第二章第二章 数数 列列2.4 2.4 等比数列等比数列小学数学中渗透等比数列举例小学数学中渗透等比数列举例1 1 1 1、按规律写数、按规律写数、按规律写数、按规律写数（1 1 1 1）3 3 3 3，6 6 6 6，12121212，24242424， ， ， . . . .（2 2 2 2）5 5 5 5，10101010， ，40404040， ，160160160160， . . . .2 2、用分数表示图中黑色部分、用分数表示图中黑色部分 A A 等比数列等比数列 国际象棋起源于印度，关于国国际象棋起源于印度，关于国际象棋有这样一个传说，国王要奖际象棋有这样一个传说，国王要奖励国际象棋的发明者，问他有什么励国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说：要求，发明者说：“请在棋盘上的请在棋盘上的第一个格子上放第一个格子上放1 1粒麦子，第二个粒麦子，第二个格子上放格子上放2 2粒麦子，第三个格子上粒麦子，第三个格子上放放4 4粒麦子，第四个格子上放粒麦子，第四个格子上放8 8粒麦粒麦子，依次类推，直到第子，依次类推，直到第6464个格子放个格子放满为止。满为止。” 国王慷慨地答应了他。国王慷慨地答应了他。你认为国王有能力满足上述要求吗你认为国王有能力满足上述要求吗？左图为国际象棋的棋盘，棋左图为国际象棋的棋盘，棋盘有盘有8*8=64格格情景展示（情景展示（1 1）64个格子个格子1223344551667788你想得到什么样的赏赐？陛下，赏小人一些麦粒就可以。OK请在第一个格子放1颗麦粒请在第二个格子放2颗麦粒请在第三个格子放4颗麦粒请在第四个格子放8颗麦粒依次类推456781567812334264个格子你认为国王你认为国王有能力满足有能力满足上述要求吗上述要求吗每个格子里的麦粒数都是每个格子里的麦粒数都是前 一个格子里麦粒数的一个格子里麦粒数的 2倍 且共有且共有64 格子格子?18446744073709551615给你一张足够大的纸，假设其给你一张足够大的纸，假设其厚度为厚度为0.1毫米，那么当你把这毫米，那么当你把这张纸对折了张纸对折了51次的时候，所达次的时候，所达到的厚度有多少到的厚度有多少？猜一猜：把一张纸折叠把一张纸折叠5151次，次，得到的得到的大约大约是地球与是地球与太阳之间的距离太阳之间的距离！曰：曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭.”庄子庄子意思：意思：“一尺长的木一尺长的木棒，每日取其一半，棒，每日取其一半，永远也取不完永远也取不完” 。如果将如果将如果将如果将“一尺之棰一尺之棰一尺之棰一尺之棰”视为一份，视为一份，视为一份，视为一份，则每日剩下的部分依次为：则每日剩下的部分依次为：则每日剩下的部分依次为：则每日剩下的部分依次为： 某种汽车购买时的价格是某种汽车购买时的价格是3636万元，每年万元，每年的折旧率是的折旧率是10%10%，求这辆车各年开始时的价，求这辆车各年开始时的价格（单位：万元）。格（单位：万元）。3636，36360.90.9，36360.90.92 2, , 360.93,各年汽车的价格组成数列：各年汽车的价格组成数列：1, 3, 5, 7, 9; (1)3, 0, -3, -6, ; (2)忆一忆什么是等差数列？ 一般地一般地一般地一般地，如果一个数列从第如果一个数列从第如果一个数列从第如果一个数列从第2 2 2 2项起，每一项与前一项起，每一项与前一项起，每一项与前一项起，每一项与前一项的差等于项的差等于项的差等于项的差等于同一个常数同一个常数同一个常数同一个常数，那么这个数列叫做，那么这个数列叫做，那么这个数列叫做，那么这个数列叫做等差数列等差数列等差数列等差数列。这个常数叫做等差数列的这个常数叫做等差数列的这个常数叫做等差数列的这个常数叫做等差数列的公差公差公差公差，用，用，用，用d d d d表示。表示。表示。表示。比一比共同特点？共同特点？ 从第从第2项起，每一项项起，每一项与与前前一项的比都等于一项的比都等于同一常数同一常数。(1)(2) (3）9 9，9 92 2，9 93 3，9 94 4，9 95 5，9 96 6， 9 97 73636，36360.90.9，36360.90.92 2, , 360.93,（4）或思考：思考：？其数学表达式其数学表达式：等比数列定义等比数列定义 一般地，如果一个数列从第一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项起，每一项与它的前一项的项的 等于等于 那么这个数列就叫那么这个数列就叫做做等比数列等比数列。这个常数叫做等比数列的这个常数叫做等比数列的公比公比，通常用字母，通常用字母q表示。表示。比比同一个常数2注意：公比公比q能不能是零？能不能是零？不能！ 例例:求出下列等比数列中的未知项求出下列等比数列中的未知项. (1) 2. a, 8 (2) -4 , b, c, 解：解：解得解得 a=4或或a=-4=q=q=q观察数列 ( 1) 2，4，8，16，32，64.(2) 1，3，9，27，81，243，(3) (4) (5) 5，5，5，5，5，5， 1，-1，1，-1，1，以上以上6个数列的公比分别为个数列的公比分别为公比公比 q=2 递增数列递增数列公比公比 q=3 递增数列递增数列公比公比 q=1 非零非零常数列常数列公公 比比q= -1 摆动摆动数列数列公比公比 q= 递减数列递减数列练一练是不是是不是q = =1、判别下列数列是否为等比数列、判别下列数列是否为等比数列? (2)1.2, 2.4 , -4.8 , -9.6 (3)2, 2, 2, 2, (4)1, 0, 1, 0 q = =2、指出下列数列是不是等比数列，若是，、指出下列数列是不是等比数列，若是，说明公比；若不是，说出理由说明公比；若不是，说出理由 (3) 2, -2, 2, -2, 2(1) ,2, 4, 16, 64, (2) 16, 8, 1, 2, 0,不是不是是是不是不是不一定不一定(4) a, a, a, a, a 通项公式通项公式数学式数学式 子表示子表示定定 义义等比数列等比数列等差数列等差数列名称名称如果一个数列从第如果一个数列从第2项项起，每一项与前一项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等那么这个数列叫做等差数列差数列.这个常数叫做这个常数叫做等差数列的公差，用等差数列的公差，用d表示表示an+1-an=dan = a1 +（n-1）d如如果果一一个个数数列列从从第第2项项起起，每每一一项项与与它它前前一一项项的的比比都都等等于于同同一一个个常常数数,那那么么这这个个数数列列叫叫做做等等比比数数列列.这这个个常常数数叫叫做做等等比比数数列列的公比，用的公比，用q表示表示? ?等比数列的通项公式等比数列的通项公式如果一个数列如果一个数列是等比数列，它的公比是是等比数列，它的公比是q，那么，那么，由此可知，等比数列由此可知，等比数列 的通项公式为的通项公式为当q=1时，这是一个常函数。不完全不完全归纳法归纳法求下列等比数列的第求下列等比数列的第4，5项：项：（1） 5，-15，45，解解 ：用：用an 表示题中公比为表示题中公比为q的等比数列，由已知条件，有的等比数列，由已知条件，有解得解得 因此因此，答：这个数列的第答：这个数列的第1项与第项与第2项分别是项分别是例例一个等比数列的第项和第项分别是一个等比数列的第项和第项分别是和，求它的第项和第项和，求它的第项和第项解:设这个等比数列的首项为设这个等比数列的首项为a a1 1, ,公比为公比为q q则得:q=将(3)代入(1)得:练习练习. .等比数列中等比数列中 , , 求求等比中项等比中项 观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成为一个等比数列：为一个等比数列：（1）1， ， 9 （2）-1， ，-4（3）-12， ，-3 （4）1， ，13261 如果在如果在a与与b中间插入一个数中间插入一个数G，使，使a，G，b成等比数列，成等比数列，那么那么G叫做叫做a与与b的的等比中项等比中项。，（1）数列：）数列：1，2，4，8，16，1234567891024681012141618200等比数列的图象1（2）数列：12345678910123456789100等比数列的图象2等比数列的图象3（3）数列：4，4，4，4，4，4，412345678910123456789100等比数列的图象4（4）数列：1，-1，1，-1，1，-1，1，12345678910123456789100等比数列的等比数列的图像，表示像，表示这个数列的个数列的各点各点均在函数的均在函数的图象上的象上的一些一些孤立点孤立点世界杂交水稻之父袁隆平从从1976年至年至1999年在我国累计推广种植杂交水稻年在我国累计推广种植杂交水稻35亿多亿多亩，增产稻谷亩，增产稻谷3500亿公斤。年增稻谷可养活亿公斤。年增稻谷可养活6000万人口。万人口。 西方世界称他的杂交稻是西方世界称他的杂交稻是“东方魔稻东方魔稻” ，并认为是解决，并认为是解决下个世纪世界性饥饿问题的法宝。下个世纪世界性饥饿问题的法宝。接轨生活接轨生活例例 袁隆平在培育某水稻新品种时，培育出第一代袁隆平在培育某水稻新品种时，培育出第一代120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的种子都可以得到下一代的120粒种子，到第粒种子，到第5代时大代时大约可以得到这个新品种的种子多少粒（保留两位有约可以得到这个新品种的种子多少粒（保留两位有效数字）？效数字）？由于每代的种子数是它的前一代种子数的由于每代的种子数是它的前一代种子数的120倍倍，因此，逐代的种子数组成等比数列，记为因此，逐代的种子数组成等比数列，记为 答：答：到第到第5代大约可以得到这种新品种的种子代大约可以得到这种新品种的种子2.51010粒粒.解解：巩固巩固 应用应用小小 结：结：等比数列的等比数列的概念。概念。方程的思想。方程的思想。类比类比知识内容知识内容研究方法研究方法思想方法思想方法