1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征第一章1.1空间几何体学习目标1.认识组成我们生活世界的各种各样的多面体.2.认识和把握棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征.3.了解多面体可按哪些不同的标准分类，可以分成哪些类别题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考知识点一多面体多面体是如何定义的？能指出它们的侧面、底面、侧棱、顶点吗？答案答答案案多面体是由若干个平面多边形围成的几何体围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱和棱的公共点叫做多面体的顶点多面体的有关概念(1)多面体：由若干个 所围成的几何体(2)多面体的相关概念面：围成多面体的 棱：相邻的两个面的 顶点：棱和棱的 梳理梳理平面多边形各个多边形公共边公共点对角线：连接 的两个顶点的线段截面：一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部)(3)凸多面体：把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面 ，则这样的多面体就叫做凸多面体不在同一个面上都在这个平面的同一侧思考知识点二棱柱观察下列两个棱柱，你认为棱柱应具有怎样的共同特征？如何表示这两个棱柱？答案答案答案共同特征：有两个面互相平行；夹在这两个平行平面间的每相邻两个面的交线都互相平行表示方法：(1)棱柱ABCDEABCDE.(2)棱柱ABCDABCD.梳理梳理(1)棱柱的定义及表示名称棱柱特征性质或定义条件：有两个 的面；夹在这两个平行平面间的 都互相平行互相平行每相邻两个面的交线图形表示及相关名称棱柱(或棱柱)ABCDEABCDEAC(2)棱柱的分类按底面多边形的边数按侧棱与底面是否垂直特殊的四棱柱思考知识点三棱锥观察下列多面体，有什么共同特点？答案答案答案(1)有一个面是多边形；(2)其余各面都是有一个公共顶点的三角形梳理梳理(1)棱锥的定义及表示名称棱锥特征性质或定义条件：有一个面是 ；其余各面都是 的三角形多边形有一个公共顶点图形表示及相关名称棱锥(或棱锥)SABCDSAC(2)棱锥的分类按底面多边形的边数特殊的棱锥正棱锥底面是 ,顶点在 的直线上过底面中心，且与底面垂直正多边形知识点四棱台思考观察下列多面体，分析其与棱锥有何区别与联系？答案答案(1)区别：有两个面相互平行(2)联系：用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，其底面和截面之间的部分即为该几何体答案梳理梳理(1)棱台的结构特征及分类名称定义图形及表示相关概念分类棱台棱锥被_ 所截，截面和底面间的部分叫做棱台如图可记作：棱台或棱台_上底面：原棱锥的 下底面：原棱锥的 侧面：其他各面侧棱：相邻两侧面的公共边高：两底面间的距离由三棱锥、四棱锥、五棱锥截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台底面的平面平行于ABCDABCDAC截面底面(2)特殊的棱台正棱台：由 截得的棱台正棱锥题型探究例例1 (1)下列命题中正确的是A.棱柱的面中，至少有两个面互相平行B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C.在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体的任 意两个相对的面不一定可当作它的底面D.棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形类型一棱柱、棱锥、棱台的有关概念答案解解析析正四棱柱中两个相对侧面互相平行，故B错；平行六面体的任意两个相对面可作底面，故C错；棱柱的底面可以是平行四边形，故D错.解析(2)下列说法正确的序号是_.棱锥的侧面不一定是三角形；棱锥的各侧棱长一定相等；棱台的各侧棱的延长线交于一点；有两个面互相平行且相似，其余各面都是梯形，则此几何体是棱台.解解析析棱锥的侧面是有公共顶点的三角形，但是各侧棱不一定相等，故不正确；棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥底面得到的，故各个侧棱的延长线一定交于一点，正确；棱台的各条侧棱必须交于一点，故不正确.解析答案棱柱、棱锥、棱台的结构特征(1)棱柱有两个主要结构特征：一是有两个面互相平行，二是各侧棱都平行，各侧面都是平行四边形.(2)棱锥有两个主要结构特征：一是有一个面是多边形，二是其余各面都是有一个公共顶点的三角形.(3)棱台的上、下底面平行且相似，各侧棱延长交于一点.反思与感悟跟踪训练跟踪训练1(1)下列命题：各侧面为矩形的棱柱是长方体；直四棱柱是长方体；侧棱与底面垂直的棱柱是直棱柱；各侧面是矩形的直四棱柱为正四棱柱.其中正确的是_.(填序号)答案解解析析中一定为直棱柱但不一定是长方体；直四棱柱的底面可以是任意的四边形，不一定是矩形；符合直棱柱的定义；中的棱柱为一般直棱柱，它的底面不一定为正方形.解析(2)下列命题：各个侧面是等腰三角形的四棱锥是正四棱锥；底面是正多边形的棱锥是正棱锥；棱锥的所有侧面可以都是直角三角形；四棱锥的侧面中最多有四个直角三角形；棱台的侧棱长都相等.其中正确的命题有_.(填序号)答案解析例例2正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2 ，求正三棱锥的高.类型二简单几何体中的计算问题解答解答解解作出正三棱锥如图，取AB的中点E，连接SE，引申探究引申探究1.若本例条件不变，求正三棱锥的斜高.解答解解如图，在正四棱锥SABCD中，ABBCCDDA3，2.若将本例中“正三棱锥”改为“正四棱锥”，其他条件不变，求正四棱锥的高.(1)正棱锥中直角三角形的应用已知正棱锥如图(以正四棱锥为例)，其高为PO，底面为正方形，作PECD于点E，则PE为斜高.斜高、侧棱构成直角三角形，如图中RtPEC；斜高、高构成直角三角形，如图中RtPOE；侧棱、高构成直角三角形，如图中RtPOC.反思与感悟(2)正棱台中直角梯形的应用已知正棱台如图(以正四棱台为例)，O1，O分别为上，下底面中心，作O1E1B1C1于点E1，OEBC于点E，则E1E为斜高.斜高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形E1ECC1；斜高、高构成直角梯形，如图中梯形O1E1EO；高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形O1OCC1.跟跟踪踪训训练练2已知正四棱台的上、下底面面积分别为4、16，一侧面面积为12，分别求该棱台的斜高、高、侧棱长.解答例例3如图，在侧棱长为2 的正三棱锥VABC中，AVBBVCCVA40，过点A作截面AEF，求截面AEF周长的最小值.类型三多面体的展开图解答求几何体表面上两点间的最小距离(1)将几何体沿着某棱剪开后展开，画出其侧面展开图.(2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题.(3)结合已知条件求得结果.反思与感悟跟跟踪踪训训练练3如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB2，AA12，由顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1，与AA1的交点记为M，则从点B经点M到C1的最短路线长为解析答案当堂训练1.下列说法中正确的是A.四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形B.棱台的各侧棱延长后不一定交于一点C.棱柱中一条侧棱就是棱柱的高D.棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形答案2233445511解析2.下列说法中，正确的是A.有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这 些面所围成的几何体是棱锥B.用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台C.棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形D.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形答案2233445511解解析析B错，截面与底面平行时才能得棱台；C错，棱柱底面可能是平行四边形；D错，棱柱侧面的平行四边形不一定全等，如长方体.解析3.下列说法错误的是A.多面体至少有四个面B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形C.长方体、正方体都是棱柱D.三棱柱的侧面为三角形答案2233445511解解析析由于三棱柱的侧面为平行四边形，故D错.解析4.正四棱锥SABCD的所有棱长都等于a，过不相邻的两条侧棱作截面SAC，则截面面积为_.答案2233445511解析则有SA2SC2AC2，ASC90.5.对棱柱而言，下列说法正确的是_.(填序号)有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形；所有的棱长都相等；棱柱中至少有2个面的形状完全相同；相邻两个面的交线叫做侧棱.解析解析解析正确，根据棱柱的定义可知；错误，因为侧棱与底面上棱长不一定相等；正确，根据棱柱的特征知，棱柱中上下两个底面一定是全等的，棱柱中至少有两个面的形状完全相同；错误，因为底面和侧面的交线不是侧棱.2233445511答案规律与方法1.在理解的基础上，要牢记棱柱、棱锥、棱台的定义，能够根据定义判断几何体的形状.2.(1)各种棱柱之间的关系棱柱的分类常见的几种四棱柱之间的转化关系(2)棱柱、棱锥、棱台在结构上既有区别又有联系，具体见下表：名称底面侧面侧棱高平行于底面的截面棱柱斜棱柱平行且全等的两个多边形平行四边形平行且相等与底面全等直棱柱平行且全等的两个多边形矩形平行、相等且垂直于底面等于侧棱与底面全等正棱柱平行且全等的两个正多边形全等的矩形平行、相等且垂直于底面等于侧棱与底面全等棱锥正棱锥一个正多边形全等的等腰三角形有一个公共顶点且相等过底面中心与底面相似其他棱锥 一个多边形三角形有一个公共顶点与底面相似棱台正棱台平行且相似的两个正多边形全等的等腰梯形相等且延长后交于一点与底面相似其他棱台平行且相似的两个多边形梯形延长后交于一点与底面相似本课结束