第二章第二章 数列极限数列极限“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：播放播放刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积2 2、截丈问题：、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”二、数列的定义二、数列的定义例如例如注意：注意： 1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取2.数列是整标函数数列是整标函数播放播放三、数列的极限三、数列的极限问题问题: 当当 无限增大时无限增大时, 是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?问题问题: “无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言如何用数学语言刻划它刻划它.通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.注意：注意：几何解释几何解释:其中其中数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.例例1证证所以所以,注意：注意：例例2证证所以所以,说明说明:常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.小结小结: 用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关键是任意给定定 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N.例例3证证例例4证证四、四、数列极限的性质数列极限的性质1、有界性有界性例如例如,有界有界无界无界定理定理1 1 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .证证由定义由定义,注意：注意：有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. .2、唯一性、唯一性定理定理2 2 每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限. .证证由定义由定义,故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.例例5证证由定义由定义,区间长度为区间长度为1.不可能同时位于不可能同时位于长度为长度为1的的区间内区间内.3、子数列的收敛性、子数列的收敛性注意：注意：例如，例如，定理定理3 3 收敛数列的任一子数列也收敛且极限收敛数列的任一子数列也收敛且极限相同相同证证证毕证毕五、小结五、小结数列数列: :研究其变化规律研究其变化规律;数列极限数列极限: :极限思想、精确定义、几何意义极限思想、精确定义、几何意义;收敛数列的性质收敛数列的性质: :有界性、唯一性、子数列的收敛性有界性、唯一性、子数列的收敛性.思考题思考题证明证明要使要使只要使只要使从而由从而由得得取取当当 时，必有时，必有 成立成立思考题解答思考题解答（等价）（等价）证明中所采用的证明中所采用的实际上就是不等式实际上就是不等式即证明中没有采用即证明中没有采用“适当放大适当放大” 的值的值从而从而 时，时，仅有仅有 成立，成立，但不是但不是 的充分条件的充分条件反而缩小为反而缩小为练练 习习 题题