46 戴维南定理戴维南定理 由第二章已经知道，含独立电源的线性电阻由第二章已经知道，含独立电源的线性电阻单口网络，可以等效为一个电压源和电阻串联单单口网络，可以等效为一个电压源和电阻串联单口网络，或一个电流源和电阻并联单口网络。本口网络，或一个电流源和电阻并联单口网络。本章介绍的戴维宁定理和诺顿定理提供了求含源单章介绍的戴维宁定理和诺顿定理提供了求含源单口网络两种等效电路的一般方法，对简化电路的口网络两种等效电路的一般方法，对简化电路的分析和计算十分有用。这两个定理是本章学习的分析和计算十分有用。这两个定理是本章学习的重点。本节先介绍戴维南定理。重点。本节先介绍戴维南定理。 戴维宁定理：含独立电源的线性电阻单口网络戴维宁定理：含独立电源的线性电阻单口网络N，就端就端口特性而言，可以等效为一个电压源和电阻串联的单口网络口特性而言，可以等效为一个电压源和电阻串联的单口网络图图(a)。电压源的电压等于单口网络在负载开路时的电压电压源的电压等于单口网络在负载开路时的电压uoc；电阻电阻Ro是单口网络内全部独立电源为零值时所得单口网是单口网络内全部独立电源为零值时所得单口网络络No的等效电阻的等效电阻 图图(b)。 图图46 uoc 称为开路电压。称为开路电压。Ro称为戴维宁等效电阻。在电子称为戴维宁等效电阻。在电子电路中，当单口网络视为电源时，常称此电阻为输出电阻，电路中，当单口网络视为电源时，常称此电阻为输出电阻，常用常用Ro表示；当单口网络视为负载时，则称之为输入电阻，表示；当单口网络视为负载时，则称之为输入电阻，并常用并常用Ri表示。电压源表示。电压源uoc和电阻和电阻Ro的串联单口网络，称为的串联单口网络，称为戴维宁等效电路。戴维宁等效电路。 当单口网络的端口电压和电流采用关联参考方向时，当单口网络的端口电压和电流采用关联参考方向时，其端口电压电流关系方程可表为其端口电压电流关系方程可表为 戴维宁定理可以在单口外加电流源戴维宁定理可以在单口外加电流源i，用叠加定理计算用叠加定理计算端口电压表达式的方法证明如下。端口电压表达式的方法证明如下。 在在单单口口网网络络端端口口上上外外加加电电流流源源i ,根根据据叠叠加加定定理理，端端口口电电压压可可以以分分为为两两部部分分组组成成。一一部部分分由由电电流流源源单单独独作作用用(单单口口内内全全部部独独立立电电源源置置零零)产产生生的的电电压压u=Roi 图图(b)，另另一一部部分分是是外外加加电电流流源源置置零零(i=0)，即即单单口口网网络络开开路路时时，由由单单口口网网络络内内部部全全部部独独立立电电源源共共同同作作用用产产生生的的电电压压u”=uoc 图图(c)。由此得到由此得到 此式与式此式与式(44)完全相同，这就证明了完全相同，这就证明了含源线性电阻含源线性电阻单口网络，在端口外加电流源存在惟一解的条件下，可以单口网络，在端口外加电流源存在惟一解的条件下，可以等效为一个电压源等效为一个电压源uoc和电阻和电阻Ro串联的单口网络串联的单口网络。 只要分别计算出单口网络只要分别计算出单口网络N的开路电压的开路电压uoc和单口网络和单口网络内全部独立电源置零内全部独立电源置零(独立电压源用短路代替及独立电流源独立电压源用短路代替及独立电流源用开路代替用开路代替)时单口网络时单口网络No的等效电阻的等效电阻Ro，就可得到单口网就可得到单口网络的戴维宁等效电路。络的戴维宁等效电路。 下面举例说明。下面举例说明。 例例45 求图求图4-8(a)所示单口网络的戴维宁等效电路。所示单口网络的戴维宁等效电路。 解：在单口网络的端口上标明开路电压解：在单口网络的端口上标明开路电压uoc的参考方向，的参考方向， 注意到注意到i=0，可求得可求得 图图48 将单口网络内将单口网络内1V电压源用短路代替，电压源用短路代替，2A电流源用开路电流源用开路代替，得到图代替，得到图(b)电路，由此求得电路，由此求得 根据根据uoc的参考方向，即可画出戴维宁等效电路，如图的参考方向，即可画出戴维宁等效电路，如图(c)所示。所示。 图图48例例46 求图求图4-9(a)所示单口网络的戴维宁等效电路。所示单口网络的戴维宁等效电路。 解；标出单口网络开路电压解；标出单口网络开路电压uoc的参考方向，用叠加定理求的参考方向，用叠加定理求 得得uoc为为 图图49 将单口网络内的将单口网络内的2A电流源和电流源和 电流源分别用开路电流源分别用开路代替，代替，10V电压源用短路代替，得到图电压源用短路代替，得到图(b)电路，由此求得电路，由此求得戴维宁等效电阻为戴维宁等效电阻为 根据所设根据所设uoc的参考方向，得到图的参考方向，得到图(c)所示戴维宁等效所示戴维宁等效电路。其电路。其uoc和和Ro值如上两式所示。值如上两式所示。 图图49例例47 求图求图4-10(a)单口网络的戴维宁等效电路。单口网络的戴维宁等效电路。 图图410 解：解：uoc的参考方向如图的参考方向如图(b)所示。由于所示。由于i=0，使得受控电流使得受控电流 源的电流源的电流3i=0，相当于开路，用分压公式可求得相当于开路，用分压公式可求得uoc为为 为求为求Ro，将，将18V独立电压源用短路代替，保留受控源，独立电压源用短路代替，保留受控源，在在 a、b端口外加电流源端口外加电流源i，得到图得到图(c)电路。通过计算端口电路。通过计算端口电压电压u的表达式可求得电阻的表达式可求得电阻Ro 图图410例例48 已知已知r =2 ，试求该单口的戴维宁等效电路。试求该单口的戴维宁等效电路。 解：在图上标出解：在图上标出uoc的参考方向。先求受控源控制变量的参考方向。先求受控源控制变量i1 求得开路电压求得开路电压 图图411 将将10V电电压压源源用用短短路路代代替替，保保留留受受控控源源，得得到到图图(b)电电路路。由由于于5 电电阻阻被被短短路路，其其电电流流i1=0，致致使使端端口口电电压压u=(2 )i1=0，与，与i为何值无关。由此求得为何值无关。由此求得 这表明该单口等效为一个这表明该单口等效为一个4V电压源，如图电压源，如图(c)所示。所示。 图图411 戴维宁定理在电路分析中得到广泛应用。当只对电路戴维宁定理在电路分析中得到广泛应用。当只对电路中某一条支路或几条支路中某一条支路或几条支路(记为记为NL)的电压电流感兴趣时，的电压电流感兴趣时，可以将电路分解为两个单口网络可以将电路分解为两个单口网络NL与与N1的连接，如图的连接，如图(a)所示。用戴维宁等效电路代替更复杂的含源单口所示。用戴维宁等效电路代替更复杂的含源单口N1，不会不会影响单口影响单口NL(不必是线性的或电阻性的不必是线性的或电阻性的)中的电压和电流。中的电压和电流。代替后的电路代替后的电路图图(b)规模减小，使电路的分析和计算变得规模减小，使电路的分析和计算变得更加简单。更加简单。 注：网络内含有受控源等双口耦合元件时，应将两条支路注：网络内含有受控源等双口耦合元件时，应将两条支路 放在同一单口网络内。放在同一单口网络内。例例49 求图求图4-13(a)所示电桥电路中电阻所示电桥电路中电阻RL的电流的电流i 。 解：断开负载电阻解：断开负载电阻RL，得到图得到图(b)电路，用分压公式求得电路，用分压公式求得 图图413 将独立电压源用短路代替，得到图将独立电压源用短路代替，得到图(c)电路，由此求得电路，由此求得 用戴维宁等效电路代替单口网络，得到图用戴维宁等效电路代替单口网络，得到图(d)电路，由电路，由此求得此求得 图图413 从从用用戴戴维维宁宁定定理理方方法法求求解解得得到到的的图图(d)电电路路和和式式(47)中中，还还可可以以得得出出一一些些用用其其它它网网络络分分析析方方法法难难以以得得出出的的有有用用结结论论。例例如如要要分分析析电电桥桥电电路路的的几几个个电电阻阻参参数数在在满满足足什什么么条条件件下下，可可使使电电阻阻RL中中电电流流i为为零零的的问问题题，只只需需令令式式(47)分分子为零，即子为零，即 由此求得由此求得 这就是常用的电桥平衡这就是常用的电桥平衡(i=0)的公式。根据此式可从已的公式。根据此式可从已知三个电阻值的条件下求得第四个未知电阻之值。知三个电阻值的条件下求得第四个未知电阻之值。例例410 图图4-14(a)是是MF30型万用电表测量电阻的电原型万用电表测量电阻的电原 理图。试用戴维宁定理求电表测量电阻时的电流理图。试用戴维宁定理求电表测量电阻时的电流I。 图图414解：万用电表可用来测量二端器件的直流电阻值。将被测解：万用电表可用来测量二端器件的直流电阻值。将被测 电阻接于电表两端，其电阻值可根据电表指针偏转的电阻接于电表两端，其电阻值可根据电表指针偏转的 角度，从电表的电阻刻度上直接读出。为了便于测量角度，从电表的电阻刻度上直接读出。为了便于测量 不同的电阻，其量程常分为不同的电阻，其量程常分为R 1, R 10, R 100, R 1k等等 档，用开关进行转换。档，用开关进行转换。 图图(a)是一个含源线性电阻单口网络，可用戴维宁定理是一个含源线性电阻单口网络，可用戴维宁定理来简化电路分析。来简化电路分析。 式中式中Imax=US/Ro是电表短路是电表短路(Rx=0)时指针满偏转的电流。时指针满偏转的电流。 先将图中虚线部分用一个先将图中虚线部分用一个2k 电阻来模拟电阻来模拟(当当2.8k 电电位器的滑动端位于最上端时，它是位器的滑动端位于最上端时，它是10k 和和2.5k 电阻的并电阻的并联联)。图。图(b)是该电表的电路模型，可进一步简化为图是该电表的电路模型，可进一步简化为图(c)所所示的电路。由此求得电表外接电阻示的电路。由此求得电表外接电阻 Rx时的电流：时的电流： 上式表明，当被测电阻上式表明，当被测电阻Rx 由由 变化到变化到0时，相应的电流时，相应的电流I则从则从0变化到变化到Imax；当被测电阻与电表内阻相等当被测电阻与电表内阻相等(Rx=Ro)时，时，I=0.5Imax，即指针偏转一半，停留在电表刻度的中间位置，即指针偏转一半，停留在电表刻度的中间位置，当开关处于当开关处于R 1，R 10，R 100，R 1k的不同位置时，的不同位置时，可以求得电阻可以求得电阻Ro分别为分别为25 ，250 ，2500 ，25k 左右，左右，相应的满偏转电流相应的满偏转电流Imax分别为分别为50mA，5mA，0.5mA和和50 A(设设US=1.25V)。若电池的实际电压若电池的实际电压US大于大于1.25V，则则可调整可调整2.8k 电位器的滑动端来改变电位器的滑动端来改变Imax，使指针停留在使指针停留在0 处处(称为电阻调零称为电阻调零)。 例例411 求图求图4-15(a)电路中电流电路中电流I1和和I2。 图图415解解：图图(a)是是一一个个非非线线性性电电阻阻电电路路，但但去去掉掉两两个个理理想想二二极极管管 支支路路后后的的图图(b)电电路路是是一一个个含含源源线线性性电电阻阻单单口口网网络络，可可 用戴维宁等效电路代替。由图用戴维宁等效电路代替。由图(b)求得开路电压求得开路电压 由图由图(c)求得等效电阻求得等效电阻 用用3V电压源与电压源与8 电阻的串联代替图电阻的串联代替图(b)所示单口网络，所示单口网络，得到图得到图(d)所示等效电路。由于理想二极管所示等效电路。由于理想二极管D2是反向偏置，是反向偏置，相当于开路，即相当于开路，即I2=0，理想二极管理想二极管D1是正向偏置，相当于是正向偏置，相当于短路，得到图短路，得到图(e)所示等效电路。由图所示等效电路。由图(e)求得求得 例例412 电路如图电路如图4-16(a)所示，其中所示，其中g=3S。试求试求Rx为何值为何值 时电流时电流I=2A，此时电压此时电压U为何值为何值? 图图416解解：为为分分析析方方便便，可可将将虚虚线线所所示示的的两两个个单单口口网网络络 N1和和 N2 分分别别用用戴戴维维宁宁等等效效电电路路代代替替，到到图图(b)电电路路。单单口口N1 的开路电压的开路电压Uoc1可从图可从图(c)电路中求得，列出电路中求得，列出KVL方程方程 解得解得 为为求求 Ro1，将将20V电电压压源源用用短短路路代代替替，得得到到图图(d)电电路路，再用外加电流源再用外加电流源I计算电压计算电压U的方法求得的方法求得Ro1。列出列出KVL方程方程 解得解得 再再由由图图(e)电电路路求求出出单单口口 N2的的开开路路电电压压Uoc2和和输输出出电电阻阻Ro2 最后从图最后从图(b)电路求得电流电路求得电流I 的表达式为的表达式为 令令 I=2A，求得求得Rx=3 。此时电压此时电压U 为为 或或