（一）函数的定义（一）函数的定义（二）极限的概念（二）极限的概念（三）连续的概念（三）连续的概念一、主要内容一、主要内容第一章第一章 习题课习题课2021/8/221函函 数数的定义的定义反函数反函数反函数与直接反函数与直接函数之间关系函数之间关系基本初等函数基本初等函数复合函数复合函数初等函数初等函数函函 数数的性质的性质单值与多值单值与多值奇偶性奇偶性单调性单调性有界性有界性周期性周期性双曲函数与双曲函数与反双曲函数反双曲函数( (一一) )函数函数2021/8/2221 1、函数的定义、函数的定义定义定义 因变量因变量自变量自变量定义域定义域2021/8/223函数的分类函数的分类函函数数初初等等函函数数非初等函数非初等函数( (分段函数分段函数, ,有无穷多项等函数有无穷多项等函数) )代代数数函函数数超越函数超越函数有有理理函函数数无理函数无理函数有理整函数有理整函数( (多项式函数多项式函数) )有理分函数有理分函数( (分式函数分式函数) )2021/8/224(1) 单值性与多值性单值性与多值性:2 2、函数的性质、函数的性质2021/8/225(2) 函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数奇函数奇函数yxo2021/8/226(3) 函数的单调性函数的单调性: 设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为D，区间，区间I D，如果对于区间，如果对于区间I上上任意两点任意两点 及及 ，当，当 时，恒有：时，恒有： (1) ,则称函数则称函数 在区间在区间I上是上是单调增加的单调增加的；或或(2) , 则称函数则称函数 在区间在区间I上是上是单调递减的单调递减的；单调增加和单调减少的函数统称为单调增加和单调减少的函数统称为单调函数单调函数。2021/8/227(4) 函数的有界性函数的有界性:2021/8/228 设函数设函数 f(x) 的定义域为的定义域为D，如果存在一个不为零的，如果存在一个不为零的数数l,使得对于任一使得对于任一 ,有有 .且且 f(x+l)=f(x)恒成立恒成立,则称则称f(x)为为周期函数周期函数,l 称为称为 f(x) 的的周期周期.（通常（通常说周期函数的周期是指其最小正说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.(5) 函数的周期性函数的周期性:oyx2021/8/2295、反函数与直接函数之间的关系、反函数与直接函数之间的关系3 3、反函数、反函数2021/8/22106 6、基本初等函数、基本初等函数2）幂函数幂函数3）指数函数）指数函数4）对数函数）对数函数5）三角函数）三角函数6）反三角函数）反三角函数1）常数函数常数函数2021/8/22117 7、复合函数、复合函数8 8、初等函数、初等函数定义定义初等函数初等函数 由基本初等函数经过有限次四则由基本初等函数经过有限次四则 运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用 一个式子表示一个式子表示的函数的函数,称为称为初等函数初等函数.2021/8/22129 9、双曲函数与反双曲函数、双曲函数与反双曲函数双曲函数常用公式双曲函数常用公式2021/8/22132021/8/2214左右极限左右极限两个重要两个重要极限极限求极限的常用方法求极限的常用方法无穷小无穷小的性质的性质极限存在的极限存在的充要条件充要条件判定极限判定极限存在的准则存在的准则无穷小的比较无穷小的比较极限的运算极限的运算数列极限数列极限函函 数数 极极 限限等价无穷小等价无穷小及其性质及其性质极限极限的性质的性质无穷小无穷小两者的两者的关系关系无穷大无穷大( (二二) )极限极限2021/8/22151 1、极限的定义、极限的定义如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是就说数列是发散发散的的.2021/8/22162021/8/2217左极限左极限右极限右极限2021/8/2218无穷小无穷小:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.无穷大无穷大:在同一过程中在同一过程中, ,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小; ;恒不为恒不为零的无穷小的倒数为无穷大零的无穷小的倒数为无穷大. .无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系2 2、无穷小与无穷大、无穷小与无穷大2021/8/2219定理定理1 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和有限个无穷小的代数和仍是无穷小仍是无穷小.定理定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小乘积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.无穷小的运算性质无穷小的运算性质2021/8/2220定理定理推论推论1 1推论推论2 23 3、极限的运算法则、极限的运算法则2021/8/22214 4、求极限的常用方法、求极限的常用方法a.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;b.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;c.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;d.利用两个重要极限求极限利用两个重要极限求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限;f.利用等价无穷小代换求极限利用等价无穷小代换求极限;g.利用连续函数的性质求极限利用连续函数的性质求极限2021/8/22225 5、判定极限存在的准则、判定极限存在的准则(夹逼准则夹逼准则)2021/8/2223(1)(2)6 6、两个重要极限、两个重要极限2021/8/22247 7、无穷小的比较、无穷小的比较定义定义: :2021/8/2225定理定理(等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理)8、等价无穷小的性质、等价无穷小的性质2021/8/22269. .极限的性质极限的性质( (局部局部) )有界性有界性唯一性唯一性定理定理3 3推论推论( (局部局部) )保号性保号性2021/8/2227(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系)子列收敛性子列收敛性定理定理42021/8/2228左右连续左右连续在区间在区间a,ba,b上连续上连续闭区间上闭区间上连续函数的性质连续函数的性质初等函数初等函数的连续性的连续性间断点定义间断点定义连连 续续 定定 义义连续的连续的充要条件充要条件连续函数的连续函数的运算性质运算性质 振振荡荡间间断断点点 无无穷穷间间断断点点 跳跳跃跃间间断断点点 可可去去间间断断点点第一类第一类 第二类第二类( (三三) )连续连续2021/8/22291 1、连续的定义、连续的定义定义定义1 1则称函数则称函数y =f (x)在点在点x0连续连续.定义定义2 2则称函数则称函数y =f (x)在点在点x0连续连续.定义定义3 3则称函数则称函数y =f (x)在点在点x0连续连续.注意！注意！2021/8/22303 3、连续的充要条件、连续的充要条件2 2、单侧连续、单侧连续定理定理2021/8/22314 4、间断点的定义、间断点的定义2021/8/22325 5、间断点的分类、间断点的分类第一类间断点第一类间断点第二类间断点第二类间断点: :间断点间断点(见下图见下图)可去间断点可去间断点 跳跃间断点跳跃间断点 无穷无穷间断点间断点, ,振荡振荡间断点间断点. .2021/8/2233可去型可去型第第一一类类间间断断点点跳跃型跳跃型0yx0yx0yx无穷型无穷型振荡型振荡型第第二二类类间间断断点点0yx2021/8/22346 6、闭区间上连续、闭区间上连续7 7、连续性的运算性质、连续性的运算性质定理定理2021/8/2235定理定理1 1 严格单调的连续函数必有严格单调的连严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数续反函数. .定理定理2 2定理定理3 32021/8/2236定理定理4 4 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.定理定理5 5 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间.9 9、闭区间上连续函数的性质、闭区间上连续函数的性质定定理理1(1(最最大大值值和和最最小小值值定定理理) ) 在在闭闭区区间间上上连连续续的函数一定有最大值和最小值的函数一定有最大值和最小值. .8 8、初等函数的连续性、初等函数的连续性2021/8/2237定定理理2(2(有有界界性性定定理理) ) 在在闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数一一定定在该区间上有界在该区间上有界. .2021/8/2238推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值与最小值m之间的任何值之间的任何值.2021/8/2239例例1 1解解二、典型例题二、典型例题2021/8/2240例例2 2解解利用函数表示法的无关特性利用函数表示法的无关特性代入原方程得代入原方程得代入上式得代入上式得2021/8/2241解联立方程组解联立方程组2021/8/2242例例3 3解解将分子、分母同乘以因子将分子、分母同乘以因子(1-x), 则则2021/8/2243例例4 4解解2021/8/2244例例5 5解解2021/8/2245例例6 6解解2021/8/22462021/8/2247例例7 7解：解：2021/8/2248例7. 7. 选择以下给出的四个结论中一个正确的结论设设f (x) = 2x + 3x 2, 当当x0 时，有时，有(A) f (x)与与x 是等价无穷小是等价无穷小(B) f (x)与与 x 同阶但非等价无穷小同阶但非等价无穷小(C) f (x)是比是比 x 高阶的无穷小高阶的无穷小(D) f (x)是比是比 x 低阶的无穷小低阶的无穷小2021/8/2249例例8 8证明证明讨论讨论:2021/8/2250由零点定理知由零点定理知,综上综上,2021/8/2251测测 验验 题题2021/8/22522021/8/22532021/8/22542021/8/22552021/8/22562021/8/22572021/8/2258测验题答案测验题答案2021/8/22592021/8/2260作业作业P74: 4、11、12、132021/8/2261