.AB，ACAC为为O O中的两条弦，延长中的两条弦，延长CACA到点到点D,D,使使AD=ABAD=AB，若，若ADB=35ADB=35，求，求BOCBOC的度数的度数. .【解析解析】在在ABDABD中，中，AB=ADAB=AD，则，则ABD=D=35ABD=D=35，BAC=2D=70BAC=2D=70，BOC=2BAC=140BOC=2BAC=140题组二：题组二：圆周角定理结论的应用圆周角定理结论的应用1.1.如图，四边形如图，四边形ABCDABCD内接于内接于O O，它的对角线把四个内角分成，它的对角线把四个内角分成八个角，其中一定相等的角有八个角，其中一定相等的角有( )( )A.2A.2对对 B.4B.4对对 C.6C.6对对 D.8D.8对对【解析解析】选选B.B.由圆周角定理知由圆周角定理知:ADB=ACB,CBD=CAD,:ADB=ACB,CBD=CAD,BDC=BAC,ABD=ACD,BDC=BAC,ABD=ACD,共有共有4 4对相等的角对相等的角. .2.(20132.(2013苏苏州中考州中考) )如如图图,AB,AB是半是半圆圆的直径的直径, ,点点D D是弧是弧ACAC的中点的中点,ABC=50,ABC=50,则则DABDAB等于等于( () )A.55A.55B.60B.60C.65C.65D.70D.70【解析解析】选选C.C.如图如图, ,连结连结BD,BD,点点D D是弧是弧ACAC的中点的中点, ,所以所以CBD=DBA=25.CBD=DBA=25.又因为又因为ABAB是直径是直径, ,所以所以ADB=90,ADB=90,所以所以DAB=90-DAB=90-25=65.25=65.3.(20133.(2013益阳中考益阳中考) )如图如图, ,若若ABAB是是O O的直径的直径,AB=10cm,AB=10cm,CAB=30,CAB=30,则则BC=BC=cm.cm.【解析解析】因为因为ABAB是是O O的直径的直径,AB=10cm,CAB=30,AB=10cm,CAB=30,所以在直所以在直角三角形角三角形ABCABC中中,BC= AB= 10=5(cm).,BC= AB= 10=5(cm).答案答案: :5 54.4.如图如图,AB,AB是是O O的直径的直径, ,若若AB=4cm,D=30,AB=4cm,D=30,求求B B的度数及的度数及ACAC的长的长. .【解析解析】DD和和B B是是 所对的圆周角，所对的圆周角，B=D=30.B=D=30.ABAB是是O O的直径，的直径，ACB=90.ACB=90.在在RtACBRtACB中，中，sin B=sin B=AC=ABsin B=4sin 30=2(cm).AC=ABsin B=4sin 30=2(cm).【想一想错在哪？想一想错在哪？】在半径为在半径为R R的圆中，有一条弦分圆周为的圆中，有一条弦分圆周为1212两部分，则弦所对的圆周角为两部分，则弦所对的圆周角为_._.提示：提示：弦所对的圆周角有两种，忽略了优弧所对的圆周角弦所对的圆周角有两种，忽略了优弧所对的圆周角. .