实变函数实变函数主讲教师主讲教师 ：吴行平：吴行平辅导课程一辅导课程一第一章第一章 集集 合合 本本章章主主要要介介绍绍集集合合的的基基本本概概念念，运运算算及及其其运运算算性性质质。通通过过本本章章的的学学习习，要要掌掌握握集集合合的的基基本本概概念念及及运运算算规规律律，掌掌握握可可数数集集的的基基本本概概念念及及其其性性质质，理理解解集集合合对对等等的的概概念念，了了解解基基数数的的概概念念，同同时时我我们们要要知知道道一一些常用的可数集与不可数集。些常用的可数集与不可数集。第一节第一节 集集 合合一、概念二、表示法三、简单术语一、概一、概 念念集合：在一定范围内的个体事物的全体，集合：在一定范围内的个体事物的全体， 当把它们看作一个整体时，我们把这个整体称当把它们看作一个整体时，我们把这个整体称为一个集合，其中的每个事物叫做该集合元素。为一个集合，其中的每个事物叫做该集合元素。注意：注意：1 集合的对象是确定的。集合的对象是确定的。 2 集合的元素是互异的集合的元素是互异的. 3 任一对象或事物任一对象或事物x被当作某一给定集合被当作某一给定集合A的元素时的元素时,x或者是或者是A的元的元,或者不是或者不是A的元的元,二二者必居其一者必居其一,而且只居其一而且只居其一.例例1：1，2，3，5，8五个自然数构成一五个自然数构成一 个集合。个集合。 例例2：全体自然数构成一个集合。：全体自然数构成一个集合。 例例3：全体大个子不构成一个集合。：全体大个子不构成一个集合。二、表示法二、表示法1、列举法、列举法：2、描述法、描述法：三、一些简单术语三、一些简单术语如果如果A的元均为的元均为B的元的元如果如果A与与B有完全相同的元有完全相同的元结论结论:对任何集合对任何集合 有有(1)(2)则则(3)注意注意 定理中的结论（定理中的结论（2）是证明两个集合）是证明两个集合 相等的重要方法，以后我们经常用到。相等的重要方法，以后我们经常用到。则则第二节第二节 集合的运算集合的运算一、概念一、概念 1 并集并集 2 交集交集 3 差集差集 4 上限集与下限集上限集与下限集 二、运算规律二、运算规律1 并集并集（1）设设A,BA,B是两个集。由是两个集。由A A中的元以及中的元以及B B中中的元的全体所成的集称为的元的全体所成的集称为 A,BA,B两者的并，两者的并，记成记成 例例1 1（2）设）设=例例2 设设是一组集，这里是一组集，这里I是指标集，在是指标集，在I中中取值，那么它们的并定义为取值，那么它们的并定义为 2 交交 集集例例1 1 A A（1 1） 设设A,BA,B是两个集，由同时属于是两个集，由同时属于A A与与B B两者两者的那些元所成的集称为的那些元所成的集称为A A与与B B的交，记成的交，记成 （2）设）设 ，例例2 2在在I I中取值，那么它们的交定义为中取值，那么它们的交定义为是一组集，这里是一组集，这里I I是指标集是指标集3 差集差集 设设A,B是两个集，由是两个集，由属于属于A而不属于而不属于B的那些元的那些元所成的集称为所成的集称为A与与B的差，记成的差，记成A-B.当当B例例1 1 A AA时，差集时，差集A-B又称为又称为B关于关于A 的补集，的补集，记成记成4 上限集与下限集（1 1）上限集）上限集设设 =易知：易知：，可它表示为，可它表示为是任意一列集是任意一列集.由属于上述集列中由属于上述集列中无限多个集的那种元素的全体所组成的集称为这无限多个集的那种元素的全体所组成的集称为这一集列的上限集或上极限记为一集列的上限集或上极限记为实变函数实变函数主讲教师主讲教师 ：吴行平：吴行平辅导课程二辅导课程二4 上限集与下限集（1 1）上限集）上限集设设 是任意一列集是任意一列集. .由属于上述集列中无限由属于上述集列中无限多个集的那种元素的全体所组成的集称为这一集列的上多个集的那种元素的全体所组成的集称为这一集列的上限集或上极限记为限集或上极限记为 ，可它表示为，可它表示为 =易知：易知：（2 2）下限集）下限集 设设 是是任任意意一一列列集集，对对于于集集列列那那种种除除有有限限个个下下标标外外，属属于于集集列列中中每每个个集集的的元元素素全全体体所所组组成成的的集集称称为为这这一一集集列列 的的下下限限集集或或下下极极限限，记记为为 ，可它表示为可它表示为 =（）极限集（）极限集如果如果 ，则称集列收，则称集列收敛，并将这一集称为的极限，记为敛，并将这一集称为的极限，记为 易知：易知：如如果果 为为单单调调增增加加（减减少少）集集列列， 即（），则收敛，且有即（），则收敛，且有= =（= =）。）。二二 运算规律运算规律定理定理（参见书上第页定理）（参见书上第页定理）（交换律）（交换律）（结合律）（结合律）（分配律）（分配律）定理定理2 2 对于基本集对于基本集X X中的并集与交集的余集运算，有中的并集与交集的余集运算，有 （1 1） = = （2 2） = =证证 设设 ，则则不不属属于于任任何何 ，故故属属于于每每个个C C , , 因因 此此 ， 可可 见见 ， 同同 理理 可可 证证 ， 右边是左边的子集故得（右边是左边的子集故得（1 1） 由（由（1 1）取余集得）取余集得C(C()=C()=C() ) 即即= = C(C(）再将换成再将换成C C, ,即得（即得（2 2）。）。所所证证定定理理常常称称为为笛笛摩摩根根法法则则。它它提提供供一一种种对对偶偶方方法法，能能将已证明的关于集的性质转移到它们的余集上去将已证明的关于集的性质转移到它们的余集上去。定理定理 对于集对于集E E与任意一组集，恒有分配律与任意一组集，恒有分配律 E E（）（）证证 任任取取 E E（），则则且且，于于是是知知且且属属于于某某个个 ，对对于于这这个个 ，有有 ，从从而而更更有有 ，这就证明了，这就证明了E E（）（）反反之之 ，设设，则则属属于于某某个个，从从而而且且（对于这个），故更有且，这就证明了（对于这个），故更有且，这就证明了 E E（）（）由所得两步结果便证明了定理中的等式。由所得两步结果便证明了定理中的等式。第三节第三节 对等与基数对等与基数一一 对等对等 定定义义1 1 设设A,BA,B是是两两个个非非空空集集，若若依依一一定定的的法法则则f, f, 对对每每个个x x A, A, 在在B B中中有有唯唯一一确确定定的的元元y y与与之之对对应应，则则称称f f是是定定义义在在A A上上而而在在B B中中取取值值的的映映射射，记记成成 ，并并将将x x与与y y的的关关系系写写成成 。我我们们称称A A为为f f的的定定义义域域， 为为f f的值域。的值域。设设给给定定映映射射 ，而而 ，称称f f为为到到上上的的映映射射；如如果果对对每每个个 ，仅仅有有唯唯一一的的 使使 ，称称f f为为 1-11-1的的 设设给给定定两两映映射射 ， ，称称映映射射 由由关关系式系式 ( ) ( ) 定义。定义。 定义定义2 2 设设A,BA,B为两个非为两个非 空集，如有空集，如有1-11-1的，到上的，到上的的 存在，使存在，使 ，则称，则称A A与与B B对等，记成对等，记成 B B 例例1 1 自然数全体与正偶数全体对等。自然数全体与正偶数全体对等。证明证明 令令 即可即可例例2 2 全体正奇数与全体正偶数对等全体正奇数与全体正偶数对等证明证明 令令 即可即可例例3 3 （0 0，1 1）与全体实数对等）与全体实数对等证明证明 令令 即可即可注意注意 例例1 1表明一个无限集可以和它的一个表明一个无限集可以和它的一个真子集对等，这正是无限集的本质特性。真子集对等，这正是无限集的本质特性。定理定理1 1 对任何集合对任何集合A A、B B、C C，均有均有（1 1）（反射性反射性） A AA A （2 2）（对称性对称性） 若若A AB B，则则B BA A（3 3）（传递性传递性） 若若A AB,BB,BC,C,则则A AC C 由此可知，当两个有限集互相对等时，它们的元素个素必相同。因此，我们可以用对等的概念对两个无限集的元的个数进行比较 二二 基基 数数 根据定理根据定理1 1，我们可把彼此对等的集，我们可把彼此对等的集合归做一类。这样任何集合属于一类。合归做一类。这样任何集合属于一类。我们把两个彼此对等的集合称为具有相我们把两个彼此对等的集合称为具有相同的基数（亦称势、浓度），用同的基数（亦称势、浓度），用 表示表示集合集合A A的基数的基数 定定义义3 3 设设 A A 、B B是是两两个个集集合合，如如果果A A不不和和B B 对对等等，但但存存在在B B的的真真子子集集 ，有有A A , ,则则称称A A比比B B有有较较小小的的基基数数（B B比比A A有有较较大大的的基基数）并记为数）并记为 定理定理 2 2（BernsteinBernstein定理）定理） 设设 A A 、B B是两个非空集合，如果是两个非空集合，如果存在存在 使使A T, B S,A T, B S,则则A B.A B.注注 利用基数的说法是利用基数的说法是: : 设设 ， ，则，则注意：这一定理提供了一个判定两个集合注意：这一定理提供了一个判定两个集合 对等的一个工具，以后我们经常用到对等的一个工具，以后我们经常用到。第四节第四节 可数集可数集 本本节节我我们们主主要要介介绍绍一一类类非非常常重重要要的的无无限限集集可可数数集集。通通过过本本节节的的学学习习，我我们们要要掌掌握握可可数数集集的的概概念念及及其其运运算算性性质质，同时我们还要知道一些常用的可数集。同时我们还要知道一些常用的可数集。 一、可数集合的概念一、可数集合的概念 定义定义1 1 如果集如果集 A A与自然数集对等，就称它为与自然数集对等，就称它为可数集（可列集）。可数集（可列集）。显然，可数集的一切元可用自然数编号使之成显然，可数集的一切元可用自然数编号使之成为无穷序列的形式为无穷序列的形式:结论：集合结论：集合A A是可数集合的充要条件是：是可数集合的充要条件是：A A可以排成一个无穷序列可以排成一个无穷序列例例1 1 全体正偶数可数。全体正偶数可数。例例2 2 全体整数可数。全体整数可数。二、可数集的性质二、可数集的性质定理定理1 1 任何无限集必含有可数子集。任何无限集必含有可数子集。 证证- -可取出可数子集可取出可数子集定理定理2 2 可数集的子集至多是可数的。可数集的子集至多是可数的。 即或为有限集或为可数集。即或为有限集或为可数集。 定理定理3 3 设设A A为可数集，为可数集，B B 为有限集合或为有限集合或 可数集，则可数集，则 可数可数证明证明 （1）先设）先设 由于可数集总可排成无穷序列，由于可数集总可排成无穷序列，不妨设不妨设 或或 则则或或（2 2） 一般情形一般情形 可由已知结论得出可由已知结论得出定理定理4 4 可数个可数集的并集是可数集。可数个可数集的并集是可数集。 证明证明 参见书第参见书第1717页定理页定理4 4。 =（按下标递增）例例3 3 全体有理数为可数集。全体有理数为可数集。 事事实实上上，把把非非零零的的有有理理数数a a写写成成既既约约分分数数 的的形形式式， 0, 0, 把把和和n=|p|+qn=|p|+q称称为为a a的的模模。现现规规定定0 0的的模模为为1 1，很很明明显显，模模为为n n的的有有理理数数的的个个数数是是有有限限的的，于于是是把把一一切切有有理理数数按按模模递递增增编编组组，其其模模相相同同的的编编在在同同一一组组，最最后后再再依依次次把把这这些些有有理理数数逐逐个个编编号号，但但重重复复者者除除去去不不计计。这这样样，每每一一个个有有理理数数得得到到了了一一个个确确定定的的号号码码。因因而而建建立立了了有有理理数数与与自自然然数数之之间间的的一一一一对对应应，这就证明了有理数集的可数性这就证明了有理数集的可数性定定理理 5 5 若若A A中中每每个个元元素素由由n n个个互互相相独独立立的的记记 号所决定号所决定, ,各记号跑遍一个可数集各记号跑遍一个可数集 A= A= ， 则则A A为可数集。为可数集。证明证明 用数学归纳法予以证明。用数学归纳法予以证明。 若若n=1,n=1,则则定定理理显显然然成成立立。今今假假设设当当 n=mn=m时时定定理成立，由此证明当理成立，由此证明当n=m+1n=m+1时也成立。时也成立。设设A= A= ，A A中中满满足足 的的元元素素，记记其其全全体体为为 , , 则则由由假假定定 为为一一可可数数集集而而 故故A A可数可数例例4 4 平面上坐标为有理点的全体所成的集 为一可数集。例5整系数多项式的全体所成的集为一 可数集。A=(x,y)|x,yA=(x,y)|x,y为有理数为有理数 因此全体因此全体n n次多项式可数，故整系数多项式次多项式可数，故整系数多项式可数可数第五节第五节 不可数集不可数集一、概念一、概念 不是可数集的无限集合称为不可数集合不是可数集的无限集合称为不可数集合二、不可数集合二、不可数集合定理定理1 全体实数不可数。（见第全体实数不可数。（见第20页）页） 用用c表示连续基数，表示连续基数，a表示可数集的基数表示可数集的基数定理定理2 任意区间均具有连续基数。任意区间均具有连续基数。实变函数实变函数主讲教师主讲教师 ：吴行平：吴行平辅导课程三辅导课程三第三节第三节 对等与基数对等与基数一一 对等对等 定定义义1 1 设设A,BA,B是是两两个个非非空空集集，若若依依一一定定的的法法则则f, f, 对对每每个个x x A, A, 在在B B中中有有唯唯一一确确定定的的元元y y与与之之对对应应，则则称称f f是是定定义义在在A A上上而而在在B B中中取取值值的的映映射射，记记成成 ，并并将将x x与与y y的的关关系系写写成成 。我我们们称称A A为为f f的的定定义义域域， 为为f f的值域。的值域。设设给给定定映映射射 ，而而 ，称称f f为为到到上上的的映映射射；如如果果对对每每个个 ，仅仅有有唯唯一一的的 使使 ，称称f f为为 1-11-1的的 设设给给定定两两映映射射 ， ，称称映映射射 由由关关系式系式 ( ) ( ) 定义。定义。 定义定义2 2 设设A,BA,B为两个非为两个非 空集，如有空集，如有1-11-1的，到上的，到上的的 存在，使存在，使 ，则称，则称A A与与B B对等，记成对等，记成 B B 例例1 1 自然数全体与正偶数全体对等。自然数全体与正偶数全体对等。证明证明 令令 即可即可例例2 2 全体正奇数与全体正偶数对等全体正奇数与全体正偶数对等证明证明 令令 即可即可例例3 3 （0 0，1 1）与全体实数对等）与全体实数对等证明证明 令令 即可即可注意注意 例例1 1表明一个无限集可以和它的一个表明一个无限集可以和它的一个真子集对等，这正是无限集的本质特性。真子集对等，这正是无限集的本质特性。定理定理1 1 对任何集合对任何集合A A、B B、C C，均有均有（1 1）（反射性反射性） A AA A （2 2）（对称性对称性） 若若A AB B，则则B BA A（3 3）（传递性传递性） 若若A AB,BB,BC,C,则则A AC C 由此可知，当两个有限集互相对等时，它们的元素个素必相同。因此，我们可以用对等的概念对两个无限集的元的个数进行比较 二二 基基 数数 根据定理根据定理1 1，我们可把彼此对等的集，我们可把彼此对等的集合归做一类。这样任何集合属于一类。合归做一类。这样任何集合属于一类。我们把两个彼此对等的集合称为具有相我们把两个彼此对等的集合称为具有相同的基数（亦称势、浓度），用同的基数（亦称势、浓度），用 表示表示集合集合A A的基数的基数 定定义义3 3 设设 A A 、B B是是两两个个集集合合，如如果果A A不不和和B B 对对等等，但但存存在在B B的的真真子子集集 ，有有A A , ,则则称称A A比比B B有有较较小小的的基基数数（B B比比A A有有较较大大的的基基数）并记为数）并记为 定理定理 2 2（BernsteinBernstein定理）定理） 设设 A A 、B B是两个非空集合，如果是两个非空集合，如果存在存在 使使A T, B S,A T, B S,则则A B.A B.注注 利用基数的说法是利用基数的说法是: : 设设 ， ，则，则注意：这一定理提供了一个判定两个集合注意：这一定理提供了一个判定两个集合 对等的一个工具，以后我们经常用到对等的一个工具，以后我们经常用到。第四节第四节 可数集可数集 本本节节我我们们主主要要介介绍绍一一类类非非常常重重要要的的无无限限集集可可数数集集。通通过过本本节节的的学学习习，我我们们要要掌掌握握可可数数集集的的概概念念及及其其运运算算性性质质，同时我们还要知道一些常用的可数集。同时我们还要知道一些常用的可数集。 一、可数集合的概念一、可数集合的概念 定义定义1 1 如果集如果集 A A与自然数集对等，就称它为与自然数集对等，就称它为可数集（可列集）。可数集（可列集）。显然，可数集的一切元可用自然数编号使之成显然，可数集的一切元可用自然数编号使之成为无穷序列的形式为无穷序列的形式:结论：集合结论：集合A A是可数集合的充要条件是：是可数集合的充要条件是：A A可以排成一个无穷序列可以排成一个无穷序列例例1 1 全体正偶数可数。全体正偶数可数。例例2 2 全体整数可数。全体整数可数。二、可数集的性质二、可数集的性质定理定理1 1 任何无限集必含有可数子集。任何无限集必含有可数子集。 证证- -可取出可数子集可取出可数子集定理定理2 2 可数集的子集至多是可数的。可数集的子集至多是可数的。 即或为有限集或为可数集。即或为有限集或为可数集。 定理定理3 3 设设A A为可数集，为可数集，B B 为有限集合或为有限集合或 可数集，则可数集，则 可数可数证明证明 （1）先设）先设 由于可数集总可排成无穷序列，由于可数集总可排成无穷序列，不妨设不妨设 或或 则则或或（2 2） 一般情形一般情形 可由已知结论得出可由已知结论得出定理定理4 4 可数个可数集的并集是可数集。可数个可数集的并集是可数集。 证明证明 参见书第参见书第1717页定理页定理4 4。 =（按下标递增）例例3 3 全体有理数为可数集。全体有理数为可数集。 事事实实上上，把把非非零零的的有有理理数数a a写写成成既既约约分分数数 的的形形式式， 0, 0, 把把和和n=|p|+qn=|p|+q称称为为a a的的模模。现现规规定定0 0的的模模为为1 1，很很明明显显，模模为为n n的的有有理理数数的的个个数数是是有有限限的的，于于是是把把一一切切有有理理数数按按模模递递增增编编组组，其其模模相相同同的的编编在在同同一一组组，最最后后再再依依次次把把这这些些有有理理数数逐逐个个编编号号，但但重重复复者者除除去去不不计计。这这样样，每每一一个个有有理理数数得得到到了了一一个个确确定定的的号号码码。因因而而建建立立了了有有理理数数与与自自然然数数之之间间的的一一一一对对应应，这就证明了有理数集的可数性这就证明了有理数集的可数性定定理理 5 5 若若A A中中每每个个元元素素由由n n个个互互相相独独立立的的记记 号所决定号所决定, ,各记号跑遍一个可数集各记号跑遍一个可数集 A= A= ， 则则A A为可数集。为可数集。证明证明 用数学归纳法予以证明。用数学归纳法予以证明。 若若n=1,n=1,则则定定理理显显然然成成立立。今今假假设设当当 n=mn=m时时定定理成立，由此证明当理成立，由此证明当n=m+1n=m+1时也成立。时也成立。设设A= A= ，A A中中满满足足 的的元元素素，记记其其全全体体为为 , , 则则由由假假定定 为为一一可可数数集集而而 故故A A可数可数例例4 4 平面上坐标为有理点的全体所成的集 为一可数集。例5整系数多项式的全体所成的集为一 可数集。A=(x,y)|x,yA=(x,y)|x,y为有理数为有理数 因此全体因此全体n n次多项式可数，故整系数多项式次多项式可数，故整系数多项式可数可数第五节第五节 不可数集不可数集一、概念一、概念 不是可数集的无限集合称为不可数集合不是可数集的无限集合称为不可数集合二、不可数集合二、不可数集合定理定理1 全体实数不可数。（见第全体实数不可数。（见第20页）页） 用用c表示连续基数，表示连续基数，a表示可数集的基数表示可数集的基数定理定理2 任意区间均具有连续基数。任意区间均具有连续基数。实变函数实变函数主讲教师主讲教师 ：吴行平：吴行平辅导课程四辅导课程四例例3 3 全体有理数为可数集。全体有理数为可数集。 事事实实上上，把把非非零零的的有有理理数数a a写写成成既既约约分分数数 的的形形式式， 0, 0, 把把和和n=|p|+qn=|p|+q称称为为a a的的模模。现现规规定定0 0的的模模为为1 1，很很明明显显，模模为为n n的的有有理理数数的的个个数数是是有有限限的的，于于是是把把一一切切有有理理数数按按模模递递增增编编组组，其其模模相相同同的的编编在在同同一一组组，最最后后再再依依次次把把这这些些有有理理数数逐逐个个编编号号，但但重重复复者者除除去去不不计计。这这样样，每每一一个个有有理理数数得得到到了了一一个个确确定定的的号号码码。因因而而建建立立了了有有理理数数与与自自然然数数之之间间的的一一一一对对应应，这就证明了有理数集的可数性这就证明了有理数集的可数性定定理理 5 5 若若A A中中每每个个元元素素由由n n个个互互相相独独立立的的记记 号所决定号所决定, ,各记号跑遍一个可数集各记号跑遍一个可数集 A= A= ， 则则A A为可数集。为可数集。证明证明 用数学归纳法予以证明。用数学归纳法予以证明。 若若n=1,n=1,则则定定理理显显然然成成立立。今今假假设设当当 n=mn=m时时定定理成立，由此证明当理成立，由此证明当n=m+1n=m+1时也成立。时也成立。设设A= A= ，A A中中满满足足 的的元元素素，记记其其全全体体为为 , , 则则由由假假定定 为为一一可可数数集集而而 故故A A可数可数例例4 4 平面上坐标为有理点的全体所成的集 为一可数集。例5整系数多项式的全体所成的集为一 可数集。A=(x,y)|x,yA=(x,y)|x,y为有理数为有理数 因此全体因此全体n n次多项式可数，故整系数多项式次多项式可数，故整系数多项式可数可数第五节第五节 不可数集不可数集一、概念一、概念 不是可数集的无限集合称为不可数集合不是可数集的无限集合称为不可数集合二、不可数集合二、不可数集合定理定理1 全体实数不可数。（见第全体实数不可数。（见第20页）页） 用用c表示连续基数，表示连续基数，a表示可数集的基数表示可数集的基数定理定理2 任意区间均具有连续基数。任意区间均具有连续基数。实变函数实变函数主讲教师主讲教师 ：吴行平：吴行平辅导课程六辅导课程六定义定义 4 4 设设E E为为n n维空间维空间 中一点集，有中一点集，有（1 1） E E的的全全体体内内点点所所成成的的集集合合，称称为为E E的的开开核核 或内部，记为或内部，记为 （2 2） E E的的全全体体界界点点所所成成的的集集合合，称称为为E E的的边边界，界，记为记为（3 3）E E的的全全体体聚聚点点所所成成的的集集合合，称称为为E E的的导导集，集，记为记为（4 4） 称为称为E E的闭包，记为的闭包，记为例例1 1 设设 是普通的平面，是普通的平面， 求求解解 例例2 2 设设 ，则，则 的充要条件是的充要条件是 对任意的邻域对任意的邻域 有有证明证明 由于由于 必要性显然必要性显然下证充分性下证充分性 有假设有假设对任意的邻域有对任意的邻域有若若 ，则，则 由聚点的定义由聚点的定义 定理定理2 2 设设 则则定理定理3 3 定理定理4 4 设设 E E是一个有界无限集合，则是一个有界无限集合，则 E E 至少有一个聚点。至少有一个聚点。 定理定理5 5 任何非空真子集至少有一个界点任何非空真子集至少有一个界点（参见书上第参见书上第3737页页）第三节第三节 开集开集 闭集闭集 完备集完备集定义定义1 1 设设E E为为 中的一点集，若中的一点集，若E E的每个的每个 点都是内点，则称点都是内点，则称E E为开集。为开集。例例 1 1 开区间开区间 ，空集及，空集及R R均为开集。均为开集。 定义定义2 2 设设E E为为 中的一点集，若中的一点集，若E E的每个的每个 聚点都属于聚点都属于E,E,则称则称E E为闭集。为闭集。例例 2 2 闭区间闭区间 a,ba,b，空集及空集及R R均为闭集。均为闭集。 定理定理1 1 E E为开集的充要条件是为开集的充要条件是 。 定理定理2 2 非空集非空集E E为闭集的充要条件是为闭集的充要条件是定理定理3 3 对任何对任何 是开集，是开集， 和和 是闭集是闭集例例 点集点集 为闭集的充要条件为闭集的充要条件是是证明证明 显然显然又又从而从而充分性显然充分性显然定理定理 4 4 设设E E为开集，则为开集，则CECE是闭集；是闭集； 设设E E为闭集，则为闭集，则CECE是开集。是开集。证明证明 第一部分：设第一部分：设E E为开集，而为开集，而 是是CECE的任一聚点，那么，的任一聚点，那么， 的任一邻域都有的任一邻域都有不属于不属于E E的点。这样，的点。这样， 就不可能是就不可能是E E的的内点，从而不属于内点，从而不属于E,E,也就是也就是 。第第二二部部分分：设设 E E为为闭闭集集，对对任任一一 ，假假如如 不不是是CECE的的内内点点，则则 的的任任一一邻邻域域内内至至少少有有一一个个属属于于E E的的点点，而而且且这这点点又又必必然然异异于于 （因因 ），这这样样 就就是是E E的的聚聚点点，从而必属于从而必属于E, E, 这和假设矛盾。这和假设矛盾。 定理定理5 5 开集有下列性质开集有下列性质 （1 1）任意个开集的并是开集；）任意个开集的并是开集； （2 2）有限个开集的交是开集。）有限个开集的交是开集。证证 （1 1）设设 是是一一组组开开集集，令令 。任任取取 ，则有某个，则有某个 故故 的的内内点点，从从而更是而更是G G的内点。故的内点。故G G是开集。是开集。（2 2）设）设 为开集。令为开集。令 ，任取，任取 则则对对每每个个k=1,2,nk=1,2,n有有 ，于于是是有有 的的邻邻域域 ，k=1,2,nk=1,2,n使使 ，令令 ，则则 ，可可见见 是是内内点点，这这就就证明了证明了 G G为开集。为开集。实变函数实变函数主讲教师主讲教师 ：吴行平：吴行平辅导课程七辅导课程七 注意注意 无限个开集的交不一定是开集。无限个开集的交不一定是开集。 例如例如 令令 则则 ，不是开集。，不是开集。 定理定理6 6 闭集有下列性质：闭集有下列性质：（1 1） 任意个闭集的交是闭集；任意个闭集的交是闭集；（2 2） 有限个闭集的并是闭集。有限个闭集的并是闭集。证证 设为设为 闭集类，则闭集类，则 为开为开集类。据定理集类。据定理3 3 据定理据定理5 5的（的（1 1），任意的指标集），任意的指标集I I， 为开集，为开集， 从而从而 是开集，是开集，是闭集是闭集同样，对于有限指标集同样，对于有限指标集I I，据定理据定理3 3的（的（2 2）即得结论（即得结论（2 2）。定理得证。）。定理得证。 注意注意 无限个闭集的并集可能不是闭集无限个闭集的并集可能不是闭集例如例如 取取 每个每个 都是闭集，但它们的并都是闭集，但它们的并 不是闭集。不是闭集。定义定义3 3 若若 , ,则称则称E E为完备集或为完备集或 完全集完全集。 可可以以证证明明，在在数数直直线线的的一一切切集集中中，只只有有 空集与整个直线才是既开又闭的集合。空集与整个直线才是既开又闭的集合。第四节第四节直线上的开集、闭集直线上的开集、闭集 及完备集的构造及完备集的构造 本本节节主主要要讨讨论论直直线线上上的的开开集集、闭闭集集的的构构造造。通通过过学学习习我我们们要要掌掌握握直直线线上上的的开开集集、闭闭集集的的结结构构，同时要理解康托尔集的重要性质。同时要理解康托尔集的重要性质。 在在本本节节中中，我我们们将将详详细细讨讨论论直直线线上上有有界界开开集集的的构造，以下考虑的点集都是有界集。构造，以下考虑的点集都是有界集。 设设G G是是任任一一非非空空的的有有界界开开集集。任任取取 ，由由开开集集的的定定义义，存存在在开开区区间间使使 。显显然然，这这种种开开区区间间有有无无穷穷多多个个，把把它它们们的的并并记记为为U U，那那么么可可以以证证明明，U U是是含含有有 的的这这种种开开区区间间的的最最大大者者。也也就就是说，令是说，令 ，则有，则有，（1 1） ，（2 2） ， 。 我们把我们把G G中具有性质（中具有性质（1 1），（），（2 2）的区间称）的区间称为为G G的构成区间。的构成区间。 由上所述，由上所述，G G中任一点必属于中任一点必属于G G的某一构成区间。的某一构成区间。 定定理理1 1 有有界界非非空空开开集集G G可可表表示示成成有有限限个个或或可可数数个个互互不不相相交交的的构构成成区区间间的的并并。当当非非空空开开集集G G表表示示成成互互不不相相交交的的开开区区间间的的并并时时，这这些些区区间间必必是是构成区间。构成区间。证证 （1） G G的的每每一一点点都都对对应应有有一一个个G G的的构构成成区区间，因而间，因而G G可表示成一些构成区间的并：。可表示成一些构成区间的并：。 （2） G G的的任任意意两两个个构构成成区区间间若若有有公公共共点点，则则必必重重合合，否否则则就就不不相相交交。因因而而G G可可表表示示成一些互不相交的构成区间的并。成一些互不相交的构成区间的并。（3 3） 由由第第二二节节的的结结论论知知道道，这这些些区区间间是是至至多多可可列列的的（G G的的构构成成区区间间集集与与有有理理数数集集的的子子集集一一一对应）。一对应）。（4 4） 当当 非非空空开开集集G G表表示示成成互互不不相相交交的的开开区区间的并时，这些区间必是构成区间。间的并时，这些区间必是构成区间。 该定理提出的表示，以后将称为该定理提出的表示，以后将称为G G的结构的结构表示。表示。 注注 对于无界开集情形，定理对于无界开集情形，定理1 1的结论本质上也的结论本质上也是正确的，只是要把是正确的，只是要把 与与 都算成构成区间的表现形式都算成构成区间的表现形式 定定义义1 1 设设A A是是直直线线上上的的闭闭集集，称称A A的的余余集集的的构构成区间为成区间为A A的余区间或邻接区间。的余区间或邻接区间。 我们又可得到闭集的构造如下：我们又可得到闭集的构造如下： 定定理理2 2 直直线线上上的的闭闭集集或或者者是是全全直直线线，或或者者是是从从直直线线上上挖挖掉掉有有限限个个或或可可数数个个互互不不相相交交的的开开区区间所得到的集。间所得到的集。 最最后后，我我们们举举出出一一个个闭闭集集的的例例子子，它它是是不不可可数数的的，但但不不含含有有任任何何区区间间。这这个个集集将将称称为为康康脱脱三三分集，今后将不止一次用到。分集，今后将不止一次用到。例例1 1 康脱三分集康脱三分集 第一步第一步 将区间三等分，并除去中间的开区间将区间三等分，并除去中间的开区间 ，剩下，剩下2 2个长为个长为 的闭区间的闭区间 第二步第二步 将剩下的将剩下的2 2个闭区间三等分，并除去中间的个闭区间三等分，并除去中间的开区间开区间 ，剩下，剩下 个长为个长为 的闭区间的闭区间第三步第三步 将剩下的将剩下的 个闭区间各自三等分，个闭区间各自三等分，并除去中间的开区间并除去中间的开区间 ，剩下，剩下 个长为个长为 的的闭区间闭区间第第n n步步 将剩下的将剩下的 个闭区间各自三等分，个闭区间各自三等分，并除去中间的开区间并除去中间的开区间 ，剩下，剩下 个长为个长为 的的闭区间闭区间这样便得到所谓康脱三分集P与开集 ：P P具有以下性质：具有以下性质： （1 1） P P 是完备集；是完备集； 显然显然 是闭集，只须证明是闭集，只须证明 无孤立点。无孤立点。假假定定相相反反， 有有一一孤孤立立点点 。由由于于0 0与与1 1显显然然是是的聚点，故可以设的聚点，故可以设 。那么，在。那么，在中存在开区间中存在开区间 与与 ，其中均无，其中均无的的点点，即即 ， ，且且 从从而而可可知知， ， 将将分分别别含含在在 的的某某两两个个构构成区间成区间 中，于是中，于是 将成为将成为的的某某两两个个构构成成区区间间的的公公共共端端点点。但但据据 的的作作法，这是不可能的。法，这是不可能的。 （2 2） 不含任何区间，即不含任何区间，即P P没有内点；没有内点； 事事实实上上，由由P P的的作作法法中中知知道道，“去去掉掉”手手续续进进行行到到第第n n次次为为止止时时，剩剩下下 个个长长度度是是 的的互互相相隔隔离离的的闭闭区区间间，因因此此任任何何一一点点 必必含含在在这这 个个闭闭区区间间的的某某一一个个里里面面，从从而而在在 的的任任一一邻邻域域 内内至至少少有有一一点点不不属属于于P, P, 但但 ，故故不不可能是可能是P P的内点。的内点。（3 3） 是不可数的。是不可数的。用反证法用反证法 设设 是可数的，将是可数的，将 中的点编号中的点编号 成点列成点列故故 中任意一点必在上述点列中出现。中任意一点必在上述点列中出现。 与与 中应有一个闭区间不含点中应有一个闭区间不含点 ，用，用 表示表示这个闭区间。将这个闭区间。将 三等分所得的左与右两个三等分所得的左与右两个闭区间中，应有一个不含闭区间中，应有一个不含 的，用的，用 表示这表示这个闭区间。然后把个闭区间。然后把 三等分，记不含三等分，记不含 的的左或右的那个闭区间为左或右的那个闭区间为 ，如此等等，这样，如此等等，这样，据归纳法我们得到一个闭区间列据归纳法我们得到一个闭区间列 =易见易见 的长度的长度 据区间套定理，必有点据区间套定理，必有点 可是，可是， 是是 等的端点集的聚点，等的端点集的聚点，因而也是闭集因而也是闭集 的的 聚点，故聚点，故 。 由于上面已指出由于上面已指出 这将是矛盾。这将是矛盾。这样，我们证明了：这样，我们证明了： 是不可数的完备集是不可数的完备集 （4 4） P P有连续基数有连续基数实变函数实变函数主讲教师主讲教师 ：吴行平：吴行平辅导课程八辅导课程八第三章第三章 勒贝格测勒贝格测度度 从从本本章章开开始始，我我们们将将讨讨论论欧欧几几里里德德空空间间点点集集的的测测度度理理论论。测测度度概概念念在在 中中是是长长度度概概念念的的推推广广，在在 中中是是面面积积概概念念的的推推广广，在在 中中是是体体积积概概念念的的推推广广。我我们们首首先先介介绍绍外外测测度度、内内测测度度等等概概念念，然然后后采采用用卡卡拉拉皆皆屋屋铎铎利利的的方方法法在在点点集集论论的的基基础础上上直直接接定定义义中中L L测测度度，最最后后讨讨论论可可测测集集的性质和可测集类。的性质和可测集类。 第一节第一节 外外 测测 度度 本本节节主主要要讨讨论论有有界界点点集集的的外外测测度度及及其其性性质质。通通过过本本节节的的学学习习，我我们们要要掌掌握握外外测测度度的的概概念念及及其其性性质质，知知道道区区间间的的外外测测度度就就是是区区间间的的体体积积，可数点集的外测度为零。可数点集的外测度为零。 定义1 设 为 任一点集，对于每一列覆盖 的开区间， ，作出它的体积和 （ 可以等于 ，不同的区间列一般有不同的 ），所有这一切的 组成一个下方有界的数集，它的下确界（由 完全决定）称为 的勒贝格外测度，简称 外测度或外测度，记为 ，即 =定理定理1 1 外测度具有下列性质：外测度具有下列性质：（1 1） ，当，当 为空集时，则为空集时，则 =0=0（2 2）设）设 ，则，则 ；( (单调性）单调性）（3 3） （次可数可加性）（次可数可加性）证明（证明（1 1）显然成立。）显然成立。 （2 2）的的证证明明：设设 ，则则任任一一列列覆覆盖盖 的的开开区区间间 一一定定也也是是覆覆盖盖 的的， 因而因而， （3 3）的证明：）的证明： 任给任给 ，由外测度定义，由外测度定义对每个对每个 都有一列开区间都有一列开区间 使，使，=证明证明 设设对对任意任意 ，令，令由由 的任意性的任意性例例1 1 单点集的外测度为单点集的外测度为0 0例例2 2 可数集的外测度为可数集的外测度为0 0。由次可数可加性即得结论由次可数可加性即得结论例例3 3 对于区间对于区间I I 有有实变函数实变函数主讲教师主讲教师 ：吴行平：吴行平辅导课程九辅导课程九第二节第二节 可可 测测 集集有界可测集有界可测集 一般可测集一般可测集可测集的性质可测集的性质 定定义义1 1 设设E E为为 中中有有界界集集， 为为任任一一包包含含E E的开区间，则的开区间，则 称为称为E E的内测度，记为的内测度，记为定定义义2 2 设设E E为为 中中有有界界集集，如如果果 = = ，则则称称E E是是L L可可测测的的，又又设设E E为为 中中无无界界集集，如如果果对对任任何何开开区区间间I I , ,有有界界集集 都都是是可可测测的的 ，则则称称E E是是L L可可测测的的，对对于于L L可可测测集集E E ，我我们们称称 为为它它的的 L L测测度度，简记为简记为 ，L L可测集也简称为可测集。可测集也简称为可测集。 我我们们也也有有统统一一的的定定义义，可可以以证证明明它它们们是是等价的。等价的。定定义义3 3 设设E E为为 中中点点集集，如如果果对对任任一一点点集集T T都有都有 则则称称E E是是L L可可测测的的，称称 为为它它的的L L测测度度，记为记为 。 定定理理1 1 集集合合E E可可测测的的充充要要条条件件是是对对于于任任意，意， 总有总有证明：证明： 必要性：取必要性：取充分性充分性: :对于任意对于任意 且且 因此因此=定理定理 2 2 可测的充要条件是可测的充要条件是 可测。可测。 证明证明 事实上事实上 ，对于任意的，对于任意的T T定定理理 3 3 设设 都都可可测测，则则 可可测测，并且当并且当 = = 时，对于任意集合时，对于任意集合 总总 证明证明 （1 1） 的可测性的可测性我们证我们证 对于任意集合对于任意集合 总有总有 事事实实上上，由由于于 可可测测，对对于于任任意意的的T T总总有有 又由于又由于 可测可测 ，故，故 = = + + （1）（2）代入（代入（2 2）得）得+（3）由狄莫更公式，由狄莫更公式， =又因又因 可测，且可测，且， =（2 2）当）当 = = 时，因时，因 可测，且可测，且 =推论推论1 1 设设 都可测都可测 则则 也也可测，并有当可测，并有当 时，对任意时，对任意集合集合 总有总有=定理定理4 4 设设 都可测，则都可测，则 也可测。也可测。证明证明 因因 = = 。 推论推论2 2 设设 都可测，则都可测，则 也可测也可测 定理定理5 5 设设 都可测，则都可测，则 也可测。也可测。 证明证明 因为因为 = = ， 由定理由定理2 2和定理和定理4 4即得。即得。定理定理6 6 设设 是一列互不相交的可测是一列互不相交的可测集，则集，则 也是可测集，且也是可测集，且推论推论3 3 设设 是一列可测集，则是一列可测集，则 也是可测集。也是可测集。 定理定理7 7 设设 是一列可测集，则是一列可测集，则 也是可测集。也是可测集。证明证明 因因 ， 应用定理应用定理 2 2与推论与推论 3 3即得。即得。 由上面的定理及推论知道，可侧由上面的定理及推论知道，可侧集关于可数并、交、差运算是封闭的，集关于可数并、交、差运算是封闭的，更进一步，定理更进一步，定理 6 6表明表明 L L测度是具有测度是具有可数可加性的测度。可数可加性的测度。 定理定理 8 8 设设 是递增可测集列，即是递增可测集列，即 则则 E= E= 是可测的，且是可测的，且 = = 证明证明 因为因为其中各项互不相交，故应用定理其中各项互不相交，故应用定理6 6，即得，即得（令（令 ）。 定定理理 9 9 设设 是是递递减减可可测测集集列列，即即则则 = = 是可测的，且当是可测的，且当 时时 = =证证明明 由由于于 可可测测，由由定定理理7 7知知 可可测测。又又因因 递递减减，从从而而 递递增增，这这里里， 故由定理故由定理8 8有有=注意注意 不可去掉，否则结论不成立。不可去掉，否则结论不成立。例如例如