1信号与系统(Signal & system)教师：徐昌彪2004-12-26电路基础教学部125.9 离散时间系统的Z变换分析法5.9.1 零输入响应5.9.2 零状态响应5.9.3 全响应电路基础教学部2004年12月26日7时51分2zi35.9.1 零输入响应(1)n阶系统n ai yi = 0(k + i ) = 0对上式作Z变换，整理后得Yzi ( z ) =ni = 0i 1ai yzi (k )z i kk = 0n ai z ii = 0对Yzi(z)作Z反变换，可得yzi(k)电路基础教学部2004年12月26日7时51分32z 2 7 z 3z zYzi ( z ) = 2 = y45.9.1 零输入响应(2)例：求离散时间系统的零输入响应 yzi (k )y(k + 2) 5 y(k + 1) + 6 y(k ) = 0已知yzi (0) = 2， zi (1) = 3解：作Z变换z 2 Yzi ( z ) yzi (0) yzi (1)z 1 5zYzi ( z ) yzi (0) + 6Yzi ( z ) = 0代入已知条件，有z 5z + 6 z 2 z 3因此yzi (k ) = 3 2k 3kk 0电路基础教学部2004年12月26日7时51分455.9.2 零状态响应(1)yzs (k ) = x(k ) * h(k )Yzs ( z ) = X ( z ) H ( z )n阶系统n m ai y(k + i ) = b j x(k + j )i =0 j =0H ( z ) =mj = 0ni = 0b j z jai z iYzs ( z ) =mj =0ni = 0b j z jai z iX ( z ) = H ( z ) X ( z )电路基础教学部2004年12月26日7时51分521 k +1k65.9.2 零状态响应(2)例：求离散时间系统的单位函数响应 h(k ) 和零状态响应 yzs (k )y(k + 2) 5 y(k + 1) + 6 y(k ) = x(k + 2) 3 x(k )已知 x(k ) = U (k )解：H ( z ) =z 2 3z 2 5z + 6Yzs ( z ) = X ( z ) H ( z ) =z z 2 3z 1 z 5z + 6作Z反变换得h(k ) = (k ) + (2 3k 2k 1 )U (k 1)yzs (k ) = (1 2 +3 )U (k )2电路基础教学部2004年12月26日7时51分6i75.9.3 全响应(1)n阶系统n m ai y(k + i ) = b j x(k + j ) ，作Z变换i = 0 j = 0Y ( z ) =m b j z jj = 0n ai zi = 0X ( z ) +ni = 0i 1 m j 1ai y(k )z i k b j x(k )z j kk = 0 j = 0 k = 0n ai z ii = 0Y ( z ) = Yzs ( z ) + Yzi ( z )y(k ) = yzs (k ) + yzi (k )电路基础教学部2004年12月26日7时51分7=85.9.3 全响应(2)系统函数H ( z ) =bm z m + bm 1 z m 1 + L + b1 z + b0an z n + an 1 z n 1 + L + a1 z + a0零状态响应零输入响应Yzs = X ( z ) H ( z )Yzi ( z ) =ni = 0i 1ai yzi (k )z i kk = 0n ai z ii = 0ni = 0i 1 m j 1ai y(k )z i k b j x(k )z j kk = 0 j = 0 k = 0n ai z ii = 0电路基础教学部2004年12月26日7时51分8y y（95.9.3 全响应(3)例: 对如下离散时间系统y(k + 2) 0.7 y(k + 1) + 0.1 y(k ) = 7 x(k + 2) 2 x(k + 1)已知 x(k ) = U (k ) ， (0) = 9 ， (1) = 13.9 。（1）求全响应（2）求零输入响应，零状态响应，并由此求全响应解： 1）求全响应将差分方程两端作ZTz 2 Y ( z ) y(0) y(1)z 1 0.7 zY ( z ) y(0) + 0.1Y ( z )= 7 z 2 X ( z ) x(0) x(1)z 1 2z X ( z ) x(0)代入已知，整理后得电路基础教学部2004年12月26日7时51分9Y ( z ) = 2105.9.3 全响应(4)9z 3 + 4.27 z 2 8.27 z( z 0.7 z + 0.1)( z 1)作Z反变换得y(k ) = 12.5 + 7 0.5k 10.5 0.2kk 0（2）求零输入响应响应，零状态响应，全响应将差分方程两端作ZTz 2 Y ( z ) y(0) y(1)z 1 0.7 zY ( z ) y(0) + 0.1Y ( z )= 7 z 2 X ( z ) x(0) x(1)z 1 2z X ( z ) x(0)代入已知，整理后得电路基础教学部2004年12月26日7时51分10Yzi ( z ) = 27 z 2 2z zYzs ( z ) = 2 115.9.3 全响应(5)2z 2 + 8.27 zz 0.7 z + 0.1z 0.7 z + 0.1 z 1作Z反变换得yzi (k ) = 12 0.5k 10 0.2kyzs (k ) = (12.5 5 0.5k 0.5 0.2k )U (k )y(k ) = yzi (k ) + yzs (k )= 12.5 + 7 0.5k 10.5 0.2k电路基础教学部k 0k 02004年12月26日7时51分11125.10 离散系统函数，系统稳定性判别5.10.1 离散系统函数5.10.2 系统稳定性判别电路基础教学部2004年12月26日7时51分12k2z ( z + 3)k 3135.10.1 离散系统函数(1)系统函数与单位函数响应是Z变换对h(k ) H ( z )x(k ) = (k ) yzs (k ) = h(k )X ( z ) = 1 Yzs ( z ) = X ( z ) H ( z ) = H ( z )h(k ) H ( z )例： h(k ) = 2 U (k ) H ( z ) = ?zz 2H ( z ) = 2h(k ) = ? 2 (3) U (k 3)电路基础教学部2004年12月26日7时51分13=145.10.1 离散系统函数(2)系统函数与差分方程an y(k + n) + an 1 y(k + n 1) + L + a1 y(k + 1) + a0 y(k )= bm x(k + m ) + bm 1 x(k + m 1) + L + b1 x(k + 1) + b0 x(k )在零状态下对上式两边作Z变换后，得H ( z ) =Yzs ( z ) bm z m + bm 1 z m 1 + L + b1 z + b0X ( z ) an z n + an 1 z n 1 + L + a1 z + a0电路基础教学部2004年12月26日7时51分142z + 1 2z + 1解： H ( z ) = 2 =+155.10.1 离散系统函数(3)例：求系统 y(k + 2) + 3 y(k + 1) + 2 y(k ) = 2 x(k + 1) + x(k ) 的单位冲激响应h(k ) 。z + 3z + 2 ( z + 1)( z + 2)= 1 3z + 1 z + 2得 h(k ) = (1)k 1 + 3 (2)k 1 U (k 1)电路基础教学部2004年12月26日7时51分153 2= 2165.10.1 离散系统函数(4)例: 试列写出描述离散时间系统的差分方程已知 h(k ) = 2 (k ) + (3k 2k )U (k 1)解：H ( z ) = 2 +z 3 z 22z 2 9z + 12z 5z + 6因此y(k + 2) 5 y(k + 1) + 6 y(k ) = 2 x(k + 2) 9 x(k + 1) + 12 x(k )电路基础教学部2004年12月26日7时51分160tt0t175.10.1 离散系统函数(5)H(z)的极点分布与h(k)的响应模式j系统不稳定0系统临界稳定不稳定(单极点重极点)系统不稳定0t 00tt系统稳定00t00tt系统不稳定系统不稳定零点对响应模式无影响，只影响响应的幅度与相位电路基础教学部2004年12月26日7时51分17185.10.2 系统稳定性判别(1)稳定系统的含义对于有界的激励产生有界的响应的系统称为稳定系统。系统稳定性稳定系统：H(z)的极点全部位于z平面单位圆内。不稳定系统：H(z)的极点至少有一个位于z平面单位圆外，或在单位圆上有重极点。临界稳定系统：H(z) 的极点位单位圆上，且为单极点。系统稳定的充要条件H(z)的极点全部位于z平面单位圆内电路基础教学部2004年12月26日7时51分18D195.10.2 系统稳定性判别(2)稳定系统性判别 H ( z ) =裘利判别法N ( z )D( z )若系统的特征方程为： ( z ) = an z n + an 1 z n 1 + L + a1 z + a0 = 0则特征方程的根全部位于z平面单位圆内的充要条件是D(1)0(-1)nD(-1)0裘利表（裘利阵列）中奇数行的第一个元素大于最后一个元素的绝对值。对于二阶系统，系统稳定的充要条件：a2|a0|、D(1)0、D(-1)0电路基础教学部2004年12月26日7时51分19205.10.2 系统稳定性判别(3)裘利表（裘利阵列） D( z ) = an z n + an 1 z n 1 + L + a1 z + a0 = 0第1行 an第2行 a0第3行 bn 1第4行 b0第5行 cn 2第6行 c0M直到2n-3行an 1 L a2a1 L an 2bn 2 L b1b1 L bn 2cn 3 L c0c1 L cn 2M Ma1an 1b0bn 1a0anbn1 =bn 2 =Mcn 2 =cn 3 =ana0ana0bn1b0bn1b0a0ana1an1b0bn1b1bn 2M电路基础教学部2004年12月26日7时51分20s + 1| z | 1z =s 1s =z 1215.10.2 系统稳定性判别(4)双线性变换判别法D( z ) = an z n + an 1 z n 1 + L + a1 z + a0 = 0令 z = ，则 | z | 1 Re( s) 0s 1D( z ) = 0从而 反之亦然，即D( z ) | s +1 = 0Re( s) 0D( s) = 0Re( s) 0D( s) | z +1 = 0| z | a0 |= 2D(1) = 6 0D(1) = 10 0系统稳定(3) D( z ) = 2z 2 + 2z 1 = 0D(1) = 1 0(1)n D(1) = (1)n (2 + 2 3 + 4 4 + 1) 0系统不稳定第1行第2行第3行第4行21362405342243504 12 263第5行 27 30 615第6行15 6 30 27M电路基础教学部MM2004年12月26日7时51分23245.10.2 系统稳定性判别(7)例：离散系统的特征方程如下D( z ) = z 2 + z + (2 K 1) = 0试确定为使系统稳定的常数K的取值范围。解：为使系统稳定，必须a2 = 1 | a0 |=| 2 K 1 |D(1) = 1 + 1 + 2 K 1 0D(1) = 1 1 + 2 K 1 0即 0 K 0.5K 0.5因此 0.5 K 04 4 K 02 K 1 0因此 0.5 K 1电路基础教学部2004年12月26日7时51分25jkTjkT265.11 离散系统的频率响应特性(1)定义H ( z ) z = e jT = H (e jT ) =| H (e jT ) | e j ( )为离散系统的频率特性| H (e jT ) | 为幅频特性 ( ) 为相频特性(z)x(k ) = eyzs (k ) = x(k ) * h(k ) = n= H(z)在单位圆上收敛yzs (k ) = e jkT H (e jT )=| H (e jT ) | e jkT + ( )x(n)h(k n) =| H (e jT ) | e jkT + ( )由此表明：当一个无时限复指数信号 e作用于线性系统时，其零状态响应仍为同频率的指数信号，其幅度扩大为原来的| H (e jT ) | 倍，相位增加了 ( ) 。电路基础教学部2004年12月26日7时51分26k275.11 离散系统的频率响应特性(2)H (e jT ) =| H (e jT ) | e j ( )x(k ) = ejkT(z)yzs (k ) = e jkT H (e jT )=| H (e jT ) | e j kT + ( )x(k ) = Ayzs (k ) = AH (1)x(k ) = A cos( 0 kT + )yzs (k ) = A | H (e jT ) | cos0 kT + + ( )x(k ) = A sin( 0 kT + )yzs (k ) = A | H (e j0T ) | sin0 kT + + (0 )条件1：H(z)在单位圆上收敛x(k ) = ayzs (k ) = H (a )a k条件2：a在H(z)的收敛域内电路基础教学部2004年12月26日7时51分27e jT 1解：H (e jT ) = jT =285.11 离散系统的频率响应特性(3)H (e jT ) 基本特性因 e jT 是 的周期函数，故 H (e jT ) 也是 的周期函数| H (e jT ) | ( )为 的周期函数，且为偶函数为 的周期函数，且为奇函数例：一阶系统 H ( z ) =zz a10 a1 1e a1 (1 a1 cos T ) + ja1 sin T=| H (e jT ) | e j ( )电路基础教学部2004年12月26日7时51分2822a1 sin TveNe a1 MjT Nv v22295.11 离散系统的频率响应特性(4)| H (ejT) |=1(1 a1 cosT ) + (a1 sinT )11 a1| H (e jT ) | ( ) = arctg1 a1 cos T另外，频率特性可用几何作图法得到11 + a102T对上例jTH (e jT ) = jT = v| H (e ) |=M ( ) = 单位圆Im(z )N M 0 a1Re(z )arctg arctga11 a1a1 01 a1 ( )2T电路基础教学部2004年12月26日7时51分29305.11 离散系统的频率响应特性(5)小结(1) 位于z=0处的零点或极点不会影响幅频特性，只会影响相频特性；(2) 若有极点靠近单位圆，则当变化经过此极点附近时，幅频特性出现峰值；若有零点靠近单位圆，则当变化经过此零点时附近时，幅频特性出现谷值。电路基础教学部2004年12月26日7时51分30