2.3 从速度的倍数到数乘向量2.3.1 数乘向量1.1.向量加法的三角形法则向量加法的三角形法则2.2.向量加法的平行四边形法则向量加法的平行四边形法则特点特点: :首尾相接，首尾连首尾相接，首尾连特点特点: :共起点共起点A AC CB Bb ba aa ab b. .a + b a + b A AB BD DC Cb ba aa aa + b a + b b bo.BA3.3.向量的减法向量的减法特点：特点：共起点，连终点，方向指向被减向量共起点，连终点，方向指向被减向量1.1.在急风骤雨、雷电交加的夜晚，为什么我们总是先在急风骤雨、雷电交加的夜晚，为什么我们总是先看到闪电，后听到雷声？这是因为在同一方向上光速看到闪电，后听到雷声？这是因为在同一方向上光速远远大于声速远远大于声速. .经测量，光速大小约为声速的经测量，光速大小约为声速的8.78.710105 5倍倍. .由以上两个实例可以看出，实际中存在方向相同、由以上两个实例可以看出，实际中存在方向相同、大小之间存在倍数关系的两个向量，因此有必要研大小之间存在倍数关系的两个向量，因此有必要研究究实数与向量积的运算实数与向量积的运算. .1.1.理解、掌握向量数乘运算及其几何意义理解、掌握向量数乘运算及其几何意义. .（重点）（重点）2.2.掌握数乘运算的运算律掌握数乘运算的运算律. .（重点）（重点）3.3.掌握向量共线的判定定理和性质定理掌握向量共线的判定定理和性质定理. .（难点）（难点）B BC CN NM MQ QP PO OA A探究点探究点1 数乘向量数乘向量问题问题1：. .，问题问题2 2：向量向量 与向量与向量 有什么关系？向量有什么关系？向量 与向与向量量 有什么关系？有什么关系？提示：提示：1.1.向量向量 的方向与的方向与 的方向相同，向量的方向相同，向量 的长度的长度是是 的长度的的长度的3 3倍，即倍，即2.2.向量向量 的方向与的方向与 的方向相反，向量的方向相反，向量 的长的长度是度是 的长度的的长度的3 3倍，即倍，即向量的数乘运算向量的数乘运算它的长度和方向规定如下：它的长度和方向规定如下： 一般地，实数一般地，实数与向量与向量 的积是一个向量，的积是一个向量，记作记作 这种运算叫作这种运算叫作向量的数乘运算向量的数乘运算. .特别地，当特别地，当=0=0时时 方向任意方向任意. .问题问题3 3：数乘向量依然是向量数乘向量依然是向量, ,它的方向由谁决定它的方向由谁决定? ?提示提示: :由由和向量和向量 的方向共同决定的方向共同决定. .问题问题4 4：数乘向量的几何意义数乘向量的几何意义. .提示提示: :是把向量是把向量 沿沿 的方向或的方向或 的反方向伸长或压的反方向伸长或压缩缩，具体为：，具体为：当当|1 1时，有时，有| | | | |，这意味着表示，这意味着表示向量向量 的有向线段在原方向的有向线段在原方向(0)0)或反方向或反方向(0)0)上伸长为原来的上伸长为原来的|倍，倍，当当0 0|1 1时，有时，有| | | | |，这意味着表，这意味着表示向量示向量 的有向线段在原方向的有向线段在原方向(0(01)1)或反方或反方向向(-1(-10)0)上缩短为原来的上缩短为原来的|倍倍. .探究点探究点2 2 数乘向量的运算律数乘向量的运算律1.1.根据定义，求作向量根据定义，求作向量 和和 ，并作比较，并作比较. .结论：结论：2.2.数乘向量的运算律数乘向量的运算律: :设设 为向量，为向量，为实数，则有：为实数，则有：结合律结合律第一分配律第一分配律第二分配律第二分配律解：解：向量的加法、减法和实数与向量积的综合运算，向量的加法、减法和实数与向量积的综合运算，通常叫作通常叫作向量的线性运算向量的线性运算. .对于任意的向量对于任意的向量 以及任意实数以及任意实数，1， 2 ，恒有，恒有计算：计算：【变式练习变式练习】探究点探究点3 3 共线向量判定定理和性质定理共线向量判定定理和性质定理问题问题1:1:如果如果 那么向量那么向量 与与 是否共线？是否共线？向量共线的向量共线的判定定理判定定理 是一个非零向量，若存在一个实数是一个非零向量，若存在一个实数，使得，使得则向量则向量 与非零向量与非零向量 共线共线. .且当且当 与与 同方向时，有同方向时，有当当 与与 反方向时，有反方向时，有所以始终有一个实数所以始终有一个实数，使，使问题问题2 2：如果非零向量如果非零向量 与与 共线，那么是否有实数共线，那么是否有实数,使使向量共线的向量共线的性质定理性质定理若向量若向量 与非零向量与非零向量 共线，则存在一个实数共线，则存在一个实数，使得，使得问题问题3 3：( (1) 1) 为什么要是非零向量？为什么要是非零向量？ 若是零向量时，若是零向量时，不唯一不唯一. . (2) (2) 可以是零向量吗？可以是零向量吗？可以可以. .A AC CB BD DE E, ,P PC CA AB B证明：证明：如题干图，因为向量如题干图，因为向量 与向量与向量 共线，根据向共线，根据向量共量共b ba a解：解：作图如右图作图如右图依图猜想依图猜想:A:A，B B，C C三点共线三点共线O OA AB BC Ca ab bb bb b又又ABAB与与ACAC有公共点有公共点A,A,所以所以A A，B B，C C三点共线三点共线. .【变式练习变式练习】1.1.在在ABCABC中，中， AB= aAB= a， AC= bAC= b，且，且 BD=2DCBD=2DC， 则则 ADAD等于（）等于（） A A a + b Ba + b B a + ba + b C C a + b Da + b D a + ba + bD DD2.2.若若 AP= PBAP= PB， AB=AB=BPBP，则实数，则实数的值是（）的值是（） A A B B- C- C D D- - 解解: (1) : (1) 原式原式 = = (2) (2) 原式原式 = =(3) (3) 原式原式 = =3 3计算：计算：( (口答口答) ) (1) (-3) (1) (-3)4 a4 a (2) 3( (2) 3( a+ba+b) ) 2( a-b)-a2( a-b)-a (3) (2a+3b-c) (3) (2a+3b-c) (3a-2b+c )(3a-2b+c ) (3-2-1)a+(3+2)b (3-2-1)a+(3+2)b= 5b= 5b (2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c (2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c= -a+5b-2c= -a+5b-2c -12a -12a一、 的定义及运算律. 向量共线定理. 二、 定理的应用： 1.证明向量共线； 2.证明三点共线: 不知道他自己的人的尊严，他就完全不能尊重别人的尊严. 席勒