高一数学备课组高一数学备课组zzp2. 标准差2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征用样本的数字特征估计总体的数字特征 如何通过频率分布直方图估计数字特征如何通过频率分布直方图估计数字特征（中位数、众数、平均数）？（中位数、众数、平均数）？快乐回忆估计众数估计众数：频率分布直方图面积最大的方条频率分布直方图面积最大的方条的横轴中点数字的横轴中点数字. .（最高矩形的中点（最高矩形的中点）估计中位数：估计中位数：中位数把频率分布直方图分成中位数把频率分布直方图分成左右两边面积相等左右两边面积相等. .估计平均数：估计平均数：频率分布直方图中每个小矩形频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和. .平均数向我们提供了样本数据的重要信息平均数向我们提供了样本数据的重要信息,但是平均数有时也会使我们作出对总体的片但是平均数有时也会使我们作出对总体的片面判断因为这个平均数掩盖了一些极端的面判断因为这个平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极端情况显然是不能忽的因情况，而这些极端情况显然是不能忽的因此，只有平均数还难以概括样本数据的实际此，只有平均数还难以概括样本数据的实际状态状态2.2.2 2.2.2 用样本的数字特征估计用样本的数字特征估计总体的数字特征总体的数字特征思考：思考：日常生活中比较两组数据的水日常生活中比较两组数据的水平，我们通常计算平均数。比如：比平，我们通常计算平均数。比如：比较两个班级的数学成绩；两个地区的较两个班级的数学成绩；两个地区的收入水平等收入水平等但是，平均数所反映但是，平均数所反映的信息有其不足之处吗？的信息有其不足之处吗？第一次第一次 第二次第二次 第三次第三次 第四次第四次 第五次第五次甲命中环数甲命中环数78889乙命中环数乙命中环数1061068甲，乙两名射击手的测试成绩统计如下：甲，乙两名射击手的测试成绩统计如下： 请分别计算两名射手的平均成绩；请分别计算两名射手的平均成绩；教练的烦恼教练的烦恼甲甲乙乙 现要挑选一名射击手参加比现要挑选一名射击手参加比 赛，若你是教练，你认为挑赛，若你是教练，你认为挑 选哪一位比较适宜？为什么？选哪一位比较适宜？为什么？成绩（环）成绩（环）射射击击次次序序012234546810 请根据这两名射击手的成绩在请根据这两名射击手的成绩在 下图中画出折线统计图；下图中画出折线统计图；甲的环数极差甲的环数极差=9-7=2乙的环数极差乙的环数极差=10-6=4.1、一定程度上表明了样本数、一定程度上表明了样本数据的分散程度据的分散程度2、极差对极端值非常敏感、极差对极端值非常敏感反映数据离散程度的参考量之一反映数据离散程度的参考量之一:极差极差根据计算我们可以知道甲根据计算我们可以知道甲、乙两名射击手的平均成绩都是乙两名射击手的平均成绩都是8环，但是相比之下环，但是相比之下,甲射击手的成绩大部分都集中在甲射击手的成绩大部分都集中在8环环附近，而乙射击手的成绩与其平均值的离散程度较大附近，而乙射击手的成绩与其平均值的离散程度较大.通通常常,如果一组数据与其平均值的离散程度较小如果一组数据与其平均值的离散程度较小,我们就说它我们就说它比较稳定比较稳定.请同学们进一步思考，什么样的数据能反映一组数据与其平请同学们进一步思考，什么样的数据能反映一组数据与其平均值的离散程度？均值的离散程度？哦！与平均哦！与平均值的值的“偏差偏差”之和之和(此处可介绍绝对此处可介绍绝对值之和的计算方法并说明为什么不是用值之和的计算方法并说明为什么不是用)甲甲乙乙成绩（环）成绩（环）射射击击次次序序012234546810两两名射击手的成名射击手的成绩折绩折线统计图；线统计图；第一次第二次第三次第四次 第五次“成绩之差”的和甲射击成绩78889每次成绩与平均成绩之差乙射击成绩1061068每次成绩与平均成绩之差-1000102-22-200小明小明是全是全班最聪明的班最聪明的同学，小明同学，小明想到了这样想到了这样的方法的方法你的看法是什么？能用上面的方法比较你的看法是什么？能用上面的方法比较两组数据的波动情况吗？两组数据的波动情况吗？不能，正数、负数同样反映与平均数的偏差量，这样加的话正负抵消了，这样反映不了总体的偏差情况！如果将每次的差都平方再求和，能解决上面的问题如果将每次的差都平方再求和，能解决上面的问题吗？试一下吗？试一下此时甲求和后为2，乙求和后为16，可以解决上面的问题。那么这种方法适用于所有的情况吗？看一下下面的那么这种方法适用于所有的情况吗？看一下下面的问题，想一想，算一算，再来给出你的结论吧！问题，想一想，算一算，再来给出你的结论吧！如果一共进行了七次射击测试，如果一共进行了七次射击测试，而甲因故缺席了两次，怎样比而甲因故缺席了两次，怎样比较谁的成绩更稳定呢？用上面较谁的成绩更稳定呢？用上面的方法计算一下填入下面的表的方法计算一下填入下面的表格中，然后想一下这种方法适格中，然后想一下这种方法适用吗？如果不适用，应该如何用吗？如果不适用，应该如何改进呢？改进呢？1234567求和求和甲 成绩5857缺席10缺席差的平方乙 成绩10610 6879差的平方4140918444401118对，有的同学已经发现了对，有的同学已经发现了这种方法在这里看似是适这种方法在这里看似是适用的，但仔细想来两组数用的，但仔细想来两组数据并不一样多，这样对数据并不一样多，这样对数据多的一组来说不公平！据多的一组来说不公平！那么应该怎样解决呢？那么应该怎样解决呢？对，咱们的同学真聪明！对，咱们的同学真聪明！求平均数就可以解决了！求平均数就可以解决了！标准差：标准差：s=通常改用如下公式来计算标准差通常改用如下公式来计算标准差:标准差的意义：标准差的意义： 标准差越大标准差越大, 数据的离散程度越大，数据在平数据的离散程度越大，数据在平均值附近越分散均值附近越分散; 标准差越小标准差越小,数据的离散程度越小数据的离散程度越小,数据在平数据在平均值附近越集中均值附近越集中.思考：标准差的取值范围是什么？思考：标准差的取值范围是什么？标准差为标准差为0的样本数据有什么特点的样本数据有什么特点那言下之意，标那言下之意，标准差反映的是数准差反映的是数据的什么？据的什么？ 标准差是标准差是样本数据到平均数的一种平均距离样本数据到平均数的一种平均距离。它用来描述样本数据的它用来描述样本数据的离散程度离散程度。在实际应用中，。在实际应用中，标准差常被理解为稳定性。标准差常被理解为稳定性。例例1：有两位射击运动员在一次射击测试：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶中各射靶10次，每次命中的环数如下：次，每次命中的环数如下：甲：甲：乙：乙：如果你是教练如果你是教练,你应当如何对这次射击作出评价你应当如何对这次射击作出评价?(1)、两人本次射击的平均成绩、两人本次射击的平均成绩(2)、计算标准差、计算标准差例例1中数据的离散程度与中数据的离散程度与标准差之关系如下图：标准差之关系如下图：乙的成绩乙的成绩更集中在更集中在平均数平均数7附附近近这叫做这叫做“数形结合数形结合”环数频率456789100.10.20.3(甲)频率456789 100.10.20.30.4环数(乙)也可通过也可通过频率分布条形图频率分布条形图反映出来反映出来例题例题2:画出下列四组样本数据的频率分布条形图画出下列四组样本数据的频率分布条形图,说明它们的异同点说明它们的异同点.(1) 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5;(2) 4, 4, 4, 5 , 5, 5, 6, 6, 6;(3) 3 , 3 , 4 , 4 , 5, 6 , 6, 7 , 7;(4) 2 , 2 , 2 , 2, 5 , 8 , 8 , 8 , 8 ;解解:四组样本数据的四组样本数据的条形图是条形图是:频率频率o123456780.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0S=0.00(1)S=0.820.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0(2)频率频率o1234 56781234 5678频率频率o0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0S=1.49(3)频率频率o123456780.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0S=2.83(4)方差方差：从数学的角度考虑，人们有从数学的角度考虑，人们有时用标准差的平方时用标准差的平方s2方差来代方差来代替标准差，作为测量样本数据分散替标准差，作为测量样本数据分散程度的工具：程度的工具：计算公式：计算公式：一般步骤一般步骤：求平均求平均再求差再求差然后平方然后平方最后再平均最后再平均练习练习 为了考察甲、乙两种小麦的长势为了考察甲、乙两种小麦的长势,分别分别从中抽出从中抽出10株苗，测得苗高如下株苗，测得苗高如下(单位单位:cm):甲甲: 12 13 14 15 10 16 13 11 15 11乙乙: 11 16 17 14 13 19 6 8 10 16问哪种小麦长得比较整齐问哪种小麦长得比较整齐?方差方差越小越小, 波波动越小，越稳动越小，越稳定。定。比比谁最快比比谁最快（1）在一次歌手大奖赛上）在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分数如下：七位评委为歌手打出的分数如下：9.4, 8.4 , 9.4, 9.9, 9.6, 9.4, 9.7,去掉一个最高分和一个最低分后去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为所剩数据的平均值和方差分别为_.（2）若给定一组数据）若给定一组数据x1,x2,xn,平均数为平均数为 ，方差为，方差为s2, 则则ax1,ax2,axn的平均数是的平均数是 ，方差是，方差是_. ( 3 )、在相同条件下对自行车运动员甲、乙两人进行了、在相同条件下对自行车运动员甲、乙两人进行了6次次测试测试,测得他们的最大速度测得他们的最大速度(单位：单位：m/s)的数据如下：的数据如下：甲273830373531乙332938342836 试判断判断选谁参加某参加某项重大比重大比赛更合适？更合适？（1）9.5, 0.016 （2）(3) 33， 33,乙的成绩比甲稳定乙的成绩比甲稳定,应选乙参加比赛更合适应选乙参加比赛更合适. 显然，在刻画样本数据的显然，在刻画样本数据的离散程度上，方差与标准离散程度上，方差与标准差是一样的差是一样的.但在解决实际但在解决实际问题时，一般多采用标准问题时，一般多采用标准差差.课堂小结课堂小结二、用样本估计总体的两个手段二、用样本估计总体的两个手段: 1、用样本的、用样本的频率分布频率分布估计总体的分布；估计总体的分布； 2、用样本的、用样本的数字特征数字特征估计总体的数字特征估计总体的数字特征 前提：前提：需要从总体中抽取一个需要从总体中抽取一个质量较高的样本质量较高的样本,才不会产生较大的估计偏差才不会产生较大的估计偏差,且样本容量越大且样本容量越大,估计的估计的结果也就越精确结果也就越精确.一、用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：一、用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类： 1、 平均数平均数-平均数对数据有平均数对数据有“取齐取齐”的作用的作用,代表代表一组数据的平均水平一组数据的平均水平. 2、标准差、标准差-样本容量越大样本容量越大,估计就越精确估计就越精确,标准差描标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小述一组数据围绕平均数波动的大小,反映了一组数据变化反映了一组数据变化的幅度的幅度.