定积分定积分定积分定积分三、定积分的性质三、定积分的性质一、定积分问题举例一、定积分问题举例二、定积分的定义二、定积分的定义abxyo1 1 曲边梯形的面积曲边梯形的面积一、定积分问题举例一、定积分问题举例所围成所围成和和abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）曲边梯形如图曲边梯形如图曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为曲边梯形面积为2 2 变速直线运动的路程变速直线运动的路程思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值（1 1）分割）分割部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度（2）求和）求和（3 3）取极限）取极限路程的精确值路程的精确值二、定积分的定义二、定积分的定义定义定义记为记为被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和注注：定理定理1 1存在定理存在定理定理定理2 2曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值曲边梯形的面积的负值定积分的几何意义定积分的几何意义几何意义：几何意义：例例1 1 利用定义计算定积分利用定义计算定积分解解例例2 2 利用定义计算定积分利用定义计算定积分解解证明证明利用对数的性质得利用对数的性质得极限运算与对数运算换序得极限运算与对数运算换序得故故对定积分的对定积分的补充规定补充规定: :说明说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小考虑积分上下限的大小三、定积分的性质三、定积分的性质证证（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质性质1 1证证性质性质2 2补充补充：不论：不论 的相对位置如何的相对位置如何, , 上式总成立上式总成立. .例例 若若（定积分对于积分区间具有可加性）定积分对于积分区间具有可加性）则则性质性质3 3证证性质性质4 4性质性质5 5解解令令于是于是性质性质5 5的推论：的推论：证证（1）证证说明：说明： 可积性是显然的可积性是显然的. .性质性质5 5的推论：的推论：（2）证证（此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）性质性质6 6解解解解证证由闭区间上连续函数的介值定理知由闭区间上连续函数的介值定理知性质性质7 7（定积分中值定理）（定积分中值定理）积分中值公式积分中值公式使使即即积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：解解由积分中值定理知有由积分中值定理知有使使 微积分基本公式微积分基本公式 三、牛顿三、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式1 1、变速直线运动中位置函数与速度、变速直线运动中位置函数与速度 2 2 函数的联系函数的联系二、积分上限函数及其导数二、积分上限函数及其导数变速直线运动中路程为变速直线运动中路程为另一方面这段路程可表示为另一方面这段路程可表示为一、变速直线运动中位置函数与速度函数的一、变速直线运动中位置函数与速度函数的考察定积分考察定积分记记积分上限函数积分上限函数二、积分上限函数及其导数二、积分上限函数及其导数积分上限函数的性质积分上限函数的性质证证由积分中值定理得由积分中值定理得补充补充证证定理定理2 2（原函数存在定理）（原函数存在定理）定理的重要意义定理的重要意义：（1 1）肯定了连续函数的原函数是存在的）肯定了连续函数的原函数是存在的. .（2 2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系系. .定理定理 3 3（微积分基本公式）（微积分基本公式）证证三、牛顿三、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式令令令令微积分基本公式表明：微积分基本公式表明：注意注意求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题. .例例1 1 求求 例例2 2 设设 , 求求 . 原式原式解解解解例例3 3 求求 解解由图形可知由图形可知例例4 4 求求 解解解解 面积面积证证证证令令例例8 8 求求解解分析：这是分析：这是 型不定式，应用洛必达法则型不定式，应用洛必达法则. . 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法一、定积分的换元法一、定积分的换元法二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法定理定理一、定积分的换元法一、定积分的换元法应用换元公式时应注意应用换元公式时应注意: :（2 2）（1 1）例例1 1 计算计算令令解解例例2 2 计算计算解解例例3 3 计算计算解解原式原式例例4 4 计算计算解解令令原式原式证证证证（1 1）设）设定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式推导推导二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法例例7 7 计算计算解解令令则则例例8 8 计算计算解解例例9 9 证明定积分公式证明定积分公式为正偶数为正偶数为大于为大于1 1的正奇数的正奇数证证设设积分积分 关于下标的递推公式关于下标的递推公式直到下标减到直到下标减到0 0或或1 1为止为止于是于是 定积分的应用定积分的应用第一节第一节 定积分的元素法定积分的元素法第二节第二节 定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用第三节第三节 定积分在物理学上的应用定积分在物理学上的应用回顾回顾曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题ab xyo 定积分的元素法定积分的元素法面积表示为定积分的步骤如下面积表示为定积分的步骤如下:（n. （3 3）求和，得）求和，得A的近似值的近似值1）把区间）把区间,ba分成分成个长度为个长度为的小区间，相的小区间，相应的曲边梯形被分为应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，第个小窄曲边梯形，第 个小窄个小窄曲边梯形的面积为曲边梯形的面积为y提示提示（4 4） 求极限，得求极限，得A的精确值的精确值ab xodA面积元素面积元素元素法的一般步骤：元素法的一般步骤：这个方法通常叫做这个方法通常叫做元素法元素法应用方向：应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等力；引力和平均值等 定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用 一、平面图形的面积一、平面图形的面积二、体积二、体积三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长一、平面图形的面积一、平面图形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积1 1 、直角坐标系情形、直角坐标系情形解解两曲线的交点两曲线的交点选选 为积分变量为积分变量面积元素面积元素两曲线的交点两曲线的交点解解选选 为积分变量为积分变量如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积曲边梯形的面积解解椭圆的参数方程椭圆的参数方程由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4 4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积x x+dx面积元素面积元素曲边扇形的面积曲边扇形的面积2 2、极坐标系情形、极坐标系情形解解于是所求面积为于是所求面积为解解利用对称性知利用对称性知2a旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台二、体积二、体积1 、旋转体的体积、旋转体的体积旋转体的体积为旋转体的体积为xyo解解直线直线OPOP的方程为的方程为解解解解补充补充利用这个公式，可知上例中利用这个公式，可知上例中2 2、平行截面面积为已知的立体的体积、平行截面面积为已知的立体的体积如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算积分来计算. .立体体积立体体积解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积三、平面曲线弧长的概念三、平面曲线弧长的概念曲线弧为曲线弧为弧长弧长1 1、参数方程、参数方程解解星形线的参数方程为星形线的参数方程为根据对称性根据对称性第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长证证根据椭圆的对称性知根据椭圆的对称性知故原结论成立故原结论成立. .弧长元素弧长元素弧长弧长2 2、直角坐标方程、直角坐标方程解解所求弧长为所求弧长为解解曲线弧为曲线弧为弧长弧长极坐标方程极坐标方程解解解解例例17 17 计算摆线计算摆线的一拱的一拱 的长度的长度.解解 弧长元素为弧长元素为从而，所求弧长从而，所求弧长