1全章的重点是波动的物理图象全章的重点是波动的物理图象平面简谐波的运动学方程平面简谐波的运动学方程相位传播相位传播建立物理图象物理图象: 波动的能量特征、波动的能量特征、波的叠加和驻波的特点波的叠加和驻波的特点研究研究机械波机械波的目的的目的波动的基本规律波动的基本规律认识研究其它形式的波研究其它形式的波直观性直观性2波动是振动的传播过程，波动是振动的传播过程， 振动是激发波动的波源。振动是激发波动的波源。机械波机械波电磁波电磁波波动：波动：机械振动在机械振动在弹性介质弹性介质中的传播中的传播.交变电磁场在空间的传播交变电磁场在空间的传播.两两类类波波的的不不同同之之处处v机械波的传播需有机械波的传播需有传播振动的介质传播振动的介质;v电磁波的传播可电磁波的传播可不需介质不需介质.2能量传播能量传播2反射反射2折射折射2干涉干涉2衍射衍射两两类类波波的的共共同同特特征征如声波、如声波、水波等水波等。如光波、无线电波如光波、无线电波等等。39.1 机械波的产生和传播机械波的产生和传播1、机械波、机械波产生条件：产生条件：1）波源；波源；2）弹性介质。弹性介质。 波是运动状态的传播，波是运动状态的传播，是能量是能量的传播，的传播，介质的质点并不随波传播介质的质点并不随波传播.注意注意一、机械波的形成一、机械波的形成弹性介质弹性介质是能够传播机械振动的介质。是由是能够传播机械振动的介质。是由弹性力弹性力组合的连续介质。组合的连续介质。机械波机械波:机械振动在机械振动在弹性介质弹性介质中的传播中的传播.4 特征：波形具有交替出现的波峰和波谷。特征：波形具有交替出现的波峰和波谷。横波：横波：各各质点振动方向与波的传播方向相质点振动方向与波的传播方向相垂直。垂直。（仅在固体中传播（仅在固体中传播 ）、横波与纵波、横波与纵波 如绳波、如绳波、电磁波电磁波。5 特征：波形具有交替出现的密部和疏部。特征：波形具有交替出现的密部和疏部。（可在固体、液体和气体中传播）（可在固体、液体和气体中传播）纵波：纵波：各各质点振动方向与波的传播方向互相质点振动方向与波的传播方向互相平行平行。如声波，弹簧波。如声波，弹簧波。纵波是靠介质疏密部变化传播的。纵波是靠介质疏密部变化传播的。一般的波，如水波、地表波等，都能分解为横波一般的波，如水波、地表波等，都能分解为横波与纵波来进行研究。与纵波来进行研究。6横波横波：质点的振动方向与波的传播方向垂直质点的振动方向与波的传播方向垂直纵波纵波：质点的振动方向与波的传播方向平行质点的振动方向与波的传播方向平行软绳软绳软软弹簧弹簧波的波的传播方向传播方向质点振动方向质点振动方向波的波的传播方向传播方向质点振动方向质点振动方向72）波波动动是是振振动动状状态态的的传传播播或或是是相相位位的的传传播播，表表现为波形的向前推进。现为波形的向前推进。3）沿波的传播方向，各质元的相位依次落后。沿波的传播方向，各质元的相位依次落后。4）各各质质元元振振动动周周期期与与波波源源的的振振动动周周期期相相同同，与与介质无关。介质无关。波动过程的特征：波动过程的特征：波动过程的特征：波动过程的特征：1）各质元只在各自的平衡位置附近振动，本身并各质元只在各自的平衡位置附近振动，本身并不随波前进。波的传播不是介质质元的传播。不随波前进。波的传播不是介质质元的传播。在波动过程中：在波动过程中：后开始振动的质元比先开始振动的质元在步调上后开始振动的质元比先开始振动的质元在步调上要落后一段时间，即有相位的落后。要落后一段时间，即有相位的落后。8波波 前前波波 面面波波 线线波面或同相面波面或同相面 振动相位相同的点连成的面。振动相位相同的点连成的面。波前或波阵面波前或波阵面 最前面的波面。最前面的波面。平面波平面波（波（波面为面为平面的波）平面的波） 球面波球面波（波（波面为面为球面的波）球面的波）波波线（波射线）线（波射线） 波的传播方向。波的传播方向。3 3、波的几何描述、波的几何描述、波的几何描述、波的几何描述在各向同性媒质中，波线恒与波面垂直。在各向同性媒质中，波线恒与波面垂直。9波长波长：沿波的传播方向，相位差为：沿波的传播方向，相位差为2 的振动质点之的振动质点之间的距离（或相位相同的两个相邻质点之间的距离间的距离（或相位相同的两个相邻质点之间的距离 ），即一个完整波形的长度。），即一个完整波形的长度。（1）波长波长波长描述了波在空间上的周期性。波长描述了波在空间上的周期性。OyAA-二、描述波动的几个物理量二、描述波动的几个物理量二、描述波动的几个物理量二、描述波动的几个物理量10 周期周期 ：波传播一个波长的距离所需要：波传播一个波长的距离所需要的时间。的时间。 频率频率 ：周期的倒数，即单位时间内波：周期的倒数，即单位时间内波动所传播的完整波的数目动所传播的完整波的数目.（与各质点振动周期相同）（与各质点振动周期相同）（与质点振动频率相同）（与质点振动频率相同）（2）周期）周期周期描述了波在时间上的周期性。周期描述了波在时间上的周期性。波的周期（或频率）仅由波源决定，就等于波的周期（或频率）仅由波源决定，就等于波源振动的周期（或频率）。波源振动的周期（或频率）。11 波速波速 ：波动过程中，某一振动状态（即振：波动过程中，某一振动状态（即振动相位）单位时间内所传播的距离（相速度）。动相位）单位时间内所传播的距离（相速度）。（3）波速波速 u波速波速 与介质的性质有关，与介质的性质有关， 为介质的密度为介质的密度.横横 波波固体固体纵纵 波波液、气体液、气体切变切变模量模量弹性弹性模量模量体积体积模量模量12如声音的传播速度如声音的传播速度空气，常温空气，常温左右，左右，混凝土混凝土电磁波的传播不需要介质，且只有横波一种形式。电磁波的传播不需要介质，且只有横波一种形式。 真空中真空中13平面简谐波平面简谐波 149.2 9.2 平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程 简谐波是最简单、最基本的波。各种复杂的波都简谐波是最简单、最基本的波。各种复杂的波都可以看作是许多不同频率的简谐波的叠加。可以看作是许多不同频率的简谐波的叠加。1. 1. 平面简谐波的波动表达式（平面简谐波的波动表达式（平面简谐波的波动表达式（平面简谐波的波动表达式（波动方程或波动方程或波函数）波函数） 在均匀、无吸收的介质中，当波源做简谐运动时，在均匀、无吸收的介质中，当波源做简谐运动时，在介质中所形成的波，叫在介质中所形成的波，叫简谐波简谐波简谐波简谐波。平面简谐波：波面为平面的简谐波平面简谐波：波面为平面的简谐波.15一列一列平面简谐波平面简谐波（假定是横波）（假定是横波）观测坐标原点任设观测坐标原点任设（不必设在波源处）（不必设在波源处）波波沿沿 X 轴正向传播轴正向传播（正向行（正向行波）波）要求任一时刻波线上任一质点要求任一时刻波线上任一质点（坐标为（坐标为 x）在任一在任一时刻的位移时刻的位移（坐标为（坐标为 y） ，各质点相对平衡各质点相对平衡位置的位置的位移位移波线上各质点波线上各质点平衡平衡位置位置描述波线上任一质点在任一时刻的位移的函数描述波线上任一质点在任一时刻的位移的函数称为波的称为波的波函数波函数或或波动方程波动方程。16t 时刻点时刻点 P 的的运动运动t-x/u时刻点时刻点O 的运动的运动设设O为波线上的为波线上的一点，取为原点，一点，取为原点，其振动方程：其振动方程：点点 P 振动方程：振动方程： 时间推迟方法时间推迟方法O处质点在处质点在 时刻的位移时刻的位移P处质点在处质点在 t 时刻时刻 的位移的位移点点O 的振动状态经过的振动状态经过 的时间传到点的时间传到点P 因为因为P点是任意的，点是任意的，所以可以表示为：所以可以表示为：17 波动方程的其它形式波动方程的其它形式称为波矢称为波矢波矢：波矢：表示在表示在 2长度内所具有的完整波的数目。长度内所具有的完整波的数目。沿沿 X 轴正向传播的轴正向传播的平平面简谐波动方程面简谐波动方程。181）若波沿）若波沿 X 轴负向传播，轴负向传播，已知已知O点振动表达式，点振动表达式， p点运动传到点运动传到 O 点需用时间：点需用时间： P*OP处质点在处质点在 t 时刻时刻 的位移应等于的位移应等于O处质点在处质点在 时刻的位移时刻的位移这就是这就是沿沿 X 轴负向传播的平面简谐波动方程轴负向传播的平面简谐波动方程。讨论：讨论：19则波动方程为：则波动方程为：则原点则原点O的振动方程为：的振动方程为：波动方程为：波动方程为： 2）若已知的位于）若已知的位于 x 0 处质元的振动方程，处质元的振动方程，并且波向右传播，并且波向右传播，3）若已知某平面简谐波在时刻的波形图，）若已知某平面简谐波在时刻的波形图，设原点设原点O在在t=t0位相为位相为 0，设振动圆频率为，设振动圆频率为 ，振幅为，振幅为A，20波函数是波函数是波程波程 x 和和时间时间 t 的函数，描写某一时刻任的函数，描写某一时刻任意位置处质点振动位移。意位置处质点振动位移。振动方程是时间振动方程是时间 t 的函数的函数振动方程与波动方程的区别振动方程与波动方程的区别注意波速（即相速度）与质点振动速度不同注意波速（即相速度）与质点振动速度不同振动速度振动速度振动加速度振动加速度21一一平面简谐波以波速平面简谐波以波速 沿沿 X 轴正向传播。轴正向传播。位于位于 处的处的 P 点的振动方程为点的振动方程为得得 波动方程波动方程设设 B 点距原点为点距原点为P 点振动传到点振动传到 B 点需时点需时即即 B 点点 时刻的振动状态与时刻的振动状态与 P 点点 时刻的振动状态相同时刻的振动状态相同22 1） 当当x = x0 时，时，波波波波动方程动方程的物理意义的物理意义的物理意义的物理意义距原点距原点 x0 处质点振动的初相处质点振动的初相原点原点 o 处质点振动的初相为处质点振动的初相为 两者的相位差为两者的相位差为: x0 处质点的振动相位比原点处质点的处质点的振动相位比原点处质点的振动相位始终落后振动相位始终落后 。沿波的传播方向，各质元的位相依次落后。沿波的传播方向，各质元的位相依次落后。23波线上各点的简谐运动图波线上各点的简谐运动图24（波具有空间的周期性）（波具有空间的周期性）波程差波程差2） 当当 t = t0 ，即给定，即给定 t 时，波函数表示该时刻波线时，波函数表示该时刻波线上各点相对其平衡位置的位移，即此刻的波形。上各点相对其平衡位置的位移，即此刻的波形。波线上两点波线上两点 x 1、x2 在在 t0 时刻的相位差为：时刻的相位差为：25O O 3 若若 均变化，波函数表示波线上各质元均变化，波函数表示波线上各质元在不同时刻的位移，反映了波形沿传播方向的运动在不同时刻的位移，反映了波形沿传播方向的运动情况（行波）情况（行波）. 时刻时刻时刻时刻261.根据给定条件，写出某个已知点的振动方程；根据给定条件，写出某个已知点的振动方程；2.建立坐标，选定坐标原点。在坐标轴上任取一点，建立坐标，选定坐标原点。在坐标轴上任取一点，求出该点相对于已知点的振动落后或超前的时间求出该点相对于已知点的振动落后或超前的时间t。 关于波动方程的题型主要有两种：关于波动方程的题型主要有两种：关于波动方程的题型主要有两种：关于波动方程的题型主要有两种：（1）已知波函数求各物理量；）已知波函数求各物理量；（2）已知各物理量求波函数。）已知各物理量求波函数。波动方程的求解步骤波动方程的求解步骤波动方程的求解步骤波动方程的求解步骤3.根据波的传播方向，从已知点的振动方程中根据波的传播方向，从已知点的振动方程中 t 减减去或加上去或加上t，即可得到波动方程。，即可得到波动方程。27解解：比较系数法：比较系数法把把题中波动方程改写成题中波动方程改写成比较得比较得 例例 已知波动方程如下，求波长、周期和波速。已知波动方程如下，求波长、周期和波速。28解解 写出波动方程的标准式写出波动方程的标准式O 1）波动方程；波动方程； 例例 一平面简谐波沿一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播，轴正方向传播， 已知振幅已知振幅 ， ， . 在在 时坐标原点处的质时坐标原点处的质点位于平衡位置沿点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动轴正方向运动 . 求求 2）求求 波形方程；波形方程；3） 处质点的振动规律。处质点的振动规律。292）求求 波形图波形图.波形方程波形方程o2.01.0-1.0 时刻波形图时刻波形图303） 处质点的振动规律并做图处质点的振动规律并做图 . 处质点的振动方程处质点的振动方程01.0-1.02.0O1234*1234处质点的振动曲线处质点的振动曲线1.031 例例 一平面简谐波以速度一平面简谐波以速度 沿直线传播沿直线传播,波波线上点线上点 A 的简谐运动方程的简谐运动方程 .1）以以 A 为坐标原点，写出波动方程为坐标原点，写出波动方程ABCD5m9m8m322）以以 B 为坐标原点，写出波动方程为坐标原点，写出波动方程ABCD5m9m8m333）写出传播方向上点写出传播方向上点C、点点D 的简谐运动方程的简谐运动方程ABCD5m9m8m点点 C 的相位比点的相位比点 A 超前超前点点 D 的相位落后于点的相位落后于点 A 344）分别求出分别求出 BC ，CD 两点间的相位差两点间的相位差ABCD5m9m8m35 1）给出下列波函数所表示的波的给出下列波函数所表示的波的传播方向传播方向和和 点的初相位点的初相位. 2）平面简谐波的波函数为平面简谐波的波函数为 式中式中 为正常数，求波长、波速、波传播方为正常数，求波长、波速、波传播方向上相距为向上相距为 的两点间的相位差的两点间的相位差.讨讨 论论向向x 轴轴正正向传播向传播向向x 轴轴负负向传播向传播36 3 ） 如图简谐波如图简谐波以余弦函数表示，以余弦函数表示，求求 O、a、b、c 各各点振动点振动初相位初相位.Oabct=T/4t =0OOOO37一、波的能量和能量密度一、波的能量和能量密度、波的能量、波的能量xOxO以固体棒中传播的纵波为例分析波动能量的传播。以固体棒中传播的纵波为例分析波动能量的传播。设波函数为：设波函数为：其其质量质量为：为：d m =dV设设为介质的体密度，在弹性介质中任取一体积元为介质的体密度，在弹性介质中任取一体积元 dV，该处质元的该处质元的振动速度为：振动速度为：38振动动能：振动动能：弹性势能：弹性势能：xOxO39杨氏模量杨氏模量xOxO40 体积元的总机械能：体积元的总机械能：讨讨 论论2 体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能均最大。均最大。2 体积元的位移最大时，三者均为零。体积元的位移最大时，三者均为零。 1）在波动传播的介质中，任一体积元的动能、在波动传播的介质中，任一体积元的动能、 势能、总机械能均随时间势能、总机械能均随时间 t 作周期性变化。动能和作周期性变化。动能和势能的与时间的关系式是相同的，两者不仅势能的与时间的关系式是相同的，两者不仅同相位同相位，且大小也相等。且大小也相等。41若将一软绳（弹性媒质）划分为多个小单元（体积元）若将一软绳（弹性媒质）划分为多个小单元（体积元）上上下下抖抖动动振速振速 最小最小振速振速 最大最大形变最小形变最小形变最大形变最大时刻波形时刻波形在波动中，各体积元产生不同程度的在波动中，各体积元产生不同程度的弹性形变弹性形变，具，具有有弹性势能弹性势能 dEp未起振的体积元未起振的体积元各各体积元以变化的体积元以变化的振动速率振动速率 上下振动，具有上下振动，具有振动动能振动动能42 2）任一体积元的机械能随时间周期性变化，任一体积元的机械能随时间周期性变化，机机械能不守恒。械能不守恒。形象地说，任一体积元都在不断地接收和放出形象地说，任一体积元都在不断地接收和放出能量，即不断地传播能量。能量，即不断地传播能量。波动是能量传递的一种方式波动是能量传递的一种方式 。而简谐振动系统作为一个孤立的振动系统，与而简谐振动系统作为一个孤立的振动系统，与外界无能量交换，系统外界无能量交换，系统总机械能守恒总机械能守恒，Ek、Ep相互相互交换，系统不传播能量。交换，系统不传播能量。体积元的总机械能：体积元的总机械能： 对于某一体积元，它的能量从零达到最大，这对于某一体积元，它的能量从零达到最大，这是能量的输入过程，然后又从最大减到零，这是能量是能量的输入过程，然后又从最大减到零，这是能量输出的过程，周而复始。输出的过程，周而复始。43能量密度能量密度：单位体积介质中的波动能量。：单位体积介质中的波动能量。平均能量密度平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值。：能量密度在一个周期内的平均值。、波的能量密度、波的能量密度能量密度随时间周期性变化。能量密度随时间周期性变化。平均能量密度与平均能量密度与振幅平方振幅平方、频率平方和质量密度、频率平方和质量密度均成正比。均成正比。该式对所有的该式对所有的弹性波弹性波都适用。都适用。44二、波的能流和能流密度二、波的能流和能流密度平均能流：平均能流：能流在一个周期内的平均值。能流在一个周期内的平均值。能流密度能流密度 ( 波的强度波的强度 ) : 通过垂直于波传播方向的单通过垂直于波传播方向的单位面积的平均能流。位面积的平均能流。 uS能流：能流：单位时间内垂直通过某一面积的能量，单位时间内垂直通过某一面积的能量，称为称为波通过该截面的能流，波通过该截面的能流，能流密度是矢量，能流密度是矢量，波动过程伴随着能量的流动，波动过程伴随着能量的流动，能量以波速能量以波速 在介质中传播。在介质中传播。 表示在与波传播方向垂直的单位面积上通过的波的功率。表示在与波传播方向垂直的单位面积上通过的波的功率。45例：例：证明球面波的振幅与离开证明球面波的振幅与离开其波源的距离成反比，其波源的距离成反比，并求并求球球面简谐波的波函数。面简谐波的波函数。证：证： 介质无吸收，通过两介质无吸收，通过两个球面的个球面的平均能流平均能流相等。相等。即即式式中中 为离开波源的距离，为离开波源的距离， 为为 处的振幅。处的振幅。任一波面处任一波面处(半径为半径为 r 处处)的振幅为：的振幅为：球面简谐波球面简谐波的波函数的波函数46例：例：一电磁波以一电磁波以 5 kw 的功率（的功率（平均能流平均能流）发射电）发射电磁波，求离波源磁波，求离波源 50 km 处电磁波的强度和平均能处电磁波的强度和平均能量密度。量密度。解：解：功率功率（平均能流平均能流）：）：波的强度：波的强度：平均能量密度：平均能量密度：47