7.4 平面与直线方程平面与直线方程一一 平面方程的各种形式平面方程的各种形式二二 直线方程的各种形式直线方程的各种形式三三 平面直线间的夹角及相互关系平面直线间的夹角及相互关系1CH1_ 如果一非零向量垂直于一如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的平面，这向量就叫做该平面的法向量法向量已知平面的法向量为已知平面的法向量为设平面上的任一点为设平面上的任一点为必有必有1 1 平面的点法式方程平面的点法式方程且过点且过点一一 平面方程的各种形式平面方程的各种形式平面的点法式方程平面的点法式方程2CH1_解解取取所求平面方程为所求平面方程为化简得化简得例例1 1 求过三点求过三点和和的平面方程的平面方程. .3CH1_由平面的点法式方程由平面的点法式方程2 平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量4CH1_平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；平面通过平面通过 轴；轴；平面平行于平面平行于 轴；轴；平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；类似地可讨论类似地可讨论 情形情形. .类似地可讨论类似地可讨论 情形情形. .坐标面；坐标面；5CH1_取法向量取法向量化简得化简得所求平面方程为所求平面方程为解解例例2 2 求过点求过点，且垂直于平面，且垂直于平面和和的平面方程的平面方程. .6CH1_设平面为设平面为所求平面方程为所求平面方程为解解例例3 3 设平面过原点及点设平面过原点及点且与平面且与平面垂直，求此平面方程垂直，求此平面方程。由平面过点由平面过点知知7CH1_设平面为设平面为将三点坐标代入得将三点坐标代入得解解例例4 4 设平面与设平面与三轴分别交于三轴分别交于（其中（其中求此平面方程求此平面方程. .代入所设方程得代入所设方程得平面的截距式方程平面的截距式方程轴上截距轴上截距轴上截距轴上截距轴上截距轴上截距8CH1_设平面为设平面为由所求平面与已知平面平行得由所求平面与已知平面平行得解解例例5 5 求平行于平面求平行于平面坐标面所围成的四面体体积为坐标面所围成的四面体体积为1 1的平面方程的平面方程. .而与三个而与三个所求平面方程为所求平面方程为则据题意有则据题意有9CH1_解解例例6 6 设设是平面是平面外一点，求外一点，求到平面的距离到平面的距离. .10CH1_空间直线可看成不平行两平面的交线空间直线可看成不平行两平面的交线1 空间直线的一般方程空间直线的一般方程二二 直线方程的各种形式直线方程的各种形式11CH1_ 如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的为这条直线的方向向量方向向量2 2 空间直线的对称式方程空间直线的对称式方程设直线过点设直线过点方向向量为方向向量为为直线上任意一点为直线上任意一点直线的对称式方程直线的对称式方程（点向式）（点向式）（标准式）（标准式）直线的一组直线的一组方向数方向数/，则，则12CH1_令令例例7 求过两点求过两点的直线方程。的直线方程。解解所求直线的方向向量为所求直线的方向向量为所求直线方程为所求直线方程为3 3 空间直线的参数方程空间直线的参数方程，则有，则有13CH1_例例8 8 将直线将直线解解化为对称式与参数式方程。化为对称式与参数式方程。直线的方向向量为直线的方向向量为取取代入直线方程得代入直线方程得解得解得因此得到直线上一点因此得到直线上一点14CH1_直线的对称式方程为直线的对称式方程为参数方程为参数方程为15CH1_解解所以交点为所以交点为取取所求直线方程为所求直线方程为例例9 9 一直线过点一直线过点且和且和轴垂直相交，轴垂直相交，求其方程求其方程.因为直线和因为直线和轴垂直相交轴垂直相交, ,16CH1_定义定义（取锐角）（取锐角）两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角. .1 1 两平面的夹角两平面的夹角三三 平面直线间的夹角及相互关系平面直线间的夹角及相互关系17CH1_两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式两平面位置特征：两平面位置特征：/特别特别与与重合重合18CH1_直线直线直线直线两直线的夹角为两直线的方向向量的夹角（取锐角）两直线的夹角为两直线的方向向量的夹角（取锐角）. .两直线的夹角公式两直线的夹角公式2 2 两直线的夹角两直线的夹角设设是直线是直线与直线与直线的夹角的夹角,则则19CH1_两直线的位置关系两直线的位置关系：/20CH1_3 直线与平面的夹角直线与平面的夹角称为直线称为直线直线和它在平面上的投影直线的夹角直线和它在平面上的投影直线的夹角与平面的夹角与平面的夹角或或21CH1_直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式直线与平面的直线与平面的位置关系位置关系：/22CH1_解解为所求夹角为所求夹角例例10 10 设直线设直线平面平面求直线与平面的夹角求直线与平面的夹角. .23CH1_解解例例11 11 求过点求过点且与直线且与直线直线直线的参数方程为的参数方程为则则，又，又，因此有，因此有：垂直相交的直线方程，并求点垂直相交的直线方程，并求点到直线到直线 的距离。的距离。与直线与直线垂直相交的交点为垂直相交的交点为设所求直线设所求直线故交点故交点.24CH1_取所求直线的方向向量为取所求直线的方向向量为所求直线方程为所求直线方程为点点到直线到直线 的距离的距离25CH1_设直线设直线的一般式方程为的一般式方程为4 4 平面束方程平面束方程定义：定义：通过定直线的所有平面的通过定直线的所有平面的全体称为全体称为平面束平面束。则通过直线则通过直线的的平面平面束方程束方程：是任意实数是任意实数其中其中(3)，但是，但是方程方程(3)不包含平面不包含平面(2)。26CH1_解解过已知直线的平面束方程为过已知直线的平面束方程为所求平面过点所求平面过点所求平面方程为所求平面方程为例例1212 求过直线求过直线和点和点的的平面方程。平面方程。即即所以所以即即27CH1_例例1313求直线求直线在平面在平面上的投影直线方程。上的投影直线方程。解解过已知过已知直直线的平面束方程为线的平面束方程为即即所以所以所求投影直线方程为：所求投影直线方程为：由于它和平面由于它和平面 垂直，垂直，28CH1_